MODELO de KRONIG-PENNEY

BANDAS DE ENERGIA en SOLIDOS
MODELO de KRONIG-PENNEY
Dr. Andres Ozols
Noviembre 2004
Dr. A. Ozols
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MODELO ANALITICO DE BANDAS DE ENERGÍA
Las hipótesis del modelo son:
-El electrón en el cristal es una partícula libre, con una masa
efectiva. Esta contiene la información sobre la interacción media con
otros electrones, iones, defectos cristalinos, fonones y otros entes
dispersivos.
-El potencial de interacción con los iones es periódico.
-La energía potencial del cristal es periódica.
-La interacción con los núcleos atómicos es de corto alcance.
Está decae muy rápidamente al alejarse.
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MODELO BANDAS DE ENERGÍA
Niveles de energía
próximos al ión en
un potencial
coulumbiano
EP =
q2
4πε 0 r
-Principio de Exclusión de Pauli: dos electrones con spin diferente no pueden
ocupar el mismo nivel de energía.
•Los niveles de energía en el sólido forman bandas de energía.
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MODELO DE KRONIG – PENNEY
Este
modelo
describe
el
movimiento de un solo electrón en
la una red cristalina periódica
unidimensional. Este atraviesa en
forma dos tipos de regiones en
forma alternada:
región I
región II
Ep = 0
Ep = E0
Ese movimiento de la partícula esta descripto por la Ecuación de
Schrödinger independiente del tiempo:
= 2 ∂ 2ψ ( x)
EP − EC =
2mψ ( x ) ∂x 2
= 2 ∂ 2ψ ( x)
+ ( EP − EC )ψ ( x ) = 0
2
2m ∂x
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MODELO DE KRONIG – PENNEY
- El potencial del cristal describe por medio la función periódica:
u(x) (función de Bloch periódica)
- La función onda ψ
(x) tiene una amplitud modulada en x:
ψ (x) = u(x) ejKx
DETERMINACION DE LAS FUNCIONES DE BLOCH
2m
∂ 2ψ ( x)
( E − EP )ψ ( x)
=
−
∂x 2
=2
ONDA
REGION I EP = 0
2mE
∂ 2ψ ( x )
=
−
ψ ( x)
2
2
∂x
=
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DETERMINACION DE LAS FUNCIONES DE BLOCH
2m
∂ 2ψ ( x )
= − 2 ( E − EP )ψ ( x)
2
∂x
=
REGION I EP = 0
∂ 2ψ ( x)
2mE
=
−
ψ ( x)
2
2
∂x
=
Si
2mE
α = 2
=
2
ψ I ( x ) = u I ( x )e
jKx
∂ 2ψ I ( x )
jKx
2
=
−
α
u
(
x
)
e
I
∂x 2
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DETERMINACION DE LAS FUNCIONES DE BLOCH
Desarrollando las derivadas
∂ψ I ( x) ∂[uI ( x)e jKx ]
=
∂x
∂x
∂ψ I ( x)
∂[u I ( x )] jKx
= jKu I ( x)e jKx +
e
∂x
∂x
∂ 2ψ I ( x)
∂[uI ( x)] jKx
∂ 2 [uI ( x)] jKx
∂[uI ( x)] jKx
jKx
=
−
+
+
(
)
jK
e
Ku
x
e
e
jK
e
I
2
2
∂x
∂x
∂x
∂x
∂ 2 [u I ( x)] jKx
∂[u I ( x)] jKx
jKx
jKx
2
2
e
+
2
jK
e
−
K
u
(
x
)
e
=
−
α
u
(
x
)
e
I
I
∂x 2
∂x
∂ 2 [uI ( x)] jKx
∂[uI ( x)] jKx
2
2
jKx
α
e
2
jK
e
(
K
)
u
(
x
)
e
+
−
−
=0
I
2
∂x
∂x
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DETERMINACION DE LAS FUNCIONES DE BLOCH
REGION II EP = E0
2m[ E − E0 ]
∂ 2ψ II ( x )
=
−
ψ II ( x)
2
2
∂x
=
Si
2m[ E0 − E ]
β =
=2
2
ψ II(x) = uII(x) ejKx
∂ 2ψ II ( x ) ∂ 2
jKx
(
u
(
x
)
e
)
=
II
2
2
∂x
∂x
Análogamente a los desarrollos con la región I:
∂ 2 [uII ( x)] jKx
∂[uII ( x)] jKx
2
2
jKx
+
−
−
=0
β
e
2
jK
e
(
K
)
u
(
x
)
e
II
2
∂x
∂x
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DETERMINACION DE LAS FUNCIONES DE BLOCH
Las soluciones de la ecuaciones:
uI ( x) = Ae j (α − K ) x + Be− j ( β + K ) x
u II ( x) = Ce
j (α − K ) x
+ De
− j(β +K )x
Las condiciones de contorno:
x =0
X =a y x=-b
uI (0) = uII (0)
uI (a) = uII (−b)
duI ( x)
dx
duI ( x)
dx
duII ( x)
x =0 =
dx
x =0
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duII ( x)
x =a =
dx
x =− b
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DETERMINACION DE LAS FUNCIONES DE BLOCH
Al resolver estas ecuaciones se obtiene un sistema de 4 ecuaciones de 4
incógnitas que conducen a la ecuación:
β 2 −α 2
sh( β b) sen(α a) + ch( β b) cos(α a) = cos[ K (a + b)]
2αβ
E < E0
1.- El 1er miembro es una relación trigonométrica.
2.- El 2do miembro es una función armónica válida entre + 1 y –1.
3.- El 1er miembro puede dar valores mayores que 1.
Además, K está cuantificado por las condiciones del Teorema de Bloch:
K=
2π n
N (a + b)
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N nº de átomos
(a+b) parámetro de red
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DETERMINACION DE LAS BANDAS DE ENERGIA
Se obtienen bandas de energía permitidas y prohibidas.
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BANDAS de ENERGIA
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BANDAS de ENERGIA
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