Avalanchas y Formacion de patrones

UNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVAR
DECANATO DE ESTUDIOS PROFESIONALES
COORDINACIÓN DE FÍSICA
AVALANCHAS Y FORMACIÓN DE PATRONES
Por:
Br. Oscar Rubén Pérez Padrón.
PROYECTO DE GRADO
Presentado ante la Ilustre Universidad Simón Bolı́var
como requisito parcial para optar al tı́tulo de
Licenciado en Fı́sica
Sartenejas, Mayo de 2012
UNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVAR
DECANATO DE ESTUDIOS PROFESIONALES
COORDINACIÓN DE FÍSICA
AVALANCHAS Y FORMACIÓN DE PATRONES
Por:
Br. Oscar Rubén Pérez Padrón.
Realizado con la asesorı́a de:
Dr. Gustavo Gutiérrez
PROYECTO DE GRADO
Presentado ante la Ilustre Universidad Simón Bolı́var
como requisito parcial para optar al tı́tulo de
Licenciado en Fı́sica
Sartenejas, Mayo de 2012
RESUMEN
Se presenta un estudio experimental sobre formación de patrones por segregación granular
en celdas de Hele-Shaw triangulares y cuadradas sometidas a rotación axial. Se caracteriza
experimentalmente la aparición de diversas formas resultantes del proceso de segregación debido a las avalanchas que se producen durante la rotación. Se observa que para un sistema de
dos tipos de granos con propiedades diferentes hay un umbral de llenado de la celda por encima del cual aparece una región que permanece invariante. Se caracteriza experimentalmente
la evolución de los patrones tomando como parámetros de control la altura y la superficie
de llenado de las celdas y como parámetros de orden el tamaño y la superficie de la región
invariante. Para la superficie de llenados de las celdas se obtiene que todos los puntos medidos
colapsan en una única curva exponencial.
Oscar R. Pérez Padrón
[email protected]
v
“La vida está surcada por tramas sensitivas, por bifurcaciones imprevistas. Un sentimiento
a veces se ramifica imaginativamente en desolados o deleitables laberintos.” Ida Gramcko.
Agradecimientos
A mis padres Betty y Oscar, quienes sin presionarme durante toda mi carrera me han
apoyado incondicionalemente. La formación que tuve desde chamo es la que me hizo seguir
intentando pese a caı́das de mi carrera. Para ellos es mi tesis. Los amo. A Flor: Mi segunda
madre. No hay manera de agradecerle. Yo sé que tuviste que ver con esto mi Florcita. Gracias.
A mi tı́a Milagros que fue mi tercera madre. Se que unas lı́neas no serán suficientes para
hacerle saber cuanto la quiero. A Luis Raúl por todo el cariño que desde chamo nos tuvo a
mi y a mi hermano. Luisito y Cheo. No tienen idea de cuanto los pienso. A mi hermano Raúl
por la paciencia que me tuvo cuando estaba obstinado durante mis parciales. A mis abuelos
Socorro y Luis. Esas visitas, ese vaso de fororo.
A GADE, de quienes aprendı́ ese sentido de pertenencia hacia mi USB: Sus jardines, su
historia, su vida, su ambiente. Cada grupo de vivenciales, cada integrante gadeano, CoFas,
Fas, talleres. No me imagino estar en esta etapa de mi vida sin ese aprendizaje. A la sección 5,
A Daniel, Stephania, Jesús, Alex, Juan Miguel, Manuel, Yuny, César, Franciel ...simplemente
gracias por tantos años de amistad incondicional.
Al Orfeón USB. Mas que un sı́mbolo de la USB, es un manojo de experiencias y detalles
musicales que me regaló la vida. Me abrió las puertas al Nuevo Mundo. Esta familia donde
conocı́ a los mas grandes amigos que he tenido y me regalaron esta gran familia coral. Mis
mejores amistades se forjaron en este hogar. A Ariadna, Jeanine, Sergio, Carlos, Cleidy,
Lenny, Andrés, Marı́a, Maga, Pedro Silva, Victor, Marı́a Guinand, Maritza Parra, Roberto,
Pedro Sequera, a Sine Nomine, a mis panas de la SCV.
A Gustavo Gutiérrez y Haydn Barros: Fueron mi motor para ese arranque que necesitaba
en mi carrera. Al Laboratorio de Materia Condensada por permitirme trabajar y pasar mas
tiempo acá que en mi casa. Genessis, Manuel: Los fı́sicos alternativos.A Natasha: Porque sin
nuestros desatres no hubiera sido lo mismo. A Saúl: Por ese apoyo que me brindaste durante
mi tesis. A Maga con quien compartı́ horas de colas y vivencias. Te quiero. A Ariadna, Mariale
y Vı́ctor que nos hemos convertido en el grupo “Holis”más divertido. Aunque esa palabra se
queda corta. Hasta al Facebook hay que agradecerle por dejarme estar en contacto con mis
otros amigos que no está tan cerca.
“Hoy puede ser un gran dı́a”.
ÍNDICE GENERAL
INTRODUCCIÓN
1
I
Objetivo General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
II
Objetivo especı́fico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1
INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA DE MEDIOS GRANULARES
4
1.1
Caracterı́sticas de los Medios Granulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.2
El quinto estado de la materia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.3
Disipación de energı́a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.4
Dinámica de la Pila de arena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.5
Segregación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.6
Formación de patrones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.6.1
Lecho granular sometido a vibración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.6.2
Formación de dunas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.6.3
Tambor cilı́ndrico de Oyama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1.6.4
Tambor rotante de espesor delgado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
Sistemas complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
1.7
2
METODOLOGÍA EXPERIMENTAL
20
2.1
Materiales granulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
2.2
Placas triangulares y pared anular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
2.3
Preparación de la base rotatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
2.4
Llenado de tambor triangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
2.5
Adquisición de datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
3
RESULTADOS Y ANÁLISIS EXPERIMENTAL
23
3.1
Formación de patrones. Resultados experimentales . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
3.2
Análisis dimensional de patrones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
3.3
Modelaje de patrón central. Zona invariante en celda triangular . . . . . . . . .
34
3.4
Resultados preliminares para celda de geometrı́a cuadrada . . . . . . . . . . . .
36
3.5
Comparación de crecimiento exponencial en el núcleo central de patrones en celdas
triangular y cuadrada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
4
CONCLUSIONES
44
5
Implicaciones para investigaciones futuras
45
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
46
A Descripción geométrica de conservación de área triángular
50
ix
LISTA DE FIGURAS
1.1
Presión en base de silo por un medio granular . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.2
Forma de la pila de arena con ángulo θ de reposo . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.3
El ángulo α es invariante al tamaño de la pila del medio granular. . . . . . . . .
7
1.4
Estratificación en celda de Hele-Shaw . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.5
Diagrama de experimento para inestabilidad en superficies granulares bajo vibración 10
1.6
Patrones en capa de esferas de bronce sometidas a vibración . . . . . . . . . . .
10
1.7
Patrones regulares formados en el lecho de arena producido por el viento . . . .
11
1.8
Formación de dunas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1.9
Tambor cilı́ndrico de Oyama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1.10 Ilustración de la dinámica del ángulo crı́tico en el tambor de Oyama . . . . . . .
13
1.11 Vista esquemática de regı́menes de avalanchas en función de la velocidad ω . . .
14
1.12 Patrones formados en un disco delgado a 110 s/rev . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.13 Patrones formados en un disco delgado a 20 s/rev . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
1.14 Patrones formados en un disco delgado a 0.093 rad/s . . . . . . . . . . . . . . .
16
1.15 Segregación granular en discos con distintas geometrás . . . . . . . . . . . . . .
17
2.1
Montaje experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
2.2
Rueda y canal del rin de bicicleta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
2.3
Escala para el procesamiento de imágenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
3.1
Rotación de triángulo inscrito en el núcleo central . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
3.2
Bandas producidas por segregación en celda triangular . . . . . . . . . . . . . .
24
3.3
Transición de fase donde ocurre la formación del primer patrón en celda triangular 25
3.4
Patrón inicial del sistema experimental en celda triangular . . . . . . . . . . . .
25
3.5
Evolución de patrones triangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
3.6
Patrón triangular con lados redondeados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
3.7
Crecimiento del tamaño de triángulos inscritos en el núcleo central del medio
granular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
3.8
Segundo cambio de fase en el núcleo central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
3.9
Cambio de estructura triangular a hexagonal inscritas en el núcleo central . . .
28
3.10 Crecimiento del tamaño de estructuras hexagonales inscritas enel núcleo central
del medio granular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
3.11 Tercer cambio de fase en el núcleo central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
3.12 Cambio de estructura hexagonal a triangular inscritas en el núcleo central . . .
29
3.13 Crecimiento del tamaño de estructuras triangulares inscritas enel núcleo central
del medio granular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
3.14 Rotación de triángulo inscrito en el núcleo central . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
3.15 Variables para el estudio de las imágenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
3.16 Variación de los lados de los triángulos inscritos en función de la altura de llenado
normalizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
3.17 Crecimiento de triángulos rotados inscritos en patrones centrales . . . . . . . . .
32
3.18 Crecimiento de triángulos no rotados inscritos en patrones centrales . . . . . . .
33
3.19 Aumento del área invariante del patrón con respecto al área de llenado en celda
triangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
3.20 Trazado de lı́neas para la formación de patrones centrales . . . . . . . . . . . . .
36
3.21 Bandas producidas por segregación en celda cuadrada . . . . . . . . . . . . . . .
37
3.22 Transición de fase donde ocurre la formación del primer patrón central en celda
cuadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
3.23 Patrón inicial del sistema experimental en celda triangular . . . . . . . . . . . .
38
3.24 Evolución de patrones rectangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
3.25 Evolución de patrón rectangular a cuadrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
3.26 Patrón cuadrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
3.27 Cambio de curvatura de patrones cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
3.28 Evolución de los patrones cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
xi
3.29 Rotación de patrón central en cuadrado
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
3.30 Aumento del área invariante del patrón con respecto al área de llenado en celda
cuadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
3.31 Crecimiento de patrones en el núcleo central en celdas triangular y cuadrada . .
43
A.1 Representación espacial de una avalancha del medio granular . . . . . . . . . . .
50
A.2 Representación vectorial de una avalancha del medio granular . . . . . . . . . .
52
xii
INTRODUCCIÓN
Los medios granulares son un conjunto de partı́culas que interactúan entre sı́ de manera
disipativa. Estos sistemas forman parte de nuestra vida diaria y son considerados como el
segundo material más utilizado industrialmente por el hombre luego de los lı́quidos. Su comportamiento colectivo puede ser contraintuitivo, y desde la antigüedad estos sistemas han
sido estudiados. Sin embargo, en los últimos 50 años se ha profundizado en algunas caracterı́sticas especı́ficas para lograr entender y aportar información a un campo incipiente de la
fı́sica.
Las primeras observaciones conocidas asociadas a los medios granulares se le atribuyen
al filósofo y poeta romano Lucrecio, quien en el año 55 a.C. comenta: “Uno puede recoger
semillas de amapola con una cuchara con la misma facilidad que si se tratara de agua y,
al inclinar la cuchara, éstas fluyen de forma continua.”. En el renacimiento, Leonardo da
Vinci diseñó un experimento usando arena para estudiar la fricción entre objetos. Charles de
Coulomb, en el siglo XVIII, escribió el artı́culo “Ensayo de los máximos y mı́nimos aplicado
a problemas de equilibrio relacionados con la arquitectura”, donde expone los problemas
de equlibrios en terraplenes y la estabilidad de estructuras y edificaciones rocosas. En 1780
Ernst Chladni estudió la diferencia del comportamiento de medios granulares ligeros (como
pelo de caballo) y pesados (como arena) en la superficie de un violı́n. Este experimento
fue reproducido y confirmado por C. Øerstedt usando polvo de licopodio1 . A partir de este
estudio se establece una clasificación conocida como los patrones de Chladni, resultado que
fue utilizado por Felix Savart en 1827 para estudiar las frecuencias y longitudes de onda del
sonido.
M. Faraday se interesa en la formación de pilas de arena producto de la vibración de
un medio granular, asociado al experimento de Chladni [1]. En 1844, I. Roberts estudia
experimentalmente como varı́a la presión de un medio granular en un silo [2] y H. Janssen
propone un modelo basado en la reorientación de las fuerzas del medio granular hacia las
paredes del silo [3]. O. Reynolds hizo una contribución importante a la teorı́a de medios
granulares en 1885, por su análisis en la dilatancia de un medio granular al ser sometido a
presión [4]
1
Polvo de esporas amarillento de ciertos musgos (Lycopodium clavatum) usado en el pasado en fuegos
artificiales, para pinturas, explosivos y como cubiertas de pı́ldoras.
2
Pero en las últimas cinco décadas, se ha puesto una importante atención a la dinámica de
los medios granulares, y se incrementa la observación de nuevos fenómenos asociados a estos
sistemas en la industria y en la naturaleza. En muchos procesos industriales son frecuentes:
almacenamiento y empaquetamiento de granos, transporte, procesamiento de plásticos, harinas, minerales, cemento, medicinas, alimentos, etc [5–9]. La evolución de ciertos paisajes
como playas, médanos, montañas meteorizadas, el transporte de sedimentos por la lluvia,
el viento, los rı́os, y la ocurrencia de deslaves o derrumbes, está fuertemente afectada por
comportamientos cuya fı́sica no se comprende suficientemente [10–13].
Un medio granular puede comportarse como sólido, lı́quido e inclusive como gas, bajo
ciertas condiciones a las que puede ser sometido. Un caso de interés es el estudio de la pila
de arena debido a los fenómenos que ocurren con sólo una pequeña perturbación. Si tenemos
una pila de arena y agregamos unos pocos granos más podemos provocar una avalancha
que corresponde a la fluidización de la capa superficial, mientras que por debajo de ésta el
sistema mantiene un comportamiento sólido que muestra una compleja dinámica de esfuerzos
intergranulares. Es importante el hecho de que en las avalanchas y la pila de arena hay una
coexistencia de fases, encontrándose dominios de granos que se comportan como lı́quidos,
otros como sólidos y otros como gases. La interacción entre estas fases es vital para entender
la dinámica de este tipo de fenómenos. [14–18]
Si tenemos un medio granular polidisperso,(Mezcla de dos o más medios granulares con
diferentes tamaños) las avalanchas actúan como tamices cinéticos, ordenando el material granular por su tamaño. Este proceso se conoce comúnmente como percolación intra-partı́culas
y se define como el drenaje de una partı́cula pequeña a través de los intersticios (zonas de
fallas o de muy alta porosidad) conformadas por grandes granos. Esto puede ocurrir cuando
se aplica algún esfuerzo o espontáneamente bajo gravedad: Un ejemplo de esto ocurre cuando
inclinamos un lecho granular. [19–26].
Cuando se llena parcialmente un tambor cilı́ndrico con una mezcla de dos tipos granos
de tamaño diferente, y lo hacemos rotar sobre su eje axial, la mezcla puede separarse en
bandas a lo largo del tambor. Este fenómeno es conocido como segregación axial, y ha sido
ampliamente estudiado, pero sigue siendo un problema abierto [27–29].
Otro sistema estudiado donde se observa segregación es en un tambor circular rotatorio de
espesor delgado, tipo celda de Hele-Shaw. Este tambor está formado por dos placas circulares
separadas por una pared anular delgada que deja un volumen libre para agregar los medios
granulares. Si se tiene un sistema granular polidisperso, a una cierta tasa de rotación del
tambor, se pueden formar diversos patrones por segregación [30–37].
Otro de los fenómenos interesantes que podemos encontrar en el sistema antes mencionado
es la formación de solitones que viajan hacia arriba por la superficie fluidizada durante las
3
avalanchas. Cuando el frente de la avalancha alcanza el final o se encuentra una pared, se inicia
un frente de partı́culas que viaja cuesta arriba como una ola granular. Dependiendo de la
composición de los medios granulares involucrados, de cuanto se llene el disco, de la velocidad
de rotación y otras condiciones iniciales, puede variar la formación de solitones [38, 39].
I.
Objetivo General
Se quiere estudiar experimentalmente el proceso de formación de avalanchas en tambores
rotantes de poco espesor, conformado por placas de diversas geometrı́as, con énfasis especial
en la formación de estratificaciones diferenciadas por tamaños distintos de granos y observar
fenómenos globales como la formación de patrones a la escala del sistema completo.
II.
Objetivo especı́fico
Estudiar experimentalmente la formación de patrones producidos por avalanchas en tambores con simetrı́a triangular equilátera y cuadrada, tomando como parámetros de control la
altura y la superficie de llenado y como parámetros de orden el tamaño y la superficie de la
región invariante.
CAPÍTULO 1
INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA DE MEDIOS GRANULARES
1.1.
Caracterı́sticas de los Medios Granulares
Un medio granular es un conjunto de partı́culas macroscópicas que interactúan a través
del contacto con otras partı́culas vecinas. El tamaño de una partı́cula puede variar desde
el orden de micras hasta metros: desde polvos, granos, arena hasta rocas y asteroides. En
general, en un sistema granular se tiene una distribución de tamaño promedio de partı́culas
y no un único tamaño.
La densidad de bulto de granos ρ es una propiedad que relaciona la cantidad de masa m
de materia granular en un volumen v aparente que ocupan mediante la relación:
ρ=
m
v
(1.1)
Este volumen aparente incluye los poros entre granos, el volumen de aire y el volumen de
los granos. La densidad de bulto depende de cómo son colocados los granos dentro del envase:
si se agrega un medio granular en un cilindro se obtiene una densidad de bulto menor a la
que se puede obtener si se perturba el cilindro.
1.2.
El quinto estado de la materia
La dinámica de un sistema granular manifiesta un comportamiento altamente disipativo. Si
no se le suministra energı́a constante al sistema granular se alcanza rápidamente un estado de
reposo. Algunos métodos de suministros de energı́a son: Vibración, campo de fuerza externo
como la gravedad, esfuerzo de cizalla, inyección de aire, etc. Dependiendo de la energı́a
suministrada, un medio granular puede comportarse como sólido, lı́quido e inclusive como
un gas. Podemos hacer fluir arroz desde un recipiente como si de agua se tratase, podemos
tener una pila de arena y que ésta soporte el peso de un objeto. Incluso podemos obtener una
coexistencia de estados dentro de un mismo sistema: Si ocurre una avalancha en una pila de
arena, se desarrolla una fluidización de la capa superficial mientras que por debajo de ésta
5
el sistema mantiene un comportamiento sólido. Para vibraciones o flujos de aire observamos
un comportamiento parecido a un gas.
Los silos son estructuras que se usan a nivel industrial para el procesamiento y almacenamiento. Si el medio granular está en reposo, los granos se apoyan entre sı́ y los contactos
entre las partı́culas no forman una red ordenada y por lo tanto, las cargas se distribuyen en
el interior del material granular conformando cadenas de fuerzas que transmiten el esfuerzo
axial a ciertos puntos de las paredes del silo. [18]. A medida en que un silo es llenado, se
produce un aumento de la presión sobre la base, de manera similar a la que ocurre en un
fluido. Sin embargo, luego de cierta altura se observa que la presión no es proporcional a
la altura llegando a un valor de saturación [3]. Entonces se observa que la relación entre la
presión es como la que se muestra en la Fig. 1.1:
Figura 1.1. Variación de la presión en la base de un silo con respecto a la profundidad h hasta
alcanzar un un valor de saturación Ps . Imagen tomada de [5]
1.3.
Disipación de energı́a
La energı́a asociada a una partı́cula de un tamaño de 100 µm y con velocidades de 1
cm/s está dada por Ek = 12 mv 2 ≈ 10−12 Joule. Si esta energı́a cinética fuese la necesaria
para su agitación, tendrı́amos que calentar el medio granular a una temperatura de 1011 K.
Entonces, no tiene sentido relacionar las velocidades macroscópicas del medio granular con su
temperatura, además se tiene que la caı́da de potencial ∆Ep que experimenta una partı́cula
si cae a una altura igual a su diámetro d es ∆Ep = mgd (que corresponde a una situación
donde la partı́cula se desliza en una pila y no se despega del lecho granular).
6
Los medios granulares son altamente disipativos. Un choque entre dos granos puede ser
inelástico si existe pérdida de energı́a o elástico si la pérdida de enegı́a es nula. En primera
aproximación, en el caso de un choque frontal entre dos esferas idénticas, podemos escribir
el momento lineal de todo el sistema antes y después del impacto como P = m12 (v1 − v2 ) y
P 0 = m12 (u1 − u2 ), respectivamente, y m12 = m1 m2 /(m1 + m2 ) la masa reducida del sistema
de dos partı́culas. Es conveniente escribir el coeficiente de restitución elástica de Newton
como el negativo del cociente de la velocidad relativa después del choque de dos partı́culas,
dividido entre la velocidad relativa de las mismas antes del choque:
=−
u1 − u2
P0
=−
P
v1 − v2
con
0≤≤1
(1.2)
donde representan el momento lineal de todo el sistema antes y después del impacto. Si la
colisión es elástica =1 , y si es inelástica entonces =0. Aún cuando el coeficiente de una
sola partı́cula es grande, en el caso de muchas partı́culas chocando entre sı́ el coeficiente de
restitución de todo el sistema tiende a cero, por lo que se considera un sistema fuertemente
disipativo.
1.4.
Dinámica de la Pila de arena
Los granos al ser depositados en una superficie sin paredes conforman una estructura
cónica, debido a la fuerza de fricción estática, contrario al comportamiento del lı́qudo que
intenta distribuirse sobre toda la superficie. Si tenemos un montı́culo de granos en reposo, la
capa superior puede puede perder su solidez y fluir con solo agregar unos cuantos granos o
inclinar la base donde reposa el sistema. Podemos encontrar tres estados de equilibrio de la
superficie de una pila de arena:
Equilibrio estable: La superficie del sistema no pierde su equilibrio aún cuando los
granos se vean perturbados.
Equilibrio inestable: A la mı́nima perturbación el sistema pierde el equilibrio.
Equilibrio metaestable: La superficie del sistema no volverá a acercarse al equilibrio
pero tampoco diverge mucho de la posición anterior de equilibrio. En este punto puede
ocurrir o no una avalancha.
Al ir agregando granos a una pila de arena, se aumenta el ángulo de inclinación hasta llegar
a un cierto valor θm , llamado ángulo de movimiento, para lo cual ocurre una avalancha. Luego
el sistema se relaja hasta un ángulo θr conocido como ángulo de reposo.
7
Se conoce el ángulo de relajación como la diferencia entre el ángulo δ = θm −θr y representa
en cuanto se debe variar el ángulo de reposo para obtener una avalancha [5, 9]. Sin embargo,
no es posible conocer los ángulos para un material granular sin conocer la historia de la pila:
Es crucial conocer si ocurrió una avalancha para conocer el ángulo de reposo θr .
Figura 1.2. Forma de la pila de arena con ángulo θ de reposo.
Luego de la avalancha el sistema permanecerá en equilibrio hasta otra perturbación y se
puede escribir el coeficiente de fricción estático mediante la relación:
µe = tan(θr )
(1.3)
suponiendo el lecho granular continuo.
Para cada medio granular los ángulos de reposo o avalancha serán distintos ya que dependen
de la fricción entre granos, densidad y tamaño de partı́culas [40]. Además el ángulo no depende
del tamaño de la pila de arena, como se observa en la Figura 1.3
Figura 1.3. El ángulo α es invariante al tamaño de la pila del medio granular.
8
1.5.
Segregación
Un compuesto granular formado por partı́culas de distintos tamaños, formas o densidades
se denomina sistema polidisperso. Para ciertos procesos industriales es necesaria una mezcla
homogénea. Una mezcla se considera homogénea sı́ dos materiales granulares A y B forman
una mezcla uniforme. El criterio de homogeneidad es que cada partı́cula A esté en contacto
con al menos una partı́cula B para asegurar la fusión adecuada entre ambos componentes.
Durante la manipulacion de este tipo de mezclas puede ocurrir que los componenes granulares
tiendan a separase al fluidizarlas. Este fenómeno se conoce como segregación.
Uno de los procesos de segregación más conocidos es el efecto nuez de Brasil, en el cual
las partı́culas de mayor tamaño tienden a ascender a la superficie de una mezcla polidispersa
sometida a vibración [24], también es posible observar el efecto reverso, donde las partı́culas
de mayor tamaño tienden a descender al fondo del envase contenedor. [25, 26].
Podemos observar los siguientes procesos de segregación:
Segregación por gravedad : Este proceso ocurre cuando se deja fluir en un medio granular
partı́culas de menor tamaño. Se observa que las partı́culas pequeñas fluyen por la
gravedad a través de los intersticios de un paquete granular. Se debe considerar que
ésto ocurre si el diámetro de las partı́culas percolantes es lo suficientemente pequeño
con respecto al tamaño promedio de los poros.
Segregración por vibración: El movimiento relativo de las partı́culas se da inyectando
energı́a por vibración en el contenedor donde se encuentren. En este caso se pueden
distinguir el proceso de segregación por convección granular o el proceso percolativo de
los medios granulares.
Segregación por cizalla: Es causada por el movimiento relativo de un lecho granular
con respecto a otro. Este proceso ocurre en avalanchas, clindros rotantes, movimientos
geológicos, fluidización de granos a través de tubos; entre otros.
Consideramos un número de partı́culas Na de diámetro da mezclada con un número Nb de
partı́culas de radio db . Definimos entonces la razón:
φ=
da
db
(1.4)
Si este radio φ es pequeño (tı́picamente menor a 0.2), ocurre el proceso de percolación. En
el caso en que φ ≈ 1 se tiene, en promedio, partı́culas de tamaño similar.
9
Si tenemos una celda de Hele-Shaw2 con granos de diferentes tamaños (aproximando a una
geometrı́a bidimensional) podemos obtener la formación de capas alternadas simulando el
proceso de estratificación de suelos. Este tipo de segregación se presenta cuando los granos
grandes son facetados y los granos pequeños son redondeados [41]. Para este caso se forman
bandas alternadas de los granos(Ver Figura 1.4).
Figura 1.4. Estratificación en celda de Hele-Shaw de 12 cm de largo con granos oscuros
(grandes) y granos claros (pequeños). Imagen tomada de [41]
1.6.
Formación de patrones
En la naturaleza encontramos estructuras periódicas o patrones que pueden aparecer espontáneamente en un amplio rango de sistemas fı́sicos, quı́micos y biológicos: Desde la formación de dunas, segregración granular, huellas dáctilares, y patrones de algunos animales
como cebras, jirafas o peces. Estas simetrı́as son consideradas independientes del entorno y
lejos del equilibrio térmico. El fenómeno de formación de patrones se ha extendido a sistemas
dinámicos: Convexión en fluı́dos, ondas en capas de lı́quidos, frentes de combustión en gases
y expansión de sólidos sometidos a compresión. [19].
Los medios granulares exhiben un amplio rango de formación de patrones cuando son excitados, los deslizamientos de tierra, procesos de erosión, deposición de partı́culas, montı́culos
de arena y los procesos geomorfológicos crean patrones, que permiten conocer la composición
e historia de suelos y la evolución de paisajes. En el almacenamiento, transporte y procesamiento de granos a nivel industrial podemos encontrar patrones no triviales que nos muestran
el comportamiento complejo de los medios granulares.
2
Dispositivo que consiste en dos láminas de vidrio, acrı́lico u otro material separadas por una distancia
pequeña. Esta celda contiene un orificio donde se agrega el medio granular
10
1.6.1.
Lecho granular sometido a vibración
Al someter a vibración una capa delgada de un medio granular, pueden aparecer estructuras espaciales o patrones en la superficie (ver Figura1.5). A estos sistemas vibrados se le
introducen nuevos parámetros como la amplitud, frecuencia, efectos de borde del contenedor,
comportamiento de los granos, etc. Una de las maneras de caracterizar las vibraciones es
adimensionalizar la aceleración mediante la relación: Γ = γ/g = Aω 2 /g, donde A representa
la amplitud de vibración, g la gravedad y ω la frecuencia de vibración [42]. En la Figura 1.6
se observa la formación de patrones para distintas amplitudes:
Figura 1.5. Diagrama de experimento de inestabilidad en superficie granular sometida a
vibración
Figura 1.6. Patrones en capa de 1.2 mm de profundidad compuesta por esferas de bronce de
diámetro de 0.15-0.18 mm sometidas a vibración con amplitud adimensional Γ de: (a)Γ=3.3;
(b) Γ=4.0; (c)Γ=5.8; (d)=Γ=6.0; (e)Γ=7.4 y (f)Γ=8.5. Figura tomada de [42]
11
1.6.2.
Formación de dunas
El efecto del viento y el agua es importante para la evolución de ciertos paisajes como
playas y desiertos. Existe un particular interés en la formación de colinas de arena conocidas
como dunas, que se presentan en distintas formas y tamaños [13]. Estas formaciones cambian
de forma y están en continuo movimiento, por lo que pueden representar problemas como:
invasión de cultivos, obstrucción de carreteras y vı́as de comunicación.
Por efectos del viento, las capas de arena se vuelven inestables y evolucionan en patrones
regulares periódicos, como en la Figura 1.7. Los granos saltan y golpean el lecho en pequeños
ángulos con una velocidad inducida por la acción del viento. Sucesivos impactos de granos se
denomina saltación. Vientos fuertes tienden a formar dunas más grandes, y vientos suaves a
extenderlas por la superficie [11].
Figura 1.7. Patrones regulares formados en el lecho de arena producido por el viento. Imágen
de los Médanos de Coro, Venezuela.
Existen varios tipos de migración de dunas condicionadas por la dirección e intensidad del
viento [12]:
Dunas Barján: Tienen forma de media luna. Se dan en zonas de suministros de arena
limitado y superficie plana.
Dunas longitudinales: Con forma rectı́linea y más o menos paralelas al viento donde
la arena es abundante.
Dunas transversales: Crestas separadas que se propagan con un perfil casi invariante
ortogonal a la dirección del viento.
Duna en estrella: Se forman cuando hay direcciones del viento variables y grandes
cantidades de arena. Estas dunas pueden alcanzar cientos de metros de altura.
12
Figura 1.8. Cuatro tipos de dunas en la naturaleza: a) Dunas Barján en Perú; b) Dunas
transversales en Baréin; c) Dunas longitudinales en Sinai y d) Dunas tipo estrella en Algeria.
Las lı́neas representan la velocidad de viento. La flecha representa la dirección de transporte
de arena. Imagen tomada de [13]
1.6.3.
Tambor cilı́ndrico de Oyama
El cilindro rotatorio es un sistema fundamental para mezclas de granos usado en muchos
procesos industriales. En 1939, el japonés Yositisi Oyama mostró que en un tambor cilı́ndrico
parcialmente lleno con una mezcla de granos, éstos se separan y forman patrones de segregación. El experimento consiste en mezclar dos tipos de medios granulares con tamaños y
colores distintos en un cilindro sometido a rotación. Luego de un tiempo suficientemente
grande, se separan los granos en bandas. A este fenómeno se le conoce como segregación axial
en bandas (Ver Figura 1.9).
Figura 1.9. Tı́pica segregación axial: Los granos oscuros son mas pequeños que los granos
blancos. Imagen tomada de [29].
En 1969, Bridgwater et al. [43] reportaron un nuevo tipo de segregación que ocurre en la
capa superficial donde ocurre la avalancha llamada segregación flotante. En 1994, Hill and
13
Kakalios [44] reportaron la variación en la formación de bandas al cambiar el tamaño de los
granos involucrados. Estos cambios están relacionados con los ángulos de reposo y crı́tico: Si
hay poca diferencia entre los ángulos de avalanchas de los granos, no se formarán las bandas
axiales, pero si la diferencia es grande se formarán las bandas (Ver Figura 1.10). También
fue reportado que los ángulos de reposos de los granos pequeños son mayores que los granos
grandes.
Figura 1.10. Ilustración de la dinámica del ángulo crı́tico en el tambor de Oyama, con respecto
a la horizontal
1.6.4.
Tambor rotante de espesor delgado
Uno de los dispositivos más estudiados para producir la segregación granular es el tambor
rotante, conformado por dos placas circulares separadas por una pared anular delgada. Este
tambor se llena parcialmente con una mezcla granular homogénea. Al hacer rotar el tambor
se fluidiza la superficie y se produce la segregación de la mezcla granular formando estratos.
El número de Froude Fr es un número adimensional que relaciona el efecto de las fuerzas
de inercia y la fuerzas de gravedad que actúan sobre un fluido. El número de Froude nos
permite caracterizar los regı́menes formados en la superficie de avalanchas en los tambores
mediante la siguiente relación:
Fr =
Lω 2
g
(1.5)
donde g es la aceleración de la graverdad, L el radio del tambor y ω la velocidad de rotación
[45]. Para bajas velocidades se obtienen avalanchas discretas, al ir incrementando Fr el tiempo
entre avalanchas es menor, obteniéndose un régimen de flujo contı́nuo. Para el caso en que
Fr = 1 se produce la centrifugación del medio granular, en la Figura 1.11 se ilustra estos
14
regimenes.
Figura 1.11. Vista esquemática de regı́menes de avalanchas en función de la velocidad ω.
Imagen de [45]
Si se gira el tambor a velocidades bajas (110 s/rev) para producir avalanchas intermitentes,
se observa un proceso de percolación cinética. Debido a la fluidización del lecho, las partı́culas
pequeñas migran hacia los espacios disponibles, empujando a las partı́culas grandes hacia la
superficie. Al momento en que la avalancha alcance la pared anular delgada, se genera un
frente de partı́culas grande que se propaga de manera ascendente hasta el otro extremo,
formando una capa que recubre los granos pequeños. El núcleo central circular del material
permanece invariante a pequeñas rotaciones del tambor. En la Figura 1.11 se observa un
disco delgado de 25 cm de diámetro con una mezcla de cristales de azúcar (color blanco) y
polvo de hierro esférico con tamaño promedio de 0.5 mm and 0.34 mm, respectivamente.
Figura 1.12. Patrón de rueda de Caterina (Izquierda) y patrón de hojas de palma(Derecha).
Imagen de [31].
15
A una tasa mayor de velocidad de giro (Menor a 20 s/rev) las avalanchas son continuas
y el proceso percolativo no permite que se formen capas separadas. Se observa el patrón
central invariante y una mayor concentración de partı́culas pequeñas cerca del núcleo central
y terminando una concentración de partı́culas grandes cerca de las paredes del disco debido
a la fuerza centrı́fuga (Ver Figura 1.13). En este caso se observa una superficie continua en
forma de “S”. Este fenómeno se observa en hidrodinámica [46].
Figura 1.13. Difusión de patrones de la formación de bandas en el medio granular donde se
observa el aumento de la velocidad de rotación de la celda y se produce la difusión de las
bandas de estratificación. Imagen de [31]
La formación de patrones cambia cualitativamente al cambiar el medio granular. Con una
mezcla de dos tipos de esferas de vidrio: esferas blancas de diámetro d1 = (0,12±0.02) mm
y esferas rojas de diámetro d2 = (0,71 ± 0,10)mm se reportan la formación de patrones en
forma de pétalos (ver Figura 1.14). También se reporta la dependencia de la cantidad de
pétalos formados con la frecuencia de rotación.
16
Figura 1.14. Evolución temporal de partı́culas blancas pequeñas y partı́culas oscuras grandes.
El tambor, de diámetro D=24.5 cm, rota a 0.093 rad/s y se observa el desarrollo de los
patrones desde a) hasta f) luego de 33.8, 50.7, 67.5, 84.4 y 118.2 s, respectivamente. Imagen
de [33]
La forma de las placas juega un rol importante en la segregación de distintos sistemas.
En el caso del tambor circular, el núcleo del sistema granular permanece invariante, ya que
la segregación ocurre en la superficie fluidizada. Para tambores con geometrı́as elı́ptica y
cuadrada, existen nuevos patrones por segregación (por densidad o tamaño). La forma de la
celda y el grado de llenado tiene un profundo efecto en la mezcla de los granos, y de la región
donde ocurre la segregación es periódica en el tiempo y depende de la orientación de rotación
de disco [33, 34].
17
Figura 1.15. Segregación resultante en mezcla de partı́culas con diferentes densidades (Columna 1) y tamaño (columna 2) en celdas con distintas geometrı́as llenados a la mitad. E denota
resultados experimentales y C resultados computacionales (Columna 3). Imagen de [33]
1.7.
Sistemas complejos
El interés en el estudio de los sistemas dinámicos no lineales ha logrado un importante
avance en el entendimiento de problemas fı́sicos, quı́micos, económicos y ecológicos: flujos
térmicos, dinámica de medios granulares, nervios, estructuras sociales, comportamiento de
hormigas, clima, propagación de virus, etc. A partir de técnicas geométricas, cualitativas
y computacionales, se pueden describir algunos comportamientos caóticos y aleatorios de
sistemas que eran considerados completamente inabordables desde el punto de vista analı́tico
[47].
Muchos de estos sistemas presentan transiciones de fase entre estados ordenados y desordenados. Las propiedades del medio cambian como resultado de condiciones externas como
la temperatura, presión, gravedad, etc. Un lı́quido puede cambiar su estado a gaseoso si se
calienta a un punto de ebullición. Otro ejemplo es el modelo de Ising, donde se estudia el
comportamiento de materiales ferromagnéticos y sus cambios de fase de magnetización. En
18
este modelo la temperatura actúa como un parámetro que determina el estado global de la
magnetización [48].
Para el estudio de fenómenos crı́ticos se consideran un conjunto de valores llamados exponentes crı́ticos, que describe el comportamiento del sistema en las proximidades de las
transiciones de fase [49]. Consideramos el comportamiento del exponente crı́tico para una
función f (), donde
≡
P
P − Pc
=
−1
Pc
Pc
(1.6)
representa una función adimensional que mide la diferencia de P como variable del sistema y
un parámetro crı́tico Pc donde ocurre una transición de fase. Asumimos que f () es positivo
y continuo para valores positivos de , y el lı́mite:
ln f ()
(1.7)
→0 ln existe. El valor λ representa el exponente crı́tico asociado a la función f () mediante la
relación f () ∼ λ , por lo que
f () = Aλ
(1.8)
λ ≡ lı́m
Las transiciones pueden presentarse como discontinuas o de primer orden, o continuas o
de segundo orden. Para distintos sistemas, existe un parámetro asociado a la capacidad de
inducir cambios cualitativos en las propiedades del sistema llamado parámetro de control.
El ordenamiento y estado global del sistema es representado como el parámetro de orden
[50]. En algunas transiciones de fase ferromagnéticas o en superconductores, el parámetro de
orden puede tener más de un grado de liberdad y pueden ser números complejos, vectores,
tensores, etc, cuyas magnitudes tienden a cero en las transiciones de fase. Para la ecuación
1.8: f () representa el parámetro de orden, el parámetro de control, A una constante y λ
el exponente crı́tico.
Para el estudio de puntos crı́ticos en un sistema se asume que existe una única escala
espacial. Supongamos una ley de potencia de la forma g(r) = A/r2 , si cambiamos la escala
de longitud de r [cm] a r0 [m], por lo que r0 =r/100. Entonces:
g(r) =
A
100α r0α
(1.9)
Y cambiamos la escala del gráfico obtenemos:
100α g(r) =
A
= g 0 (r0 )
r0α
(1.10)
19
Y obtenemos que las leyes de potencia no dependen de ninguna escala caracterı́stica. Entonces se definen como invariantes por escala.
Un sistema puede conducir a varios estados posibles, producto de la amplificación de una
pequeña fluctuación. Este fenómeno se denomina Bifurcación. En los sistemas dinámicos, las
bifurcaciones pueden producirse tanto en sistemas continuos como en sistemas discretos. La
representación de los estados de un sistema dinámico inducida en función de un parámetro
de control se conoce como diagrama de bifurcación.
Podemos dividir las bifurcaciones en dos clases principales:
Bifurcación local: Estados que pueden ser analizados a partir de propiedades de
estabilidad local del sistema, conforme los parámetros cruzan umbrales crı́ticos confinados en una pequeña región del espacio. La información obtenida en el estudio de
bifurcaciones locales, es el punto de partida para trabajar con métodos numéricos y
computacionales.
Bifurcación global: Estados que ocurren en un conjunto mayor de invariantes, y su
análisis no puede ser formulado a partir de puntos crı́ticos. Los diagramas de bifurcación
locales pueden servir como piezas para construir la bifurcación global del sistema.
Uno de los avances del siglo XXI en el estudio de la fı́sica teórica y experimental ha sido
la clasificación de distintos sistemas a partir de los exponentes crı́ticos. Este fenómeno se
denomina universalidad y las categorı́as clases de universalidad. Los sistemas magnéticos y
los fluidos pueden pertenecer a la misma clase de universalidad [51]. El hecho de que distintos
sistemas presenten los mismos exponentes crı́ticos sugiere que éstos no dependen de detalles
macroscópicos sino que dependen de propiedades globales:
Dimensión espacial d.
La dimensión D del parámetro de orden.
Corto alcance de interacciones: Esto es, para que un sistema exhiba universalidad las
interacciones microscópicas entre partı́culas deben decaer rápidamente con la distancia
entre ellas.
CAPÍTULO 2
METODOLOGÍA EXPERIMENTAL
El experimento consiste en estudiar la formación de patrones granulares en un tambor
de simetrı́a triangular equilátera, para ello se tienen dos placas triangulares con una pared
anular delgada que las separa, dejando un volumen libre para agregar el medio granular. El
tambor estará acoplado a una base circular rotatoria que permite la ocurrencia de avalanchas
intermitentes y la creación de estratificaciones que delimitan los patrones.
2.1.
Materiales granulares
Como material granular se utilizaron los siguientes tipos de arenas:
Arena clara del estado Falcón, Venezuela. Distribución de tamaños de partı́culas: 215250 µm
Arena negra de Pucón, Chile. Distribución de tamaño de partı́culas: 350-600 µm
La forma de la arena clara es redondeada, mientras que la arena negra presenta una superficie rugosa. La mezcla de ambas arenas conforman un conjunto polidisperso en forma y
tamaño, la cual se considera relevante para el proceso de percolación en el sistema.
Para obtener la densidad del bulto mı́nima ρmin se vierte la arena en un vaso precipitado.
Luego, para una cantidad de taps (Serie de sacudidas discretas en dirección vertical) se
cuantifica la densidad de bulto máxima ρmax .
Se consigue:
Tabla 2.1. Densidad de bulto de las arenas
Tipo de arena
Clara
Oscura
ρmax [g/cm3 ]
1,6 ± 0,1
1,6 ± 0,1
ρmin [g/cm3 ]
1,4 ± 0,1
1,5 ± 0,1
21
2.2.
Placas triangulares y pared anular
Se tienen dos placas triangulares equiláteras de lado L’=(35,5 ± 0,1) cm de plexiglás con
una pared anular de ancho r=(0,7 ± 0,1) cm y radio l=(2,0 ± 0,1) cm. El lado interno de las
placas es de longitud L = (30, 5 ± 0, 1)cm. Para unir las placas con la pared anular se usaron
ganchos, que permiten un fácil desarme de las placas para agregar el medio granular.
2.3.
Preparación de la base rotatoria
La configuración está conformada de tres bancos ópticos en forma de marco. Cada banco
óptico tiene acoplado una rueda que permite el giro de un rin de bicicleta de diámetro
D = (51, 0 ± 0, 1)cm, con un carril que se ajusta al ancho de la rueda (ver Figura 2.2).
La base del montaje es un arreglo de bancos ópticos acoplados a la mesa para garantizar
estabilidad al momento de hacer rotar el rin. Se observa el montaje final en la Figura 2.1
Figura 2.1. Base rotatoria para el montaje experimental. Diámetro del aro D = (51, 0 ± 0, 1)
cm. Para acoplar el tambor triangular al montaje se cortó y ajustó una lámina de goma
espuma al rin.
22
Figura 2.2. Rueda y canal del rin de bicicleta
2.4.
Llenado de tambor triangular
Se remueve una de las placas de la celda y se hace el llenado de forma manual. Se varı́a la
cantidad de masa de arena en la celda en alı́cuotas de 20 g: 10 g de cada arena y para evitar
fuga del medio granular se colocan los ganchos. Luego de observar la primera formación de
patrón en la celda, se cambió el paso a 10 g en total.
2.5.
Adquisición de datos
Para las fotografı́as se usó una cámara Kodak easy share M320 de 9 megapı́xeles. Cada
imagen se obtuvo luego de completar tres vueltas hasta obtener un total de 47 imágenes
procesadas con los softwares ImageJ e Inkscape.
Las medidas de las fotografı́as fueron calibradas a partir de la dimensión del gancho de
presión que une en las placas, como se muestra en la Figura 2.3:
Figura 2.3. Escala para el procesamiento de imágenes
CAPÍTULO 3
RESULTADOS Y ANÁLISIS EXPERIMENTAL
La rotación de la celda triangular se realiza de forma manual con una velocidad ω=0,016
rev/s. A medida que se cambia la altura de llenado del tambor, se visualiza un cambio
cualitativo en los patrones producidos por segregación. Cada fotografı́a se registra luego de
haber completado tres vueltas completas de la celda.
Se muestra un bosquejo de la orientación de la zona del núcleo central en la Figura 3.1. Si el
triángulo inscrito tiene la orientación contraria a los lados de la celda, se etiqueta este patrón
como triángulo rotado (Ver Figura 3.1 a). Si el triángulo inscrito tiene la misma orientación
de la celda, se etiqueta como triángulo no rotado(Ver Figura 3.1b).
Figura 3.1. De izquierda a derecha se etiqueta a los patrones como triángulo rotado y triángulo
no rotado.
3.1.
Formación de patrones. Resultados experimentales
Se muestra en la Figura 3.2 una selección de las imágenes obtenidas experimentalmente en
las que se observan bandas por segregación por banda.
24
Figura 3.2. Formación de bandas por segregación luego de tres vueltas para las alturas de
llenado: a) (2,8±0,3)cm - b) (4,9 ±0,3)cm - c)(7,6±0,3) cm y d) (9,6±0,3) cm.
Las partı́culas claras tienden a concentrarse cerca del centro geométrico de la celda. Existen bandas de distintas anchuras debido a que hay regiones donde hay más concentración
de granos. Esto puede ser causado en el momento de preparar el llenado del tambor: La
segregación y compactación afectan la formación de bandas.
Para una altura crı́tica h = (10, 0 ± 0, 3)cm se observa la formación del primer patrón
obtenido experimentalmente. Existe una zona que no se fluidiza durante la rotación de la
celda, por lo que existe un núcleo que no varı́a. En la Figura 3.3 se muestra la primera
transición de fase.
25
Figura 3.3. Transición de fase donde ocurre la formación del primer patrón. Altura de llenado:
a) (9,6±0,3) cm- b)(10,0±0,3) cm.
Se observa en la Figura 3.4, que la zona central es de forma triangular y uno de sus vértices
apunta hacia abajo.
Figura 3.4. Primera zona invariante bajo rotación reportada experimentalmente con forma
triangular para la Altura de llenado: (10,0±0,3) cm.
En la Figura 3.5 se presenta la evolución del patrón triangular como consecuencia de
continuar el llenando de la celda luego de aparecer el primer patrón central:
26
Figura 3.5. Evolución de patrones centrales triangulares. Altura de llenado: -a) (10,9±0,3)
cm -b)(12,5±0,3) cm -c)(13,6±0,3) cm y -d) (14,0±0,3) cm.
Las bandas de segregación se observan alrededor de los patrones centrales. Se muestra en
detalle en la Figura 3.6 el núcleo central de la Figura 3.5 d) .
Figura 3.6. Patrón triangular con lados redondeados. Altura de llenado: (13,6±0,3) cm.
27
A partir de un triángulo equilátero inscrito en la superficie invariante, se puede variar la
curvatura de la lı́nea que une a dos puntos de los vértices del patrón. De esta manera se
caracterizan los patrones centrales. En la Figura 3.7 se observa el trazado geométrico y el
trazado central triangular cambia la curvatura de sus lados.
Figura 3.7. Crecimiento del tamaño de triángulos inscritos en el núcleo central del medio
granular. El valor promedio del lado de los triángulos para a) y b) son: (1,6 ± 0,2)cm y (7,6
± 0,2) respectivamente.
Luego, para una altura de llenado h = (14, 0±0, 3)cm se obtiene un cambio en la geometrı́a
del patrón central. Se observa en la Figura 3.8 la diferencia entre los dos patrones:
Figura 3.8. Segundo cambio de fase en el núcleo central. La transición ocurre para las alturas
de llenado de a) y b): (13,6 ± 0,2)cm y (14,0 ± 0,2) respectivamente.
Al analizar en detalle la zona invariante de la Figura 3.9 a) se observa que el trazado inscrito
en el patrón es triangular, mientras que en la Figura3.9 b) podemos bosquejar una estructura
hexagonal, tomando como vértices los cambios de curvatura del patrón. La superposición de
28
dos triángulos invertidos entre sı́ puede construir la forma del patrón central, luego de unir
los vértices vecinos con una lı́nea curveada. Proponer esta superposición triangular, permite
estudiar la continuidad de los patrones triangulares.
Figura 3.9. Cambio de estructura triangular a hexagonal inscritas en el núcleo central.
La evolución de la zona invariante de forma hexagonal se presenta en la Figura 3.10:
Figura 3.10. Crecimiento del tamaño de estructuras hexagonales inscritas en el núcleo central
del medio granular. Altura de llenado: -a) (14,0 ± 0,3)cm -b)(14,5 ± 0,3) -c)(15,1 ± 0,3) y
d) (15,7 ± 0,3).
29
Se reporta la última transición de fase entre los patrones centrales formados. Se observa
en la Figura 3.11 un cambio de forma hexagonal a un patrón triangular. Para este caso, el
patrón triangular tiene sus vértices en el mismo sentido a los vértices de las placas.
Figura 3.11. Tercer cambio de fase en el núcleo central. La transición ocurre de estructura
triangular a hexagonal para las alturas de llenado de a) y b): (15,7 ± 0,3)cm y (16,5 ± 0,3)cm
respectivamente.
En la Figura 3.12 se muestra en detalle el cambio de fase de la forma del patrón. Para
esta transición de fase, se deduce que existe una altura para la cual predomina el triángulo
inscrito con sus vértices orientados hacia los vértices de las placas.
Figura 3.12. Cambio de estructura hexagonal a triangular inscritas enel núcleo central.
La evolución en el núcleo central de forma triangular se presenta en la Figura 3.10:
30
Figura 3.13. Crecimiento del tamaño de estructuras triangulares inscritas en el núcleo central
del medio granular. Altura de llenado: -a) (16,5 ± 0,3)cm -b)(18,6 ± 0,3) -c)(20,1 ± 0,3) y
d) (23,1 ± 0,3).
A medida que se llega a la altura máxima, las avalanchas son cada vez mas pequeñas, ya
que el espacio disponible para que el medio granular fluya decrece a medida que se llena el
tambor.
3.2.
Análisis dimensional de patrones
El análisis de las fotografı́as permite definir tres transiciones de fase en los patrones centrales reportados:
Sin patrón Central-Triangular
Triangular-Hexagonal
Hexagonal-Triangular
Para la estructura hexagonal, se propuso la superposición de dos triangulos invertidos entre
sı́ y se reportó la medida de sus lados por separado. Se propone que existe una evolución
entre las transición triangular-hexagonal-triangular en la Figura 3.14, de izquierda a derecha.
31
Figura 3.14. Rotación de triángulo inscrito en el núcleo central
Escogemos las siguientes variables para el estudio de las imágenes (Ver Figura 3.15) y se
graficó la variación del lado r de los triángulos inscritos en función de la altura h normalizada
con la altura H de la celda triangular equilátera:
Figura 3.15. Variables para el estudio de las imágenes
32
Figura 3.16. Variación de los lados de los triángulos inscritos en función de la altura de llenado
normalizada.
Figura 3.17. Crecimiento de triángulos rotados inscritos en patrones centrales.
33
Para los datos experimentales se muestra que la variación del tamaño en el núcleo central
depende linealmente con respecto a la altura de llenado. Se obtiene la relación:
r=m
h
+ r0
H
(3.1)
con:
m = 36, 5 ± 0, 9 [cm]
r0 = −11, 6 ± 1, 0 [cm]
Considerando el tamaño de todos los triángulos no rotados inscritos incluyendo los formados en los hexágonos se grafica:
Figura 3.18. Crecimiento de triángulos no rotados inscritos en patrones centrales
De la gráfica existe un crecimiento de los triángulos no rotados desde la formación del
primer hexágono hasta los triángulos finales.
La función que se ajusta a este conjunto de puntos tiene la forma:
r=m
con:
h
+ r0
H
(3.2)
34
m = 47, 7 ± 1, 1 [cm]
r0 = −17, 6 ± 0, 7 [cm]
Para ambos casos, del ajuste lineal podemos deducir que:
∆r
∆h
=
r
h
(3.3)
El cambio fraccional de la figura triangular inscrita en los patrones obtenidos es igual al
cambio fraccional de la altura de llenado. En el caso de triángulo rotado, el tamaño aumenta
mas rápido con respecto al triángulo no rotado.
3.3.
Modelaje de patrón central. Zona invariante en celda triangular
A medida que se aumenta el llenado del tambor triangular, el área de los patrones centrales
aumenta y las avalanchas son cada vez mas pequeñas debido a que el espacio disponible
disminuye. Si el tambor se llena completamente de un medio granular, se esperarı́a que no
ocurriesen avalanchas (Obviando que el medio puede compactarse y cambiar esa altura de
llenado). Se grafica el área invariante A0i de los patrones con respecto al área de llenado del
tambor A0ll , normalizados con el área del tambor lleno, en la Figura 3.19
Figura 3.19. Aumento del área invariante del patrón con respecto al área de llenado, normalizados con el área del tambor lleno
35
Del gráfico se desglosa que, luego de cierta área de llenado, el área de los patrones formados
crecen exponencialmente. La ecuación que se ajusta a los datos experimentales tiene la forma:
0
A0i = CeAll /A0 + D
(3.4)
con
D = −0, 07 ± 0, 01
C = (1 ± 5) x 10−4
A0 = 0, 16 ± 0, 01
Sin embargo, existe un valor de saturación donde no ocurrirán avalanchas y, por lo tanto,
no habrá un patrón definido. En este caso, se concluye que el área del patrón es cero cuando
el tambor este lleno. A mayor área de llenado, la zona invariante crecerá exponencialmente.
Este resultado está vinculado con el volúmen de llenado y volúmen invariante del sistema.
La percolación no es necesaria para ilustrar la formación los patrones centrales. Se puede
construir una idea intuitiva, para demostrar la gama de formas geométricas obtenidas experimentalmente, usando una analogı́a hidrostática. Supongamos un celda triangular llena de
algún lı́quido. Si se hace rotar, se puede dibujar las lı́neas que traza la superficie del lı́quido,
una a una. Por cada vuelta, el área inicial debe ser igual al área final. Esta condición delimitará un trazado central, que se evidenció usando un medio granular. Los patrones obtenidos
gráficamente en la Figura 3.20 concuerdan con los resultados experimentales.
36
Figura 3.20. Trazado de lı́neas para la formación de patrones centrales luego de una rotación
completa de la celda. Condición inicial y final: Columna 1 y 2 respectivamente. Proporción
de llenado del tambor 0,3 ; 0,4 y 0,8 de arriba a abajo.
3.4.
Resultados preliminares para celda de geometrı́a cuadrada
Se realizó un estudio preliminar de formación de patrones para una celda de geometrı́a
cuadrada, que se incluye para observar las diferencias experimentales obtenidas al cambiar
de la celda sometida a rotación.
Se tienen dos placas cuadradas de lado L’=27,8 ± 0,1 cm de plexiglás. La pared anular de
ancho r=0,7 ± 0,1 cm y radio l= 2,0 ± 0,1 cm. El lado L interno de las placas es de longitud
L = 23, 8 ± 0, 1cm.
Se muestra en la Figura 3.21 una selección de las imágenes obtenidas experimentalmente
en las que se observan bandas por segregación para la celda cuadrada.
37
Figura 3.21. Formación de bandas producto de las avalanchas para las alturas de llenado: a)
(8,5±0,3)cm - b) (12,6 ±0,3)cm.
En la Figura 3.22 se muestra la primera transición de fase donde se observa la formación
del primer patrón central obtenido experimentalmente.
Figura 3.22. Transición de fase donde ocurre la formación del primer patrón central. Altura
de llenado: a) (12,9±0,3) cm- b)(13,2±0,3) cm.
Se observa en la Figura 3.23, que la zona invariante es un rectángulo rotado 45◦ con respecto
a la orientación de la celda.
38
Figura 3.23. Primera zona invariante reportada experimentalmente con forma cuadrada. Altura de llenado: (13,2±0,3) cm.
Se muestra la evolución del patrón rectangular para distintas alturas en la Figura 3.24.
Figura 3.24. Evolución de patrones centrales rectangulares. Altura de llenado: -a) (13,5±0,3)
cm -b)(13,8±0,3) cm
Experimentalmente se observó solo tres patrones rectangulares. Se observa un cambio en la
forma del patrón central de rectangular a cuadrado, manteniendo la orientación, en la Figura
3.25:
39
Figura 3.25. Evolución de patrones centrales rectangulares. Altura de llenado: -a) (13,8±0,3)
cm -b)(14,5±0,3) cm
Se muestra en detalle uno de los patrones cuadrados obtenidos experimentalmente, en la
Figura 3.26
Figura 3.26. Patrón cuadrado. Altura de llenado: (15,7±0,3) cm.
A medida que se aumenta la altura de llenado, los lados de los cuadrados se redondean.
En la Figura 3.27 se observan los cuadrados inscritos dentro del patrón y como cambia la
curvatura de la lı́neas.
40
Figura 3.27. Cambio de curvatura de patrones cuadrados. Dimensión de un lado de los cuadrados inscritos: -a)(15,7±0,3) cm -b) (17,4±0,3) cm.
La evolución de los patrones cuadrados con cambios de curvatura se presentan en la Figura
3.28:
Figura 3.28. Evolución de los patrones cuadrados.Altura de llenado: -a)(16,5±0,3) cm -b)
(16,9±0,3) cm -c)(18,2±0,3) cm -d) (19,4±0,3) cm)
41
Se observó la rotación del patrón central cuadrado a un nuevo patrón rectangular, con sus
lados paralelos a los lados de la celda.
Figura 3.29. Rotación de patrón central en cuadrado. Altura de llenado de izquierda a derecha:
(21,1±0,3) cm y -b) (22,2±0,3) cm, respectivamente.
Se grafica el área invariante de los patrones A0i con respecto al área de llenado A0ll del
tambor, normalizados con el área del tambor lleno, en la Figura 3.30.
Figura 3.30. Aumento del área invariante del patrón con respecto al área de llenado en la
celda cuadrada
42
Del gráfico se desglosa que, luego de cierta área de llenado, el área de los patrones formados
crecen exponencialmente. La ecuación que se ajusta a la data experimental es:
0
A0i = CeAll /A0 + D
(3.5)
con:
D = −0, 05 ± 0, 01
C = (1 ± 4) x 10−4
A0 = 0, 15 ± 0, 01
Existe un valor de saturación donde no ocurren avalanchas y, por lo tanto, no habrá un
patrón definido. En este caso, se concluye que el área del patrón es cero cuando el tambor
este lleno. A mayor área de llenado, la zona invariante crecerá exponencialmente.
3.5.
Comparación de crecimiento exponencial en el núcleo central de patrones
en celdas triangular y cuadrada.
Al comparar los ajustes realizados de nuestra data experimental para las celdas cuadrada
y triangular se observa que, usando el ajuste del programa Origin 8.0, se obtiene:
0
A0i = CeAll /A0 + D
Celda triangular:
D = −0, 07 ± 0, 01
C = (1 ± 5) x 10−4
A0 = 0, 16 ± 0, 01
Celda cuadrada:
D = −0, 05 ± 0, 01
C = (1 ± 4) x 10−4
A0 = 0, 15 ± 0, 01
(3.6)
43
Y el ajuste exponencial para todos los datos experimentales se observa en la Figura 3.31:
Figura 3.31. Crecimiento exponencial de área del núcleo central en celdas triangular y cuadrada
Por lo que se obtiene que, para los patrones obtenidos experimentalmente, existe una
relación exponencial entre el área del núcleo central de los patrones formados y el área de
llenado. Para todos los puntos experimentales de las celdas, se ajusta la curva:
0
A0i = CeAll /A0 + D
(3.7)
con:
D = −0, 07 ± 0, 01
C = (1 ± 6) x 10−4
A0 = 0, 16 ± 0, 01
Y A0 corresponde al valor obtenido para las celdas cuadrada y triangular. Este crecimiento
puede predecir el área (o voĺumen de granos) que permanece invariante a rotaciones.
CAPÍTULO 4
CONCLUSIONES
Se caracterizó la evolución del tamaño y la superficie de patrones observados en celdas de
Hele-Shaw de geometrı́a triangular y cuadrada, parcialmente llenas con dos tipos de granos,
y sometidas a rotación.
Se observó que para la celda triangular, se obtuvo un crecimiento lineal del tamaño de
la zona invariante con respecto a la altura de llenado. Para los patrones triangulares que se
forman con las aristas paralelas a la celda (no girados), el tamaño de estos aumenta a una
tasa mayor que para las zonas triangulares invariantes que resultan giradas.
Se observó que para la celda triangular y cuadrada, se obtuvo un crecimiento lineal del
tamaño de la zona invariante bajo rotación con respecto a la altura de llenado como parámetro
de control. Para los patrones triángulares que se forman con los lados paralelos a la celda el
tamaño de estos aumenta a una tasa mayor que para las zonas triangulares giradas.
El área invariante que resulta después de que se rota la celda, aumenta exponencialmente
con respecto al área de llenado, en las celdas de Hele-Shaw medidas.
Se obtiene que para la superficie normalizada como parámetro de control se obtiene que
todas las medidas colapsan en una única curva exponencial cuya constante caracterı́stica es
A0 = 0, 16 ± 0, 01.
CAPÍTULO 5
Implicaciones para investigaciones futuras
Realizar un estudio experimental con celdas de otras geometrı́as.
Explorar la dinámica que conduce un comportamiento tan sencillo como el observado en
este trabajo.
Analizar las consecuencias de los efectos geométricos en los procesos de mezclas de granos.
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APÉNDICE A
Descripción geométrica de conservación de área triángular
Consideramos la siguiente figura:
Figura A.1. Representación espacial de la condición inicial y luego de una avalancha del medio
granular
Construimos los lados del triángulo a partir de rectas con el sistema de referencia propuesto
en la figura A.1:


 2H
x+H

L
Yl = − 2H
x+H
L



0
Donde H =
√
L 3
2
,φ=
2H
L
=
si − L/2 ≤ x ≤ 0
si 0 ≤ x ≤ L/2
(A.1)
√
3 por lo que se obtiene:



φx + H


Yl = −φx + H



0
si − L/2 ≤ x ≤ 0
si 0 ≤ x ≤ L/2
(A.2)
51
Suponemos como condición inicial el lecho granular paralelo a la base a una distancia h1 :
Y = h1
(A.3)
Esta recta corta con los lados del triángulo de la ecuación (A.2) en los siguientes puntos:

i0 = − ∆H , h
1
φ
d = ∆H , h
0
1
φ
(A.4)
donde ∆H = H − h1
Luego de ocurrir una avalancha se tiene una pendiente con un ángulo θ con respecto al
sistema de referencia establecido.
m = tan(θ)
(A.5)
Podemos describir la avalancha a partir de una recta de pendiente m:
y = mx + b
(A.6)
Esta recta representa todas las posibles avalanchas para un ángulo dado.
Podemos escribir los puntos de intersección de la recta con la ecuación (A.2) para obtener:

H −b
H −b


, φ
+H
 ij =
m−φ
m − φ
H −b
H −b


, −φ
+H
dj =
m+φ
m+φ
(A.7)
Para simplificar, definimos las siguientes variables:
Γ=H −b
(A.8)
α=
1
m−φ
(A.9)
γ=
1
m+φ
(A.10)
52
Entonces reescribimos los puntos dj e ij :

ij = αΓ , φαΓ + H
d = γΓ , −φγΓ + H
j
(A.11)
Ahora escribimos los vectores para la condición inicial usando la siguiente figura:
Figura A.2. Representación vectorial de la condición inicial y luego de una avalancha del
medio granular

p~ = r~ − H
~
0
0i
q~ = r~ − H
~
(A.12)

p~0 = − ∆H , −∆H
φ
q~ = ∆H , −∆H
0
φ
(A.13)
0
0d
Y obtenemos:
Luego, el par de vectores que describen las nuevas posiciones de p~0 y q~0 luego de una
avalancha se describen como:

p~j = αΓ , φαΓ
q~ = γΓ , −φγΓ
j
(A.14)
El área sin medio granular permanece constante.Entonces podemos construir el área de los
triángulos formados utilizando el producto vectorial. Obtenemos:
53
q0 k
A0 = 12 kp~0 x~
(A.15)
Aj = 12 kp~j x~
qj k
Entonces obtenemos la condición de área constante para un par de vectores:
kp~0 × q~0 k = kp~j × q~j k
(A.16)
2(∆H)2
kp~0 × q~0 k =
φ
(A.17)
kp~j × q~j k = 2φ kαγk (kΓk)2
(A.18)
Donde:
Y obtenemos:
Γ=±
∆H
φ
s
1
kαγk
(A.19)
Y usando A.8 obtenemos el valor de b:
∆H
b=H∓
φ
s
1
kαγk
(A.20)
Tomamos el valor negativo, ya que cumple la condición de y = mx + b = h1 cuando θ = 0,
que corresponde a la condición inicial propuesta.
Las rectas formadas por las avalanchas son descritas por la ecuación:
Y = mx + b
(A.21)
con:
b=H−
∆H p 2
km − 3k
φ
(A.22)