LAS MATEMÁTICAS EN LA NATURALEZA (PDF Available)

Las Matemáticas en la Naturaleza
LAS MATEMÁTICAS EN LA NATURALEZA
Juan Carlos Peral Alonso (*)
1. ANUMERISMO
Donde se cuentan mil zarandajas, tan impertinentes como necesarias para el entendimiento
de esta grande historia. Don Quijote. Cervantes.
Las matemáticas además de su papel formativo y de transmisión de ideas tienen también una
presencia importante en la naturaleza y en casi cualquier ámbito de la actividad humana.
Uno de los aspectos más conocidos de la utilidad práctica de las matemáticas es su gran capacidad para la modelización de fenómenos naturales, ya que el estudio de esos modelos permite entender mejor, explicar, e incluso predecir nuestro comportamiento.
Por ejemplo, la estela que deja una barca sobre la superficie de un río puede descubrirse
mediante el principio de Huyguens generalizado que se deduce del modelo teórico
de propagación de las ondas y su correspondiente ecuación.
La descripción de un modelo matemático
para la asignación de precio a ciertos tipos
de productos financieros les valió el premio Nobel de Economía a Black y
Scholes. Curiosamente una de las herramientas matemáticas usada por dichos
economistas está directamente relacionada con el modelo de transmisión del
calor.
Vista frontal de la Vía Láctea. 1021
Los códigos para las tarjetas de crédito o
para la transmisión de mensajes cifrados
son aplicaciones directas de la criptografía
en la que juegan un papel esencial cuestiones teóricas de las matemáticas llamadas puras.
Por otra parte en la información diaria, las matemáticas están profusamente representadas.
Cuando alguien habla de que el desempleo ha seguido bajando pero a un ritmo menor que en
los últimos meses lo único que está haciendo es informarnos del signo de la primera y segunda
derivadas de una misma función.
Además todo tipo de números nos rodean en nuestra vida diaria en distintas formas: proporciones,porcentajes de crecimiento de precios, gráficos, tablas o estadísticas.
* Universidad del País Vasco- Euskal Herriko Unibertsitatea.
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Hay también otros números grandes y pequeños que están presentes aunque resulten un poco
más alejados de nuestra experiencia diaria. En la lista que sigue se recogen algunos, que en
caso de ser diferentes cambiarían nuestro entorno vital de una forma drástica.
Edad del universo: 1.5 x 1010 años
Aparición del homo erectis: 1.5 x 106 años.
Aparición del homo sapiens: 3,5 x 105 años.
Constante de Gravitación: 6.67 x 10-11 m3/ kg.sg2.
Velocidad de la luz: 2.9979 x 105 km./ sg.
Radio del electrón: 2.8178 x 10-15 m.
Diámetro de las células: 2 x 10-5 m.
Radio de la Tierra: 6.350km.
Masa de la Tierra: 5.98 x 1024 kg.
A pesar de todo lo citado hasta aquí hay un anumerismo imperante, bastante fácil de reconocer como muestran los siguientes ejemplos.
La predicción meteorológica
El hombre del tiempo dice en una cadena de televisión:
“... la probabilidad de que llueva el sábado es del cincuenta por ciento y la probabilidad
de que llueva el domingo es también del cincuenta por ciento, y concluye; saquen sus
paraguas del armario porque con estos datos es seguro que lloverá el fin de semana...”
El cubo de Rubick
La compañía juguetera Ideal Toy Company afirmaba en el envoltorio del cubo de Rubick que
el cubo admite más de tres mil millones de posiciones distintas, es decir, 3 x 109, lo cual es
cierto ya que admite más de 4 x 1019 combinaciones diferentes.
Esta subestimación, que en este caso es contraria a los intereses del anunciante, es parecida a
un cartel situado a la entrada de Nueva York y que dijera:
“Bienvenido, llega usted a una población con más de 6 habitantes.”
El mito de la mortalidad de los seres humanos
Aproximadamente un treinta por ciento de los humanos que has existido en toda la historia
estamos vivos en estos momentos sobre el planeta Tierra, y con la tasa actual de crecimiento
de la población en poco tiempo ese porcentaje será superior al cincuenta por ciento.
¿No es cierto que por el hecho de que hayan muerto la mitad de nuestros congéneres, inferir
que todos moriremos es un poco abusivo?
El ejecutivo temeroso
Un hombre que viajaba mucho estaba muy preocupado por la posibilidad de que hubiera una
bomba en su avión. Calculó la probabilidad de que esto sucediera, y aunque era pequeña no
se quedó tranquilo. Desde entonces lleva siempre una bomba en su maleta ya que, según él,
la probabilidad de que en un mismo avión haya dos bombas es infinitesimal.
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Para continuar nuestro paseo por los números
propongo ahora un viaje y después una adivinanza.
2. UN VIAJE
Vamos a estudiar el crecimiento de las potencias positivas de 10 y el decrecimiento de las
potencias negativas, realizando un viaje imaginario. Usaremos una cámara fotográfica y
las potencias de diez.
Linfocito, 10 micras
Haremos un viaje alejándonos de nuestro
objetivo, tomando fotografías cada vez a una
distancia diez veces superior a la de la etapa
anterior y ése será nuestro viaje hacia afuera,
y después acercándonos y ése será nuestro
viaje hacia adentro.
Es curioso que en los confines de ambos viajes lo que encontraremos será parecido: hélices,
espirales y el vacío.
Veamos a dónde nos lleva nuestro viaje, que parte de una escena cotidiana.
Hacia fuera
Tomamos la primera foto a un metro de distancia.
Estamos en la escala humana. Vemos a un hombre apaciblemente dormido y rodeado por las
cosas de uso diario.
Si ahora se toma una segunda foto a cien metros, se observa al hombre desde cierta altura y se
ve que está pasando la tarde en una zona de césped situada entre una autopista y un muelle.
Por cierto, si la humanidad estuviera distribuida de manera uniforme sobre el planeta, a esta
persona le correspondería dos veces la superficie que se ve en la fotografía, que aproximadamente es de 104 metros cuadrados. Es decir no podríamos tener un campo de golf para cada
habitante de la tierra.
Si la siguiente foto se toma a mil metros de altura se contempla un estadio y diversos muelles
para embarcaciones de recreo.
Al subir otras diez veces, (estamos a 10 km.) se divisa una zona urbana donde viven un millón
de personas. Se observa la parte sur del lago donde se encuentra la ciudad y se distingue el
entramado urbano con las calles principales aún visibles.
Si subimos con nuestra cámara hasta 1000 km., es decir la altura aproximada de una órbita
baja de un satélite, podemos contemplar el contorno del lago.
Hay nubes y claros y difícilmente pueden reconocerse a esta altura obras de factura humana.
El primer satélite artificial (Sputnik) fue puesto en órbita el 4 de octubre de 1957. Pesaba unos
80 kilos y el apogeo de su órbita fue de unos 940 km. Daba una vuelta completa a la Tierra
en 96 minutos.
Al llegar a los 10.000 km. estamos observando la Tierra vista con cierto detalle. Esta imagen
fue esperada por los cartógrafos hasta el años 1967.
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En alturas de este orden aproximado de magnitud se encuentran las órbitas de los satélites geoestacionarios (aquellos con un período de rotación igual al de la tierra, o sea ( 24 horas), que
son usados para la telecomunicación y deben tener una altitud orbital aproximada de 36.000
km. El primero de este fue el Syncom 2. puesto en órbita el 26 de julio de 1963 con un peso
de 39 kilos. A partir de 1965 se inició la serie de los Intelsat. La primera persona en sugerir
esta posibilidad fue Arthur C. Clarke en 1945.
A los 100.000 kilómetros vemos nuestra casa, la Tierra, solitaria en el espacio: el planeta de
color azul por su atmósfera. Atraviesa, aproximadamente, en su giro en torno al sol, el lado
de un cuadro en cada hora.
La Tierra es el tercer planeta del Sistema Solar con un radio ecuatorial de unos 6.378 km. La
luz del Sol tarda unos 8 minutos en llegar a la Tierra y viaja a 2.9979 x 105 =3 x 105 kilómetros por segundo por lo que la distancia media de la Tierra al Sol es de R= 8 x 60 x 3 x 105=
1.4 x 108 kilómetros (149.573.000 km.), que tomamos como radio medio de la órbita terrestre, de donde deducimos que la Tierra recorre en un año D = 2 x R = 8.8 x 108 kilómetros
aproximadamente. Por ello, al dividir entre el
número de horas que es de 8760, resulta que
viajamos a una velocidad lineal media de
unos 1.07 x 105 km/ hora, o de forma equivalente a uno 29.8 km/ seg.
Espirales en el girasol
Si nos situamos a un millón de kilómetros
contemplaremos la Luna y su órbita en torno
a la Tierra. En esta zona se encuentra el lugar
más alejado de la Tierra que a visitado la
especie humana. La Luna tiene un radio de
1.700 km. (frente a los 6.300 de la Tierra) y
una densidad de 3.34 g/ cm3 frente a los 5.52
g/cm3 de la Tierra. Gira en torno a la Tierra en
29 días, lo mismo que tarda en girar sobre su
eje, esto explica que presente siempre la
misma parte hacia la Tierra. Se encuentra a
unos 385.000 km. de la Tierra (poco más de
1.28 segundos-luz). Los astronautas Armstrong
y Aldrin llegaron a la Luna del 20 de Julio de
1969 con el Apolo 11.
Si subimos hasta 10 mil millones de kilómetros vemos las órbitas de los planetas exteriores.
Neptuno, Urano, Saturno, Júpiter, y la más excéntrica, que es Plutón, y que es la única situada
en un plano netamente diferente.
Al llegar a los 100 mil millones de kilómetros contemplamos los planetas en su conjunto
girando en torno al sol.
Si seguimos nuestra ascensión hasta los 100 mil años-luz podemos ver la Vía Láctea frontalmente (es un disco casi plano) y con su forma marcadamente espiral. Tiene unos 100 mil
millones de estrellas, (1011 estrellas), una de ellas es nuestro Sol, que gira en torno al centro de
la galaxia dando una vuelta cada 300 millones de años, osea, cada 3 x 108 años.
La edad del universo es de 15 x 109 años, por lo que a lo más ha dado 50 vueltas en torno a
su centro galáctico desde el comienzo del universo.
Si seguimos más allá contemplaremos un espacio prácticamente vacío...
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Hacia adentro
Hacemos la primera foto, en este viaje interior, a 10 centímetros, y vemos uno de los instrumentos más versátiles y perfectos: una mano humana vista de cerca.
Si ahora se hace un acercamiento hasta la décima parte, es decir a un centímetro, se distinguen las arrugas y pliegues de la piel, signo y consecuencias de la flexibilidad.
Al pasar a las 10 micras, o sea tres etapas más, estamos contemplando, tras atravesar la piel y
un vaso capilar por donde circula la sangre, un linfocito ( célula blanca ) que forma parte del
sistema inmunitario con el que el cuerpo se defiende de las infecciones.
Hay muchos tipos de células en el cuerpo humano, pero las más frecuentes tienen un diámetro de unas 20 micras.
Una persona de 70 kilos, cuya densidad es aproximadamente uno, tiene un volumen de 70
kilos ( o, lo que es igual, caben unas 14 personas en un metro cúbico) por lo que una persona
ocupa 0.07 metros cúbicos.
Como cada célula (supuesta un cubo) ocupa (20 x 10-6)3 = 8 x 10-15 metros cúbicos, en una
persona hay
7 x 10-2 = 1013
8 x 10-15
células, es decir cien veces más que estrellas en la Vía Láctea.
Si llegamos a la dimensión de la micra, vemos la membrana del núcleo del linfocito con sus
poros para el intercambio de sustancias químicas.
En una etapa más, o sea en la décima de micra, se contemplan las moléculas del ADN con
sus hélices replegadas en este espacio tan reducido. Cada uno de los 46 cromosomas del
núcleo de cada célula humana tiene una de estas estructuras moleculares.
En 1953 Watson y Crick propusieron este modelo como elemento fundamental en la transmisión genética y recibieron el premio Nobel de Medicina en 1962 por su trabajo. Cada una de
las hélices tiene unos componentes básicos (cuatro
bases orgánicas) A, Adenina
ligada a la T, Timina de la
otra hélice y G, Guanina
ligada a C, Citosina de la
otra. Hay unidades de tres
de estos cuatro componentes que producen un código
básico de 64 elementos
AAA,AAC, etc. en el que
está contenida toda la información genética de cada
especie.
Nautilius
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Las células del ADN humano, cuando son estiradas,
alcanzan unos milímetros
de longitud y, como una
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persona tiene 1013 células, las distancia que se alcanza si se disponen todas estas moléculas
una tras otra es de 2 x 1010 kilómetros, es decir, es suficiente para hacer un tendido de ida y
vuelta hasta el Sol.
En la escala de los 100 armstrong se ve la doble hélice del ADN en mayor detalle. Todo el
mensaje genético está contenido aquí.
Hay que citar que las moléculas de ADN de los anfibios son bastante más largas que las humanas.
Si se llega a la escala del manómetro se pueden observar moléculas formadas por un átomo
de carbono y tres de hidrógeno visibles, y un cuarto átomo situado detrás.
Tres pasos más y estamos en la medida del picómetro en la que aparece el núcleo del átomo
( en este caso con seis protones) rodeado por un inmenso espacio vacío.
Al llegar hasta el fermi vemos el núcleo en detalle: los 6 protones y los 6 neutrones correspondientes al carbono no- 12. El carbono, que tiene número atómico 6, representa, aproximadamente, el 0.2 por ciento de la corteza terrestre. Uno de sus isótopos radiactivo, el carbono- 14, tiene una vida media de 57.304 ± 40 años, y se utiliza en la datación de fósiles.
La ley explica la desintegración del carbono radiactivo se modeliza con una ecuación diferencial.
3. ADIVINANZA
La sucesión de Fibonacci
No podemos preguntar qué relación existe entre el Partenón y un girasol, es decir, un templo
griego construido hace 2.500 años y un humilde fruto vegetal.
Como la explicación parece estar un poco oculta necesitamos ayuda, pero ¿qué mejor ayuda
para desvelar un misterio que la que puede proporcionar un mago? Pedimos ayuda a alguien
que vivió hacia 1200 en Pisa,y que, aunque su nombre era Leonardo Bigollo, ha pasado a la
posteridad por su apodo: Fibonacci ( contracción de Filius Bonacci).
Fibonacci fue un matemático que se preocupó de introducir en el mundo occidental el uso
del sistema de numeración indo-arábigo (el que usamos en la actualidad) para sustituir al sistema romano, que resultaba muy incómodo incluso para los cálculos más sencillos.
Pero los magos suelen hacer sus trucos ayudados por algún animal, y este caso no será la
excepción. Fibonacci estudió el ritmo de desarrollo de una colonia de conejos, dando lugar a
la llamada sucesión que lleva su nombre y que será la clave para la explicación de la relación que buscamos y que, no lo olvidemos, es la relación entre el Partenón y un girasol.
En su libro Liber Abaci, Fibonacci propuso un problema relativo al crecimiento en número de
una colonia de conejos de los que se supone que se reproducen a partir del segundo mes de
vida y de forma que cada pareja genera una nueva pareja cada mes, pero como se ha dicho
a partir del segundo de existencia. El problema planteado por Fibonacci consiste en calcular
el número de parejas existentes al cabo de n meses. Llamaremos Fn a ese número.
Si se comienza con una pareja en el primer mes, en el segundo, como aún no son fértiles se
tiene también una pareja, en cambio en el tercero se han reproducido y hay dos parejas, en
el cuarto hay tres, y así sucesivamente.
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Un momento de reflexión nos lleva a la conclusión de que la ley de formación de los términos de la sucesión de Fibonacci está dada por el hecho de que para obtener un término basta
con sumar los dos anteriores. Es decir, en notación matemática;
Fn+2 = Fn+1 + Fn
para n>1
Los primeros términos de la sucesión de Fibonacci resultan ser;
1, 1, 2, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...
Filotaxia
Ahora podemos volver
a nuestro problema original, y si nos fijamos
en el girasol vemos que
sus frutos están dispuestos en unas espirales a izquierda y otras a
derecha. Si contamos
el número de unas y
otras vemos que son 34
y 55 respectivamente,
es decir, dos elementos
consecutivos de la sucesión de Fibonacci.
Razón áurea y proporciones del Partenón
Naturalmente podría
pensarse que esto es
una coincidencia, pero estudios matemáticos revelan que, dependiendo del tamaño de los
girasoles, el número de espirales en uno y otro sentido está formado casi siempre por un par
de términos consecutivos de la sucesión de Fibonacci, que suele ser 34 y 55 como en el ejemplo que hemos visto ó 55 y 89 en los frutos más grandes.
El fenómeno que acabamos de describir para los girasoles es mucho más que una simple anécdota, ya que es muy común en el mundo vegetal.
Por ejemplo, las piñas comunes (Ananas comosus) muestran 8 espirales a derecha, 13 a la
izquierda y 21 en sentido vertical, es decir, términos consecutivos de la sucesión de Fibonacci.
Esto fue descrito por un socio de la sociedad hawaiana editora de la revista Pineaple Quartely
en 1933.
De la misma forma, hay muchas especies de árboles que presentan una disposición de las
hojas en torno al tallo característica de la especie, y que indica que cada hoja aparece girada
respecto a la anterior en una proporción del ángulo total que es 1/2 para el olmo y el tilo, 1/3
para el avellano y el haya, 2/5 para el roble y el albaricoque, 3/8 para el álamo y el peral, 5/13
para el sauce y el almendro, etc., es decir, en todos los casos fracciones formadas por números de la sucesión de Fibonacci alternos (Fn, Fn+2).
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El fenómeno descrito se conoce como Filotaxia; etimológicamente disposición de las hojas.
La razón áurea
Pero en nuestro problema original nos faltan las explicaciones y parecen acumularse las preguntas ya que nos queda por explicar:
a) ¿qué relación tiene la sucesión de Fibonacci con el Partenón?
b) ¿por qué en el girasol aparece el fenómeno descrito en relación al número de espirales?
Afortunadamente las dos preguntas tienen una respuesta relacionada y para llegar a descubrir
el enigma vamos a introducir la razón áurea.
En diversos momentos históricos los artistas plásticos se han preocupado por encontrar un tipo
de proporción que resultase especialmente armónico y agradable. Uno de los intentos más
intensos en este sentido se ha centrado en torno a la razón áurea, que es la proporción que
resulta al dividir un segmento en dos, de forma que la relación entre las longitudes mayor y
menor sea igual que la relación entre las longitudes del total y la del trozo mayor.
Esta idea parece haber influido en el arte desde la Grecia Clásica hasta el Movimiento
Impresionista y desde Egipto al Renacimiento, jugando un papel importante en la arquitectura,
la pintura, y la escultura de dichas épocas.
Por ejemplo, el arquitecto suizo Le Courbissier (1887-1965) utilizó la razón áurea para su
famosa escala de proporciones conocida como El Modulor, que incluye la noción de que la
proporción áurea se encuentra de forma natural en el cuerpo humano al ser la proporción (
en media) entre la altura de un persona y la distancia de la cabeza al ombligo. Pero antes de
seguir necesitamos unas nociones elementales sobre el significado matemático de la razón
áurea.
Si llamamos c a la longitud del trozo corto, l a la del trozo largo y t al total, la definición anterior significa:
1
t
1+c
c
=
=
=1+
c
1
1
1
Por tanto, si se denomina a esa razón común, resulta que ha de verificar
=1+
c
1
➾
=
t
1+
1
=
De forma equivalente; es solución de la ecuación cuadrática
x2 = x + 1
Es inmediato obtener la única solución mayor que uno de esta ecuación es el valor
= 1 + 5 = 1.618 ...
1
Este número fue llamado de Proporción Divina por Fray Luca Paccioli di Borgo (1445-1514)
en su tratado De Divina Proportione que fue ilustrado nada menos que por Leonardo Da Vinci.
Pues bien, en1850 Zeysing observó la presencia de la razón áurea en las proporciones de la
fachada del Partenón y posteriormente otros autores han analizado éste y otros templos griegos, así como vasijas de esta época y han encontrado la presencia de este número en un buena
parte de las diversas proporciones externas de dichas piezas de arte.
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También se ha afirmado por diversos autores
que está presente en las proporciones de
las dimensiones de las pirámides de Egipto.
Hanbidge, Lund y Moessel han desarrollado
más estas ideas y, fruto de ellas, son diversos
análisis gráficos referentes al Partenón, a la
obra de Miguel Ángel en la Capilla Sixtina, y
a otras obras de arte, tales como las vasijas
griegas del Museo de Boston, etc...
Pero aquí falta algo, ¿qué relación tiene esto
con el girasol, o con la sucesión de
Fibonacci? De nuevo el granjero de los
conejos nos va a ayudar porque al cabo de
un tiempo observó que la tasa de crecimiento mensual del número de parejas de
conejos se estabilizó cerca de un número, es
decir de un mes para otro la proporción
entre el número de parejas en ese mes y en
el siguiente era más o menos constante.
Uno de los dibujos de Escher
Para calcular qué constante es ésa, nos basta con hacer un sencillo razonamiento; si llamamos p al número por el que hay que multiplicar el número de parejas en el mes N, es decir,
Fn, para obtener, de forma aproximada, las que hay en el mes n+1, o sea Fn+1, entonces se tendrá que, básicamente;
Fn+1 = pFn
de donde: Fn+2 = pFn+1 = p (pFn)
Y, al aplicar la ley de recurrencia de la sucesión, resulta que, salvo algún pequeño error, se
verifica que;
Fn+2 = p2Fn = pFn + Fn
de donde: p2 = p + 1
Es decir p = la razón áurea, puesto que satisfacen la misma ecuación de segundo grado.
Y esto cierra la relación buscada entre el Partenón y el girasol, usando para ello la noción
matemática de recurrencia.
Espirales
Pero hay más, la forma de las espirales del girasol, y no sólo su número, están relacionadas
con la sucesión de Fibonacci y con el número de oro, y además ahora estamos en condiciones de entender la filotaxia mucho mejor.
En el girasol se observan dos tipos de espirales llamadas por los botánicos paristiquios, pero,
como suele ocurrir, esa primera mirada superficial refleja un hecho que es consecuencia de
otro hecho mucho más profundo.
Los botánicos se dieron cuenta de que cada una de las partes del fruto procedía de una zona
central de un tejido indiferenciado, constituyéndose en unos abultamientos llamados primordios y que al desarrollarse dan lugar a las pipas.
Pues bien, si se numeran los primordios de acuerdo a su edad se forma una nueva espiral
mucho más cerrada y no visible a simple vista, que se llama la espiral generativa.
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Cada uno de los primordios se desplaza radialmente por ser empujado por los nuevos primordios que se van desarrollando y, además, su velocidad de desplazamiento es proporcional
a su distancia al centro ( lo que explica el desarrollo de tipo logarítimico de las espirales).
Pero además lo primordios van apareciendo con un ángulo constante llamado ángulo de
divergencia. Y ahora pensemos qué tipo de ángulo es, antes incluso de medirlo.
Si fuese, por ejemplo, un ángulo de cuarto de giro, resultaría que nuestro girasol adulto sería
muy diferente al que hemos visto por que quedarían grandes espacios vacíos, y de hecho en
ese caso el girasol tendría sus frutos dispuestos en una especie de cruz, pero algo parecido
ocurriría si el ángulo fuese un sexto del giro total, ya que en este caso el girasol tendría el
aspecto de una rueda con seis radios, etc...
En general, este razonamiento nos lleva a concluir que para que no haya grandes espacios
vacíos, y sabemos que en los frutos reales no los hay, el ángulo de divergencia no puede ser
un múltiplo racional de 360 grados, Pero si no es un múltiplo racional será irracional, y así
sucede al ser nada menos que 360 dividido entre la razón áurea. Pero este número es, en un
sentido matemático muy profundo (teorema de Hurtwitz), el más irracional de todos los números irracionales, lo cual sugiere que los girasoles son expertos en teoría de números.
Teorema de Hurtwitz
a) Sea un número irracional cualquiera. Entonces existen infinitos racionales diferentes h/k tales que
1
| - h |<
k
5k2
b) la constante 5 de la parte a) es la mejor posible como se ve utilizando = Es decir,en algún sentido, la razón áurea es el más irracional de todos los números.
Esto explica de forma inmediata la formación de otras espirales, su forma que es logarítmica,
igual que la forma de la concha del Nautilus, y el hecho de que se produzca un empaquetado
óptimo de las semillas del girasol.
La forma de espiral logarítmica se prodiga en la naturaleza, por ejemplo en la concha del
Nautilus, en las espirales formadas por los frutos de las piñas, en las que conforman la estructura del virus del tabaco o en las que pueden observarse en la forma del crecimiento de los
cuernos de diversos mamíferos.
Todo ello sin olvidar las espirales presentes en la estructura de la doble hélice del ADN, la
espiral presente en nuestra galaxia, los dibujos de Escher o el embaldosado de Penrose por
citar algunos ejemplos más.
Para terminar recurrimos a una de las citas más conocidas sobre las matemáticas en la naturaleza, pero no por ello menos válida, se debe a Galileo y es como sigue:
“La filosofía está escrita en el gran libro del Universo, constantemente abierto para nuestro
deleite, pero que no puede ser entendido salvo que aprendamos primero a comprender el lenguaje en que está escrito.
El libro de la Naturaleza está escrito en el lenguaje de las matemáticas, y sus caracteres son
triángulos, círculos y otras figuras geométricas, sin las cuales es humanamente imposible
entender una sola palabra suya; sin ellos uno está vagando a través de un oscuro laberinto.”
Galileo(1623).
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BIBLIOGRAFÍA
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