Geometr´ıa Anal´ıtica I 1 Cálculo de vectores ortogonales

Geometrı́a Analı́tica I
Lectura 2
Ayudante: Guilmer González
Dı́a 12 de febrero, 2007
El dı́a de hoy veremos:
0. Vectores.
1. Cálculo de vectores ortogonales.
2. Aplicaciones de vectores ortogonales.
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Cálculo de vectores ortogonales
Problema: Dado un vector ~v = (x, y) ∈ R2 , cómo encontrar otro vector
w
~ = (α, β) ∈ R2 que sea ortogonal a ~v? Es decir, que se cumpla
~v · w
~ =0
Para lograrlo, se debe satisfacer que
xα + yβ = 0
es decir, que α = −y/xβ, con lo cual, el vector w es
y
y
w
~ = (− β, β) = β(− , 1)
x
x
el parámetro β puede ser cualquier número, básicamente es una recta. De
manera particular, podemos elegir β = x con lo cual nuestro vector normal
serı́a
w
~ = (−y, x)
Ahora bien, si trabajamos en R3 , los vectores se escriben como ~v = (x, y, z).
Cómo encontrar un vector w
~ = (α, β, γ) de manera que
1
~v · w
~ =0
Esto es muy interesante, si encontramos dos no paralelos, w1 y w2, podemos
construir una familia: el plano.
Encontremos algunos.
Caso 1: Hagamos β = 0. En este caso, debemos encontrar α y γ. Del
problema anterior, proponemos

−z
w
~1 =  0 
x

Caso 2: Hagamos γ = 0. En este caso, debemos encontrar α y β. Del
problema anterior, proponemos


−y
w
~2 =  x 
0
Como una observación, estos vectores no son paralelos, son linealmente independientes. Con estos dos y bajo esta observación, podemos construir una
familia de vectores que también son ortogonales a v:
~ 1 + α2 w
~2
w
~ = α1 w
Veamos ésto desde otro punto de vista.
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Aplicaciones de vectores ortogonales
Problema Se tienen dos vectores ~a y ~b en el plano, no ortogonales. Cómo
construir uno a partir de ellos que sea ortogonal digamos a ~a?
En el plano es sencillo llevar a cabo una gráfica del problema, por ejemplo:
Figura 1: Un vector ortogonal a otro.
Con los vectores ~a y ~b podemos formar un triángulo, al proyectar ~b sobre
~a. La proyección de un vector en otro, y con ello nos ayudará a expresar
un vector en término de otro ortogonales, observe la Figura ??
el pie de la proyección P~a será un vector paralelo a ~a, esto es
P~a~b = α~a, para alguna α ∈ R
Con el vector proyección (en el plano) formamos el triángulo recángulo
(OJO: ésta es una caracteı́stica, otra forma, es la que mencionó Pablo en
clase, y es aplicable en Rn ), para lograrlo, imponemos
P~a~b ⊥ b − P~a~b
donde P~a~b es la proyección de ~b en ~a. Veamos ésto.
Por definición, se tiene que
P~a~b = α~a
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y por construcción
(P~a~b)⊥ = ~b − P~a~b
tomando en cuenta de que P~a~b ⊥ (P~a~b)⊥ , se tiene que
P~a~b · (P~a~b)⊥ = 0
= (α~a) · (~b − α~a) = 0
obteniendo
α~a · ~b − α2 k~ak2 = 0
y con esto
α=
~a · ~b
~a · ~a
por lo que
~a · ~b
P~a~b =
~a,
~a · ~a
~a · ~b
(P~a~b)⊥ = ~b −
~a
~a · ~a
Problema: Dado dos vectores ~v1 = (x1, y1, z1 ) y ~v2 = (x2, y2 , z2), cómo
encontrar w
~ = (β1, β2, β3) ortogonal a ambos? Es decir:
w
~ · ~v1 = 0;
w
~ · ~v2 = 0
Una forma Por una parte, w
~ es ortogonal a ~v1 , y ~v1 por consiguiente, w
~
es ortogonal al plano generado por los vectores ~v1 y ~v2 (usando la propiedad
distributiva)
w
~ ⊥ Π = {α1~v1 + α2~v2}
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Lo interesante de observar aquı́, es que este problema tiene muchas soluciones.
Pero todos son perpendiculares al plano Π
Hagamos un ejemplo numérico (en R3 para enfocar ideas). Consideremos
los vectores ~v1 = (1, 2, 2) y ~v2 = (1, 0, 1). Claramente estos vectores son no
ortogonales.
Paso 1: Construyamos un vector ~v20 que sea ortogonal a ~v1. Con ambos
vectores formamos un plano, en el plano, hemos visto que
~v2 − α~v1 ⊥ ~v1
donde α = ~v1 · ~v2/~v1 · ~v1. La idea es considerar ~v20 , de esa forma, ası́:
~v20 = ~v2 − α~v1
~v1 · ~v2
= ~v2 −
~v1
~v1 · ~v1
3
= (1, 0, 1) − (1, 2, 2)
9
1
(2, −2, 1)
=
3
ese vector es ortogonal a ~v1 y vive en el mismo plano que ~v1 y ~v2. Ahora bien,
necesitamos que w
~ sea ortogonal a ~v1 y ~v20 . Repitamos el procedimiento. Si
observamos el vector ~v3 = (0, 0, 1) no está en el mismo plano que los anteriores
y no es ortogonal a ellos.
Paso 2 La idea es generalizar la anterior, propongamos
w
~ = ~v3 − α~v1 − β~v20
e impongamos la condición de que ~v3 sea ortogonal a ~v1 y a ~v20 :
w
~ · ~v1 = 0
w
~ · ~v20 = 0
(1)
(2)
Esto nos conduce a un sistema de 2 ecuaciones, y dos incógnitas. La primera
de ellas es sencilla, ya que
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w
~ · ~v1 = ~v3 · ~v1 − α~v1 · ~v1 − β~v20 · ~v1
= ~v3 · ~v1 − α~v1 · ~v1 = 0
es decir,
~v3 · ~v1
~v1 · ~v1
De igual manera, la segunda se reduce en
α=
w
~ · ~v20 = ~v3 · ~v20 − α~v1 · ~v20 − β~v20 · ~v20
= ~v3 · ~v20 − β~v20 · ~v20 = 0
es decir
~v3 · ~v20
β= 0 0
~v2 · ~v2
Haciendo las cuentas,
α=
2
9
β=
1
3
y
Nuestro vector ortogonal es:
1
1
2
w
~ = (0, 0, 1) − (1, 2, 2) − (2, −2, 1) = − (4, 2, 5)
9
9
9
y si observa, la combinación anterior se puede escribir como una suma de
proyecciones:
w
~ = ~v3 − Proy~v1 ~v3 − Proy~v20 ~v3
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Este procedimiento se conoce como “el procedimiento de ortogonalización
de vectores de Gram Schmidt”: si tiene una colección de vectores ~v1, ~v2, . . . , ~vn ,
en Rn , aplicando
Paso 1
~u1 = ~v1
Paso 2
~u2 = ~v2 − Proy~u1 ~v2
Paso 3
~u3 = ~v3 − Proy~u1 ~v3 − Proy~u2 ~v3
Paso k
~uk = ~vk −
k−1
X
j=1
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Proy~uj ~vk