para la fase final

7ª OLIMPIADA MATEMÁTICA DE EUSKADI 2008-09
OLIMPIADA EDUARDO CHILLIDA
2º curso E.S.O.
FASE FINAL (9-V-2009)
1.- RELLENANDO EL HUECO
Un cuadrado se cubre mediante cuatro rectángulos y
un cuadrado cuyos lados son enteros mayores que 1, como lo
muestra la figura. Las áreas de dos de los rectángulos están
escritas sobre ellos.
¿Cuál es el área del cuadrado pequeño?
SOLUCIÓN
Las únicas formas de escribir 143 y 133 como producto de enteros mayores que
1 son 143 = 11 x 13 y 133 = 7 x 19, de modo que conocemos los lados de
estos dos rectángulos.
Si llamamos x al lado del cuadrado pequeño, de la figura deducimos:
13+x+7 = 19+11-x Î x = 5 y por tanto la superficie 25.
2.- EN CLASE DE MATEMÁTICAS
El profesor de matemáticas realizó tres pruebas para calificar a sus alumnos.
Todos los alumnos debían realizar por lo menos dos de ellas y hubo 12 alumnos que
realizaron las tres. El 70% realizó la primera prueba, el 80% la segunda y el 90% la
tercera.
a) ¿Cuántos alumnos había en la clase?. Explica el razonamiento
b) Si elegimos un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que haya realizado
solamente las dos primeras pruebas?
SOLUCIÓN
a) 2n + 12 = 0’7n + 0’8n + 0’9n ==> n = 30
b) (nº alumnos que hacen la 1ª): A=21
(nº alumnos que hacen la 2ª): B = 24
Como AUB = 30 ,, Las dos primeras pruebas las habrán hecho: 21+24-30 = 15 y
como hay 12 alumnos que han hecho las tres : 15 – 12 = 3 alumnos
Probabilidad buscada: 1/10
3.- EN LA GRANJA
Un granjero tiene ante sí seis cestas con huevos. Cada una tiene huevos de una clase, de
gallina o de pata. Cada cesta tiene el número de huevos que se indica: 6, 15, 29, 12, 14
y 23
El granjero dice señalando una cesta : “si vendo esta cesta, me quedará el doble de
huevos de gallina que de pata” ¿ A qué cesta se refiere?
SOLUCIÓN:
Se refiere a la cesta de 12 huevos
En total hay 99 huevos. Al quitar una cesta quedarán x huevos de pata y 2x de gallina:
En total 3x.
Por tanto 99-y =3x ==> la cesta vendida tiene que tener y = múltiplo de 3 huevos.
Posibilidades:
Y = 6 ; quedarían 93, pero no se pueden obtener 31 y 62 sumando las distintas cestas
Y= 12: quedarían 87; SI se pueden obtener 29 y 58 (de más de una forma)
Y= 15 No hay solución
4.- ¿TIENES BUENA VISTA?
a)
1 1 1 1
¿Cuánto vale la suma infinita S = + + + + K ?
2 4 8 16
Explícalo y justifícalo mediante las figuras
b)
2
3
4
1 1 1 1
+   +   +   +K ?
4 4 4 4
Explícalo y justifícalo mediante las figuras.
¿Cuánto vale la suma infinita S =
SOLUCIÓN
Lo importante es el razonamiento
a) 1
b) 1/3