Poincar INFORME FINAL

INFORME FINAL
AYUDAS DENTRO DEL PROYECTO CONSOLIDER
‘INGENIO MATHEMATICA’
DATOS DE LA ACTIVIDAD
TÍTULO DE LA ACCIÓN:
‘La Conjetura de Poincaré: Flujo de Ricci y aplicaciones’
REFERENCIA:
FECHA DE INICIO:
FECHA DE FINALIZACIÓN:
MIGS-C1-0008
28 de junio de 2007
7 de julio de 2007
LUGAR DE REALIZACIÓN:
Facultad de Ciencias de la Universidad de Granada
WEB CON INFORMACIÓN DE LA ACTIVIDAD (en el caso de que se haya creado una página Web específica para esta actividad)
http://www.uv.es/~poincare
Proyecto Ingenio Mathematica
OTRI-Pabellón de Gobierno, Universidad de Cantabria, Avda. Los Castros s/n, 39005 Santander
MEMORIA DE LAS ACTIVIDADES DESARROLLADAS:
El objetivo del curso era presentar la demostración de las conjetura de Poincaré (y una
indicación de la demostración de la conjetura de geometrización de Thurston) usando el
flujo de Ricci según Perelman.
Se planteó como parte principal del curso el estudio del flujo de Ricci y los trabajos de
Perelman. Con esto como base, se realizó una reunión previa de los profesores del
curso en Valencia, el día 18 de mayo, para determinar qué se debía explicar en las
materias preliminares y como se debía de repartir el número de horas. Estas
discusiones continuaron depués, para perfilar detalles, a través del correo electrónico. A
última hora uno de los profesores (Olga Gil) se puso enfermo y hubo de ser sustituido
por otros dos (Magdalena Rodríguez y Antonio Ros). El resultado final fue la siguiente
distrinbución de materias:
GRAG: Geometría Riemanniana y Análisis Geométrico:
Parte 1: Geometría Riemanniana: 3 horas, en las que el profesor fue Magdalena
Rodríguez Pérez y el contenido:
- métrica, isometría, conexión de Levi Civita, curvatura de Riemann,
derivada covariante de un tensor,
-relación entre la derivada de Lie y la derivada covariante (recordar lo
que es el flujo de un campo vectorial).
- geodésicas, aplicación exponencial, coordenadas normales, desarrolo
de Taylor de una métrica
-distancia riemanniana, variación de la longitud (o de la energía),
campos de Jacobi, cut locus, teoremas de comparación: de Bishop y de
Bishop-Gromov. Teorema de Myers.
Parte 2: Analisis Geometrico: 2 horas, de las que fue profesor Antonio Ros Mulero y el
contenido
- El laplaciano sobre funciones y campos tensoriales (defiinición y
expresión en coordenadas)
- Símbolo principal de un operador. Operadores elípticos.
- Introducción a la ecuación del calor: operador parabólico,
propiedad smoothing, principios del máximo parabólicos,desigualdad de Li-YauHarnack.
Pueden verse las trasparencias de la primera parte en la página web. La segunda parte
fue toda expicación de pizarra.
GCEA: Geometría de Comparación y Espacios de Alexandrov:
Fue profesor: Luis Guijarro Santamaría
La duración fue de 5 horas
Su contenido fue una introducción breve a algunas de las técnicas de convergencia de
variedades y de argumentos de comparación necesarias para el curso RICF. Este curso
se alternó con el anterior GRAG y las partes en que se dividió su contenido fueron:
1) Convergencia de variedades y espacios métricos. Distancia de Gromov-Hausdorff.
Teorema de precompacidad. Covergencia fuerte. Teorema de Cheeger-Gromov.
2) Geometría de comparación. Teorema de Toponogov, versiones, y aplicaciones a
variedades de curvatura seccional no negativa.
3) Espacios de Alexandrov. Teoremas de estructura.
Pueden verse las transparencias en la página web.
TOP3: Topología de variedades tridimensionales
Fue profesor: Joan Porti Piqué
La duración fue de 4 horas:
El objetivo del curso es presentar las nociones básicas que permiten
comprender las conjeturas de Poincaré y de geometrización.
También se introducen las herramientas topológicas utilizadas en la demostración;
en particular, en la cuarta sesión se imparten las herramientas para el curso ETRF. Los
temas concretos del curso son
Preliminares de la conjetura de geometrización (Suma connexa,
irreducibilidad, incompressibilidad, Variedades de Seifert.)
Conjetura de geometrización (Variedades hiperbólicas.
Enunciado de la Conjetura. Ejemplos. Métricas hundidas )
Topología algebraica de variedades tridimensionales.
(Dualidad de Poincaré, grupos de homotopía superiores, teorema de Hurewicz)
Esta parte se expuso toda en pizarra.
RICF: Flujo de Ricci
Profesores: Esther Cabezas Rivas y Vicente Miquel Molina
El curso duró 13 horas: 8 horas fueron dadas por Esther Cabezas Rivas y 5 horas por
Vicente Miquel Molina)
Constituía el núcleo de la escuela En él. Tras una introducción sobre el trabajo de
Hamilton, se abordaron con cierto detalle las aportaciones de Perelman sobre el flujo de
Ricci y la demostración de la conjetura de Poincaré. Los apartados fueron
1. Introducción y esquema de la demostración de Hamilton-Perelman de
la conjetura de Poincaré
1.1 Ecuación del flujo de Ricci
1.2. Etapas de la demostración de la Conjetura de Poincaré
2. Flujo de Ricci de Hamilton
2.1 Ecuaciones de evolución asociadas al RF.
2.2. Existencia local de soluciones. Truco de DeTurck.
2.3 Principales técnicas para el Flujo de Ricci de Hamilton.
2.4. Solitones de Ricci: forma canónica y solitones gradiente.
3. Geometría de comparación para el Flujo de Ricci y resultados de no colapso.
3.1. Distancia y volumen reducido
3.2. Demostración del teorema de no colapso
3.3. Aplicaciones geométricas del no-colapso.
4. Estudio y clasificación de los modelos singulares.
4.1 Definición de k-solución
4.2 Herramientas para la clasificación
4.3 Clasificación de las k-soluciones.
5. Teorema del entorno canónico o de estructura de las singularidades.
5. Teorema del entorno canónico o de estructura de las singularidades.
6. El flujo en el tiempo singular y proceso de cirugía
6.1 Descripción de la variedad en el primer tiempo singular
6.2 Proceso de cirugía
Esta parte del curso se dio mixta entre transparencias y pizarra. Algunas de las
trnasparencias se pueden encontrar en la página web.
VALORACIÓN DE LOS RESULTADOS OBTENIDOS:
Creo que se puede caracterizar el curso como un éxito. Asistieron 50 personas. Entre
las ayudas de Ingenio Mathematica y las de otras fuentes se consiguió subvencionar (en
todo o en parte) a 26 personas además de a los profesores del curso.
El ambiente de los asistentes era bueno y mostraban mucho interés. Hasta el último día
(el sábado por la mañana fueron las tres últimas charlas) hubo una participación masiva
(bien es verdad que quien no se quedaba hasta el final se quedaba sin saber como se
acababa la demostración de la conjetura y eso daba interés hasta el punto de que
algunos, que habían pensado que el último día no hbría nada de interés, cambiaron su
billete de vuelta).
Dada la asistencia superior a lo esperado y los comentarios de la gente al ver la
cantidad de técnicas usadas en la demostración y de las que se hacían minicursos
previos (los indicados en la memoria) creo que se han logrado ampliamente los objetivos
del curso: dar una visión amplia y asequible a un número no despreciable de
investigadores (en su mayoría jóvenes) de la demostración de la conjetura de Poincaré y
de las distintas técnicas que se usan en ella, así como del potencial que su uso parece
en la resolución de otros problemas.
Además, el curso se abrió con una lección magistral del profesor Gerhard Besson, de la
Universidad de Grenoble.
ESTIMACIÓN DEL IMPACTO DE LOS RESULTADOS EN LAS ACTIVIDADES FUTURAS:
El primer impacto ha sido entre los profesores del curso: A unos (Esther Cabezas,
Vicente Miquel y Joan Porti) los ha animado más a continuar en el camino iniciado en su
investigación en flujos geométicos. A todos les ha venido bien el escuchar los cursos de
los otros, que han servido para interesarse por temas, afianzar algún concepto o ver la
posibilidad de usar nuevas ideas en su investigación.
Entre los alumnos, aparte de su interés y entusiasmo, ha sido más difícil captar el
impacto primero. Hemos detectado lo siguiente:
En un grupo que trabajaba en singularidades si se ha visto un interés especial las
técnicas aprendidas en el curso pensando en su inmediata aplicación a sus problemas, y
tenían la ilusión de organizar luego seminarios en sus lugares de trabajo para
profundizar más en su estudio de modo que luego pudieran aplicarlas.
Todos estaban impresionados por la novedad de muchas de las cuestiones, y si la
ilusión de poder usarlas o profundizar en ellas se materializa, solo el tiempo lo dirá.
Se han creado nuevas relaciones entre profesores y alumnos de ese curso que pueden
dar resultados fructíferos en el futuro por la cooperación en la investigación.
Fecha: 12 de diciembre de 2007
Firma del investigador:
Vicente Miquel Molina