Una urna contiene dos monedas de plata y tres de cobre. Otra urna

EJERCICIO A
Problema 1.Una urna contiene dos monedas de plata y tres de cobre. Otra urna contiene cuatro
monedas de plata y tres de cobre. Si se elige una urna al azar y se extrae una moneda
al azar, ¿cuál es la probabilidad de que la moneda extraída sea de plata?
Problema 2.Una factoría produce coches de los modelos A y B. El beneficio por la venta de un
coche del modelo A es de 450 euros y la venta del modelo B reporta un beneficio de
600 euros.
La capacidad de la factoría impide producir más de 400 coches por día del modelo A y
más de 300 coches por día del modelo B. Además, no es posible producir más de 500
coches entre ambos modelos.
Se vende toda la producción que se hace y se desea saber, razonadamente, cuántos
coches interesa fabricar de cada modelo para obtener el máximo beneficio.
Problema 3.El beneficio, y, en millones, de una sociedad en función de la inversión, x, en millones,
viene dado por y = x 2 + 2 x + 7 .
Obtén la derivada del beneficio, y, respecto de la inversión, x, cuando la inversión es
de 2 millones y cuando la inversión es de 3 millones. Utiliza las derivadas obtenidas
para calcular, aproximadamente, el beneficio cuando la inversión es de 2,01 millones
y cuando la inversión es de 3,02 millones.
Problema 4.Por un helado, dos horchatas y cuatro batidos, nos cobraron en una heladería 1.700
pta un día. Otro día, por cuatro helados y cuatro horchatas nos cobraron 2.200 pta.
Un tercer día tuvimos que pagar 1.300 pta por una horchata y cuatro batidos. Razona
si hay o no motivos para pensar que alguno de los días nos presentaron una factura
incorrecta.
Trino Grau Fernández
C. VALENCIANA / JUNIO 2000
SOLUCIONES:
EJERCICIO A
Problema 1
P(plata) = P(urna 1) · P(plata/urna 1) + P(urna 2) · P(plata/urna 2) =
=
1 2 1 4 17
· + · =
2 5 2 7 35
Problema 2
Es un problema de programación lineal.
Sean x e y los números de coches que conviene fabricar de los modelos A y B,
respectivamente.
Función objetivo: Maximizar B(x, y) = 450x + 600y
0 ≤ x ≤ 400
0 ≤ y ≤ 300
x + y ≥ 500
Restricciones:
Estas restricciones generan la región factible dada en la siguiente figura.
Como sabemos, la solución óptima está en alguno de los vértices:
O = (0, 0), P = (0, 300), Q = (200, 300), R = (400, 100) y S = (400, 0)
Los beneficios para esos niveles de producción son:
En
En
En
En
En
O,
P,
Q,
R,
S,
B(0, 0) = 0.
B(0, 300) = 180.000
B(200, 300) = 270.000 ← Máximo
B(400, 100) = 240.000
B(400, 0) = 180.000.
Trino Grau Fernández
C. VALENCIANA / JUNIO 2000
Interesa fabricar 200 coches del modelo A y 300 del modelo B.
Problema 3
y = x2 + 2x + 7
⇒
y´= 2 x + 2
Si x = 2, y´(2) = 6.
Si x = 3, y´(3) = 8.
Una aproximación buena de la función, en las cercanías del punto a, viene dada por la
tangente:
y − f ( a) = f ´(a )( x − a)
Si x = 2, utilizamos
y – 15 = 6(x – 2) ⇒ y = 6x + 3
Para x = 2,01, el valor aproximado de la función será 6 · 2,01 + 3 = 15,06.
En x = 3, la tangente es:
y – 22 = 8(x – 3) ⇒ y = 8x – 2
Para x = 3,02, el valor aproximado de la función será 8 ·
Problema 4
Si asignamos los precios:
x = helado,
y = horchata,
z = batido
se tiene el sistema:
x + 2 y + 4 z = 1700

4 x + 4 y = 2200  ⇔
y + 4 z = 1300 
x + 2 y + 4 z = 1700

x+ y
= 550 
y + 4 z = 1300 
Si a la primera ecuación le restamos las otras dos, queda:
0 = –150
que indica que el sistema es incompatible. Por tanto, hay algún error en las facturas.
Trino Grau Fernández
C. VALENCIANA / JUNIO 2000