1. Estimar el área debajo de la gráfica de f(x) = cosx desde x = 0

1. Estimar el área debajo de la gráfica de f (x) = cos x desde x = 0 hasta x = π/2, usando cuatro rectángulos
de aproximación y como puntos muestra, los extremos derechos de los intervalos. Dibuje la curva y los
rectángulos de aproximación. ¿Su estimación es una subestimación o una sobrestimación?
2. Estimar el área debajo de la gráfica de f (x) = cos x desde x = 0 hasta x = π/2, usando cuatro rectángulos
de aproximación y como puntos muestra, los extremos izquierdos de los intervalos. Dibuje la curva y los
rectángulos de aproximación. ¿Su estimación es una subestimación o una sobrestimación?
n
X
2
(5 + 2i/n)10 .
n→∞
n
3. Determinar una región cuya área sea igual a lim
i=1
n
X
iπ
π
4. Determinar una región cuya área sea igual a lim
tan .
n→∞
4n
4n
i=1
5. Evaluar la integral siguiente interpretando en términos de área:
Z
0
−2
p
4 − x2 dx
6. Escribir la suma de Riemann para la función f (x) = x3 en [0, 1], considerando una partición regular en
cuatro subintervalos y tomando como punto muestra el extremo izquierdo.
7. Escribir una expresión de una suma de Riemann para un función f de una variable en [a, b] y dar un ejemplo.
Definir Integral Definida para una función continua en un intervalo cerrado.
R1
8. Probar por el método de exhaución que 0 x2 dx = 1/3.
9. Definir área de la región que se encuentra debajo de una función continua positiva.
10. ¿Puede una función no continua ser integrable en un intervalo cerrado?
11. Dar un ejemplo de una función no integrable en un intervalo cerrado.
12. ¿Todas las funciones son integrables en un intervalo cerrado? Si es verdadero, justifique y si es falso, dar un
ejemplo.
R1√
13. Evaluar la integral siguiente interpretando en términos de área: 0 1 − x2 dx
14. Escribir cuatro propiedades de la integral definida y demostrar una de ellas.
15. Escribir las propiedades de comparación de la integral definida, demostrar una de ellas, realizar su interpretación geométrica y dar un ejemplo.
16. Probar que si f es continua en [a, b], entonces
Z b
Z b
|f (x)| dx
f (x)dx ≤
a
17. Probar:
√
2π
≤
24
Z
π/4
π/6
cos xdx ≤
a
√
3π
.
24
18. Enunciar y demostrar el Teorema Fundamental del Cálculo Parte 1. Ejemplificar.
19. Enunciar y demostrar el Teorema Fundamental del Cálculo Parte 2.
p
p
p
20. Calcular limn→∞ n1
1/n + 2/n + . . . + n/n .
i4
i=1 n5 .
Pn
21. Calcular limn→∞
22. Derivar la función: h(x) =
23. Si F (x) =
Rx
24. Probar 1 ≤
1
Z
R x3
x
f (t)dt y f (t) =
0
1p
1 + x3 dx ≤
cos tdt.
R t2
√
1
√
2.
1+u4
du,
u
calcular F ′′ (x).
25. Si se fuga aceite de un tanque con una rapidez r(t) galones por minuto, ¿qué representa
Ra
26. Demostrar que si f es continua en [−a, a] y f es impar, entonces −a f (x)dx = 0.
R 120
0
r(t)dt?
27. Deduce una forma de calcular el volumen de un sólido de revolución.
28. Enunciar el Teorema del Valor Medio para Integrales. Interpretar
R x geométricamente. Demostrar el teorema
aplicando el terorema del valor medio para derivadas a P (x) = a f (t)dt.
R1
29. Describir un sólido cuyo volumen sea π 0 (y 4 − y 8 )dy
R3
30. Si f es continua en [1, 3] y 1 f (x)dx = 8, probar que f toma el valor 4 por lo menos una vez en el intervalo
[1, 3].
31. Deduzca la fórmula para el cálculo del área de una región cuyo lı́mite está dado por una curva en ecuación
polar.
32. Probar que en el caso de que limt→a ~u(t) y limt→a ~v (t) existan,
lim [~u(t) + ~v (t)] = lim ~u(t) + lim ~v (t).
t→a
t→a
t→a
33. Probar que en el caso de que limt→a ~u(t) y limt→a ~v (t) existan,
lim [~u(t) · ~v (t)] = lim ~u(t) · lim ~v (t).
t→a
t→a
t→a
(notamos con ~u(t) · ~v (t) al producto escalar entre ~u(t) y ~v (t))
34. Definir derivada de una función vectorial ~r(t) =< f (t), g(t), h(t) >. Interpretar geométricamente. Probar
que si f , g y h son derivables en t, entonces ~r ′ (t) =< f ′ (t), g ′ (t), h′ (t) >.
35. Si ~u y ~v son funciones vectoriales derivables, probar la fórmula de derivación para
es el producto escalar entre ~u(t) y ~v (t))
d
[~v (t) · ~u(t)]. ( ~u(t) · ~v (t)
dt
36. Deducir la fórmula de la longitud de arco para una curva regular del plano. Interpretar geométricamente.
37. Definir función longitud de arco. Dar una parametrización cualquiera de una curva y parametrizarla según
la longitud de arco.
38. Probar que la curvatura de una circunferencia es constante.
39. Probar que: κ(t) = |T~ ′ (t)|/|~r ′ (t)|.
40. Deducir las componentes tangencial y normal de la aceleración.
~.
41. Probar que: dT~ /ds = κ(t)N
42. Definir: función de dos variables, gráfica de una función de dos variables y curva de nivel.
43. Si T (x, y, z) es un campo escalar que representa la temperatura en cada punto del espacio ¿qué significan
las superficies de nivel en este caso? ¿En qué dirección debe moverse una persona que desee dirigirse lo más
rápido posible a un lugar más frı́o? Justificar.
44. Definir lı́mite de una función de dos variables en un punto. Explicar la relación entre el lı́mite en un punto
y el lı́mite a lo largo de una trayectoria.
45. Definir función continua en (a, b) para una función de dos variables.
46. Definir e interpretar
∂f
(a, b).
∂x
47. Enunciar el Teorema de Clairaut.
48. Definir función diferenciable. Enunciar una condición suficiente de diferenciabilidad.
49. Probar que una función real de dos variables diferenciable en un punto del plano, es continua en dicho punto.
50. Sea f el campo escalar definido por
f (x, y) =


x2
xy
+ y2
0
si (x, y) 6= (0, 0)
.
si (x, y) = (0, 0)
(a) Estudie la continuidad de f en (0, 0).
(b) Analice la existencia de
∂f
(0, 0).
∂x
(c) ¿Es f diferenciable en (0, 0)? Explique su respuesta.
51. Enunciar y demostrar la regla de la cadena para la composición entre una función de dos variables diferenciable y dos funciones derivables. (CASO 1)
52. Enunciar la regla de la cadena en su versión más general.
53. Definir derivada direccional. Enuciar y demostrar el toerema que relaciona el vector gradiente con la derivada
direccional.
54. Deducir sobre la direcciones para obtener el valor máximo y mı́nimo de una derivada direccional.
55. Probar que el vector gradiente para una función de dos variables diferenciable es normal a las curvas de nivel
en cada punto.
56. Definir máximo relativo para una función de dos variables.
57. Enunciar y demostrar el terorema que relaciona las derivadas parciales de una función de dos variables con
los extremos relativos.
58. Explicar sobre la importancia del vector gradiente.
59. Enunciar el teorema conocido en el curso como Prueba de la derivada segunda.
60. Enunciar el Teorema del Valor Extremo para funciones de dos variables y explicar, para el caso en que se
cumplan las hipótesis del teorema, como se calculan los valores máximo y mı́nimo absoluto de una función
continua.
61. Graficar tres conjuntos A, B y C de R2 : A cerrado y acotado, B acotado pero no cerrado y C cerrado y no
acotado.
62. Definir plano tangente a una superficie de nivel F (x, y, z) = 0, jsutificando su definición. Particularizar para
el caso z = f (x, y). (PAG 917 y 918)
63. Sea f el campo escalar definido por
 3
3
 x y − xy
f (x, y) =
x2 + y 2

0
si (x, y) 6= (0, 0)
.
si (x, y) = (0, 0)
(a) Calcular fx (x, y) si (x, y) 6= (0, 0)
(b) Calcular fx (0, 0)
64. Explicar y justificar el Método de los Multiplicadores de Lagrange con una restricción para funciones de tres
variables.
65. Explicar y justificar el Método de los Multiplicadores de Lagrange con dos restricciones para funciones de
tres variables.
66. Enunciar el Teorema de Fubini sobre un rectángulo y dar una justificación intuitiva usando el concepto de
volumen.
67. Escribir las propiedades de las integrales dobles.
68. Deducir el cambio a coordenadas polares en una integral doble.
69. Decidir si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, justificando la respuesta.
R2
(a) La expresión 0 (x − x3 )dx representa el área entre las curvas y = x − x3 , y = 0, x = 0 y x = 2.
R1
(b) −2 x−4 dx = −3/8
R3
(c) −1 x−2 dx = −4/3
R1
R1
(d) 0 x3 dx ≤ 0 x2 dx.
R2
R2
(e) 1 x3 dx ≤ 1 x2 dx.
R9
R3
(f) Si f es continua en R, 0 f (x)dx = 0 xf (x2 )dx =
(g) Todos los métodos de integración numérica usan particiones en subintervalos de igual medida.
(h) Si f es continua en [a, b] entonces
Z b
d
f (x)dx = f (x).
dx a
R4
R4
(i) Si f es continua en [0, 4], 0 f (2x)dx = 2 0 f (x)dx.
Rπ
Rπ
(j) Si f es continua en [0, π], 0 xf (senx)dx = π2 0 f (senx)dx
Rx
(k) Si f es derivable en R y f (1) = 0 entonces la gráfica de g(x) = 0 f (u)du tienen tangente horizontal
en x = 1.
√
(l) El valor promedio de la función h(x) = 3x2 x3 − 4 en el intervalo [2, 5] es 294.
A
B
C
x2 + 4
se puede escribir de la forma
+
+
2
x(x − 4)
x
x+2 x−2
R x2 −t2
4
(n) Si F (x) = 0 e dt, entonces F ′ (x) = e−x , x > 0.
qR
Rbp
b
(o) Para f (x) ≥ 0 en [a, b] se verifica que a f (x) dx =
a f (x) dx
(m)
(p) El valor medio de f (x) = senx en el intervalo [0, π] es 0.
q
Rπq
(q) π2 ≤ 02 1 + 21 sen2 x dx ≤ π2 32 .
A
B
C
x8 + 4
se puede escribir de la forma
+
+
2
x(x − 4)
x
x+2 x−2
Z 2
3
(s) La derivada de f (x) =
ecos t dt es f ′ (x) = −ecos(x +x) .
(r)
x3 +x
(t) Las curvas polares r = 1 − sen(2θ) y r = sen(2θ) − 1 tienen la misma gráfica.
(u) Sea ~r una función vectorial tal que existe ~r ′′ , entonces
d
[~r(t) × ~r ′ (t)] = ~r(t) × ~r ′′ (t).
dt
(v) La curva con ecuación vectorial ~r(t) =< t3 , 2t3 , 3t3 > es una recta.
(w) Si |~r(t)| = 1 para todo t entonces |~r ′ (t)| es una constante
(a) La curva dada por ~r(t) =< t, 2 − t2 > es una curva de nivel de h(x, y) = x2 + y
(b) Las curvas ~r1 (t) = 2 − t, − 1t , 2t2 y ~r2 (θ) = (1 + θ, −1 + senθ, 2 cos θ) se cortan ortogonalmente.
(c) Las curvas de nivel del campo escalar f (x, y) = exp − x2 + y 2 representan hipérbolas equiláteras.
3 3
−y
(d) lim(x,y)→(0,0) cos xx2 +y
= 0.
2
(e) Si las derivadas parciales de f existen en (a, b) entonces f es continua en (a, b)
(f) Si las derivadas parciales de f existen en (a, b) entonces f es diferenciable en (a, b)
(g) Si las derivadas parciales de f existen y son continuas en (a, b) entonces f es diferenciable en (a, b)
(h) Si las derivadas parciales de f existen y son continuas en (a, b) entonces f tiene derivada direccional
en culaquier dirección en (a, b).
(i) Si f tiene derivada direccional en culaquier dirección en (a, b) entonces f es diferenciable en (a, b).
(j) Existe una función f con derivadas parciales continuas de segundo orden con fx (x, y) = x + y 2 y
fy (x, y) = x − y 2 .
(k) Si f (x, y) → L cuando (x, y) → (a, b) a lo largo de toda recta que pasa por (a, b)
entonces lim(x,y)→(a,b) f (x, y) = L.
(l) Si f tiene dos máximos relativos entonces f debe tener un mı́nimo local
(m) Sea f una una función diferenciable en R y z = y + f (x2 − y 2 ). Entonces
y
∂z
∂z
+x
= x.
∂x
∂y
(n) La función f (x, y) = ax+by +c es diferenciable en todo punto de R2 para cualquier valor de a, b, c ∈ R.
(o) Las trayectorias curvas de ecuaciones r~1 (t) =< 1 + t, 1 + t2 , t3 > y r~2 (t) =< t, t, t − 1 > no tienen ningún
punto en común.
(p) Si f es diferenciable en (a, b) entonces fx (a, b) y fy (a, b) existen.
(q) Si fx (a, b) y fy (a, b) existen, entonces f es diferenciable en (a, b).
(r) Existen fx (a, b) y fy (a, b) si y sólo si f es diferenciable en (a, b).
√
√
(s) Si f (x, y) = senx + seny entonces − 2 ≤ D~u f (x, y) ≤ 2.
(t) El campo escalar z(x, y) = xy + x exp xy , con x 6= 0, satisface la ecuación diferencial
xzx (x, y) + yzy (x, y) = xy + z(x, y).