Dualidad

GEOMETRÍA II
Licenciatura en Matemática - Año 2015
Equipo docente: Viviana del Barco - Mariana Cisneros
Dualidad en el espacio
proyectivo n-dimensional.
1. Repaso de álgebra lineal
Sea V un espacio vectorial de dimensión n sobre un cuerpo K y sea V ∗ su espacio dual. Si W es un
subespacio de V se define el anulador de W como el subconjunto de V ∗ dado por
W ◦ = {f ∈ V ∗ : f (w) = 0, para todo w ∈ W }.
Si W̃ es un subespacio de V ∗ el anulador de W̃ es el subconjunto de V definido como
W̃◦ = {v ∈ V : f (v) = 0, para todo f ∈ W̃ }.
Proposición 1..1
1. Si W es subespacio de V y dim W = k entonces W ◦ es un subespacio de V ∗ y dim W ◦ = n − k.
2. Si W̃ es subespacio de V ∗ y dim W = k entonces W◦ es un subespacio de V y dim W ◦ = n − k.
3. Para todo subespacio W de V y W̃ de V ∗ resulta (W ◦ )◦ = W y (W̃◦ )◦ = W̃ .
Demostración. Ejercicio.
Corolario 1..2 La aplicación
ψ
{W : W es subespacio de V } −→ {W̃ : W̃ es subespacio de V ∗ }
W 7→ W ◦
es biyectiva.
Proposición 1..3 Sean W1 , W2 subespacios de V . Entonces,
1. W1 ⊆ W2 ⇔ W1◦ ⊇ W2◦ .
2. (W1 ∩ W2 )◦ = W1◦ + W2◦ .
3. (W1 + W2 )◦ = W1◦ ∩ W2◦ .
Demostración. Ejercicio.
.
2. Dualidad entre subespacios proyectivos de Pn (V )
Sea V un espacio vectorial de dimensión n + 1 sobre un cuerpo K y sea Pn (V ) el espacio proyectivo
n-dimensional sobre V . Denotamos p : V − {0} −→ Pn (V ) la proyección canónica.
Recordemos que A ⊂ Pn (V ) es un subespacio proyectivo si A es la proyección por p de un subespacio
vectorial E de V , sin el cero; es decir, A = p(E − {0}). Además, si A es un subconjunto cualquiera de
Pn (V ), el espacio proyectivo generado por A, hAi, es la proyección por p del espacio vectorial generado por
p−1 (A).
1
Sea V ∗ el dual de V y consideramos Pn (V ∗ ). Definimos una correspondencia entre subespacio de Pn (V )
y subespacios de Pn (V ∗ ) de la siguiente manera:
ϕ
{A : A es subespacio proy. de Pn (V )} −→ {F : F es subespacio proy. de Pn (V ∗ )}
A 7→ ϕ(A) = p∗ (ψ(E) − {0}) = p∗ (E ◦ − {0}),
donde A = p(E − {0}), y p∗ : V ∗ − {0} −→ Pn (V ∗ ).
Esta aplicación ϕ es biyectiva con inversa que a cada subespacio proyectivo S = p∗ (S − {0}) de Pn (V ∗ ) le
asigna el espacio p(S◦ − {0}) de Pn (V ).
Proposición 2..1 Sean A y B dos subespacios proyectivos de Pn (V ). Entonces
1. dim A = k ⇒ dim ϕ(A) = n − k − 1.
2. A ⊆ B ⇒ ϕ(A) ⊇ ϕ(B),
3. ϕ(A ∩ B) = hϕ(A) ∪ ϕ(B)i,
4. ϕ(hA ∪ Bi) = ϕ(A) ∩ ϕ(B),
Demostración. A lo largo de la demostración tendremos que A = p(E − {0}) y B = p(F − {0}) para E
y F subespacios vectoriales de V .
1. dim A = k ⇒ dim E = k+1 ⇒ dim E ◦ = n+1−(k+1) ⇒ dim ϕ(A) = dim p∗ (E ◦ −{0}) = n−k−1.
2. A ⊆ B ⇒ E ⊆ F ⇒ E ◦ ⊇ F ◦ ⇒ p∗ (E ◦ − {0}) ⊇ p∗ (F ◦ − {0}) como querı́amos probar.
3. Recordemos que A ∩ B = p(E ∩ F − {0}) por lo tanto ϕ(A ∩ B) = p∗ ((E ∩ F )◦ − {0}). Además,
por lo visto anteriormente (E ∩ F )◦ = E ◦ + F ◦ . Por otro lado, el espacio hϕ(A) ∪ ϕ(B)i es el proyectivo
que proviene de proyectar el espacio generado por E ◦ y F ◦ , esto es, E ◦ + F ◦ , obteniéndose el resultado.
4. Ejercicio.
De la proposición anterior obtenemos que hay una correspondencia biunı́voca entre subespacios proyectivos
de Pn (V ) y subespacios proyectivos de Pn (V ∗ ). Esta correspondencia biunı́voca además tiene la siguiente
propiedad:
Pn (V )
A
A es subespacio proyectivo generado por un conjunto
A es una intersección de subespacios proyectivos
A está contenido en B
A contiene a B
A tiene dimensión k
Pn (V ∗ )
S = ϕ(A)
S es intersección de subespacios
S es subespacio proyectivo generado
S contiene a ϕ(B)
S está contenido en ϕ(B)
S tiene dimensión n − k − 1
Cuadro 1: Conceptos duales
Por ejemplo, en P2 (V ), un punto P es un subespacio proyectivo de dimensión 0 y se corresponde con
ϕ(P ) que tiene dimensión 1 y por lo tanto es una recta. Supongamos A es una recta determinada por dos
puntos P, Q en P2 (V ): A = h{P, Q}i. Entonces ϕ(A) es la intersección de ϕ(P ) y ϕ(Q), siendo estas dos
rectas que se cortan en un punto. Luego en el plano proyectivo P2 (V ) todo punto se corresponde con una
recta, y toda recta se corresponde con un punto.
Vimos ya que un isomorfismo lineal entre espacios vectoriales induce una transformación biyectiva entre
los espacios proyectivos que preserva colinealidad y coplanaridad. A su vez, es fácil ver que se induce una
correspondencia biunı́voca entre los subespacios de ambos espacios proyectivos, preservando las propiedades
de incidencia. Si tomamos una transformación lineal F : V −→ V ∗ que sea un isomorfismo, podemos
2
identificar Pn (V ) con Pn (V ∗ ) a través de la función f inducida por F . Por lo tanto, la función ϕ compuesta
con f establece una correspondencia biunı́voca entre los subespacios de Pn (V ) correspondiéndose subespacios
de dimensión k con los de dimensión n − k − 1.
Esta correspondencia entre subespacios de Pn (V ) es lo que se conoce como Dualidad del espacio proyectivo. Describimos a continuación la importancia de esta propiedad de dualidad. Supongamos P es una
proposición relativa a subespacios proyectivos de Pn (V ), expresada en términos de intersecciones, subespacios proyectivos generados, contensiones y dimensiones. La proposición dual de P se escribe P ∗ y se obtiene
sustituyendo cada concepto de estos mencionados, por sus duales expresados en la tabla. La proposición
P es válida si y sólo si P ∗ lo es. Por lo tanto, esta dualidad nos permite duplicar cada resultado probado.
Ası́ mismo, cada definición que se introduce en Pn (V ), viene acompañada por su definición dual. Aquı́ algunos
ejemplos, notar que los enunciados duales se modifican levemente según la dimensión del espacio proyectivo.
P1 : Dos puntos proyectivos en P2 (V ) determinan una única recta.
P1∗ : Dos rectas de P2 (V ) se cortan en un único punto.
P2 : Dos puntos proyectivos en P3 (V ) determinan una única recta.
P2∗ : Dos planos de P3 (V ) se cortan en una única recta proyectiva.
P3 : Tres puntos proyectivos en P3 (V ) determinan un único plano proyectivo.
P3∗ : Tres planos proyectivos en P3 (V ) se cortan en un único punto.
P4 : En Pn (V ) cada recta tiene exactamente |K| + 1 puntos.
P3∗ : En Pn (V ) cada punto pertenece exactametne a |K| + 1 subespacios proyectivos de codimensión 1.
Si n = 2, cada punto pertenece exactamente a |K| + 1 rectas.
Definición 2..2 Se denomina cuadrivértice en Pn (V ) a un conjunto de cuatro puntos coplanares de los cuales
ningún subconjunto de tres de ellos sean colineales. Los cuatro puntos se llaman vértices del cuadrivértice y
las rectas determinadas por dos cualesquiera de ellos se llaman lados del cuadrivértice. Los puntos donde se
intersecan los lados del cuadrivértice que no son vértices, se llaman puntos diagonales del cuadrivértice.
En P2 (V ), la definición dual de la definición de cuadrivértice es la de cuadrilátero y es la siguiente:
Definición 2..3 Se denominca cuadrilátero en P2 (V ) a un conjunto de cuatro rectas tales que cualesquiera
tres de ellas no sean concurrentes. Las cuatro rectas se conocen como lados del cuadrilátero, los puntos de
intersección de los lados se llaman vértices. Las tres rectas que unen pares de vértices y no son lados del
cuadrilátero se llaman rectas diagonales.
Escribimos este resultado de manera formal, aunque su demostración se encuentra ya desarrollada.
Teorema 2..4 (Principio de dualidad en el espacio proyectivo) Una proposición relativa a subespacios proyectivos de dimensión finita es cierta si y sólo si lo es su proposición dual.
Ejercicio:
1. Probar que en Pn (V ) hay al menos tres puntos distintos no colineales. Escribir su enunciado dual en
Pn (V ) y P2 (V ).
2. Probar que en Pn (V ) siempre existe al menos un cuadrivértice. Escribir su enunciado dual.
3