Práctica 2

Introducción a la Matemática Discreta
Grado en Ingenierı́a - Tecnologı́as Informáticas
Práctica 2. Enteros
E.T.S. de Ingenierı́a Informática
1. Aplica el Algoritmo Extendido de Euclides (AEE) y el Algoritmo de Restos Reducidos (ARR)
a 15 pares de enteros elegidos al azar y con distintos tamaños, y escribe el número de divisiones
que se realizan en la siguiente tabla
AEE
ARR
Compara el AEE con el ARR.
2. Aplica el AEE a varios pares de números de Fibonacci. Analiza en cada caso: Cuál es el mcd
que se obtiene y cómo es la sucesión de divisores.
3. Aplica el AEE a varios pares de números de Fibonacci consecutivos. ¿Qué sucesión de coeficientes se obtiene? Interpreta la sucesión de divisores y la de cocientes.
4. Comprobar que para cualquier valor de n que se elija es posible encontrar dos enteros para
los que el algoritmo de Euclides realiza exactamente n divisiones. Encontrar a y b de modo
que el cálculo del mcd(a, b) por el algoritmo de Euclides realice exactamente 44 divisiones.
5. Elige varios enteros n entre 1 y 65000 y cronometra los tiempos necesarios para generar todos
los primos menores o iguales que n. Haz una gráfica de que compare n y el tiempo necesario
t(n) para ese n, representando n en el eje OX y t(n) en el eje OY . ¿Qué tipo de función
aproxima la de la gráfica?
6. El n-ésimo número de Euclides (sobre 280
Qn a.C.), En , se define como el siguiente número al
n-ésimo primorial, es decir, En = 1 + i=1 pi , donde pi denota el i-ésimo número primo.
Encontrar dos números de Euclides que no sean primos.
7. El n-ésimo número de Mersenne (1641) es de la forma Mn = 2n −1. Mersenne conjeturaba que
los únicos primos de Mersenne Mp con p ≤ 107 se obtenı́an para p ∈ {2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 107}.
Demostrar que cometió 3 fallos.