Probabilidad condicionada II

5 Probabilidades Condicionadas
Ejemplo 1:
1.1) Lanzo una moneda legal. Sea Y la v.a. indicadora de “cara” en este lanzamiento.
Si sale cara, elijo al azar un punto X de [0,1]; si sale cruz, lo elijo en [0,2].
a) Encontrar la ley del valor obtenido, X.
b) Calcular la probabilidad de que X sea mayor que ½.
c) Dar la ley condicional de Y conocido X.
d) Calcular el valor esperado de X
e) Calcular la esperanza de Y si se conoce el valor de X.
(Nota sobre Indicador: Y vale uno o cero según que la moneda lanzada muestre cara o no).
1.2) Repite 1.1) pero ahora X tiene distribución N (0,1) si sale cara y N (1,1) si sale cruz.
1.3) Repite 1.1) pero ahora utiliza una moneda con probabilidad de cara p.
Ejemplo 2:
Elijo al azar un punto p de [0,1] y construyo una moneda que tiene probabilidad de cara igual a p. A
continuación lanzamos esta moneda. Sea Y la variable aleatoria indicadora de cara en el lanzamiento.
a) Dar la ley de Y.
b) Dar la ley de X sabiendo que Y=1.
c) Calcular E(Y).
e) Calcular E(X/Y=1).
Ejemplo 3:
Elegimos un número X1 al azar en el intervalo [0,1].
Elegimos un segundo número X2 en el intervalo [0, X1].
a) Encontrar la ley conjunta de X1 y X2 .
b) Dar las leyes marginales de X1 y X2 .
c) Dar la ley de X1 condicionada por X2.
d) Calcular E(X2).
e) Calcular E(X1 / X2= x2).
Ejemplo 4:
Elijo al azar un punto de [0,1]. Llamémosle X.
A continuación construimos una moneda que tenga p(cara)=X y la lanzamos n veces. Sea Y el
número de caras obtenidas en los n lanzamientos.
a) Dar la ley de Y.
b) Dar la ley de X sabiendo que Y=k.
c) Calcular E(Y) de dos formas (i) a partir de la ley de Y; ( ii) mediante la esperanza iterada.
d) Calcular E(X /Y=k). (Pista: Encontrar la ley de X condicionada a un valor de Y).
Ejemplo 5:
El número de vehículos que llegan a un taller durante un día es una variable aleatoria N que
sigue una distribución geométrica de parámetro p ( p(N=k)=qk-1p; k= 1,2,...) .
El tiempo T empleado en cada reparación sigue una distribución exponencial de intensidad
 (densidad fT (x)= ex ; x>0). Supóngase que el tiempo empleado en cada servicio no depende de
la duración de los restantes servicios ni del número de entradas en el día.
Sea Y el tiempo total necesario para atender a todos los clientes del día.
a) Encontrar la ley de Y.
b) Encontrar la ley de N si sabemos que Y=y.
c) Calcular E(Y).
d) Calcular E(N /Y=y)
Nota:
La suma de k v.a.i.i.d. exponenciales () es una  (k, )
(puedes demostrarlo ahora por inducción sobre n; más adelante, con f. característica, será muy sencillo)
Ejemplo 6:
Como el ejemplo 5, pero N sigue ahora una distribución de Poisson ( p(N=k)= e-k/ k! ; k= 0,1,2,...).
5 Probabilidades Condicionadas
Ejemplo 7 (Sept. 04):
El segmento [0,1] se divide en dos partes eligiendo al azar el punto de corte .
Sea X la longitud del mayor de los dos fragmentos obtenidos.
a) Encontrar la densidad de X.
Troceamos ahora en dos partes el segmento de longitud X eligiendo un nuevo punto de corte al
azar.
Llamamos Y a la longitud del mayor de estos dos nuevos trozos.
b) Encontrar la densidad de Y condicionada por X.
c) Encontrar la densidad conjunta de (X,Y) comprobando que su integral en R2 vale 1.
d) Calcular la probabilidad de que con los tres fragmentos obtenidos mediante estos dos cortes
del segmento [0,1] original se pueda construir un triángulo.
e) Encontrar la densidad de X condicionada por Y.
Ejemplo 8 (Sept. 04):
El vector aleatorio XY tiene densidad
f(x,y)= (k/x) IA(x,y) con A={(x,y)R2 / ½ < x <1, x/2 < y < x}.
a) Calcular el valor de la constante k. Analizar la independencia entre X e Y de la forma más
breve posible.
b) Encontrar y dibujar la densidad de Y
c) Encontrar E(Y) mediante la fórmula de la esperanza iterada. (Dar la ley de X; Dar la ley
de Y condicionada por un valor de X.)
d) Encontrar E(Y) a partir de la densidad de Y. ¿Coincide E(Y) con el valor obtenido en el
apartado anterior?
e) Calcula la probabilidad condicionada P(5/8 < X < 7/8 / Y=y) para cada valor de y.
f) Calcular la esperanza de X si sabemos que Y < ½. (Dar la densidad de X condicionada a
Y < ½).
Ejemplo 9 (Feb. 04):
Sea (S,T) un vector aleatorio con densidad f(s,t)= k(1-2s+2t) en la región 0<s<t<1 de R2.
a) Calcula las probabilidades condicionadas siguientes:
a.1) p(T>0.4 / S<0.5).
a.2) p(T>0.4 / S=s).
b) Calcula la esperanza condicionada E(S/T) y su esperanza,
comprobando que coincide con E(S).
Ejemplo 10 (Feb. 05):
Se elige al azar (con distribución uniforme) un punto (X,Y) del plano dentro del cuadrado de
vértices (1, 0) (0, 1) (-1, 0) y (0, -1). Sea S= X+Y . Sea D= |X-Y|.
Sea fSD la función de densidad conjunta de S y D y FSD su función de distribución.
a) Encuentra fSD mediante cambio de variable.
b) ¿Son S y D variables aleatorias independientes?
c) Calcula FSD a partir de pXY mediante procedimientos directos basados en áreas de figuras
geométricas en el plano (sin integrales) y derivándola, encuentra de nuevo fSD .
d) Calcula la densidad de X condicionada a que (S>0).
e) Basándote en el resultado del apartado d), analiza la independencia entre S y X.
f) Encuentra la densidad de X sabiendo que (S=s).
5 Probabilidades Condicionadas
Ejemplo 11 (Feb. 05):
Sea (X,Y,Z) un vector aleatorio con densidad uniforme en la región {(x,y,z)R3 / 0<x<y<z<1}.
Calcula las siguientes funciones de densidad condicionadas:
a) X+Y condicionada por Z=z.
b) X+Z condicionada por Y=y.
c) Y+Z condicionada por X=x.
d) (X,Z) sabiendo que Y<y
e) (X,Z) sabiendo que X<x
f) X+Y sabiendo que Z≤z
Puedes intentar también alguna otra de entre las siguientes, tratando de dibujar un esquema de las
densidades univariantes y de los soportes en las bivariantes:
fXYZ
fX
fY
fZ
fXY
fXZ
fYZ
FXYZ
FX
FY
FZ
FXY
FXZ
FYZ
fXY/Z=z
fXZ/Y=y
fYZ/X=x
fX/YZ
Y/XZ
fZ/XY
fX/Y
fX/Z
fY/X
fY/Z
fZ/X
fZ/Y
fX+Y/Z=z
fX+Z/Y=y
fY+Z/X=x
fX/Z<z
fY/Z<z
fX+Y/ |X-Y|>0.5
fXY/Z<z
Ejemplo 12:
Un fabricante A produce un tipo de componente C, cuyo tiempo de vida se rige por una distribución
exponencial de media 1000 horas. El sistema B utiliza un componente C. Si falla el componente C, el
sistema B lo sustituye al instante por otro nuevo. Cuando uno de estos componentes C dura menos de
2000 horas se cambia de proveedor. Calcular el valor esperado de T, siendo T el tiempo total de
funcionamiento del sistema B con componentes del fabricante A.
5 Probabilidades Condicionadas
Soluciones:
1.1.a) fX (x)= 3/4 I[0,1](x) + ½ I[1,2](x)
1.1.b) 5/8
1.1.c) x [0,1]:
pY/X=x (0)= 1/3;
x [1,2]:
pY/X=x (0)= 1 ;
1.1.d) EX= ¾
1.1.e) x [0,1]: E(Y/X=x)= 1/3
1.2.a)
1.2.b)
1.2.c)
1.2.d)
1.2.e)
pY/X=x (1)= 2/3
pY/X=x (1)= 0
x [1,2]: E(Y/X=x)= 0
fX (x)= p f N(0,1) (x) + (1- p) f N(1,1) (x).
vale ½ para p=½ . En general, vale p-(1-2p) Φ(½) Nota: ΦFN(0,1)
xR: pY/X=x (1)= ;
pY/X=x (0)= 1- pY/X=x (1)
EX= 1-p.
xR:
E(Y/X=x)= [1+ ((1-p)/p) e x -½ ]-1
1.3.a) fX (x)= ((1+p)/2) I[0,1](x) + ((1-p)/2) I[1,2](x)
1.3.b) (3-p)/4
1.3.c) x [0,1]:
pY/X=x (0)= (1-p)/(1+p);
pY/X=x (1)= 2p /(1+p)
x [1,2]:
pY/X=x (0)=
1;
pY/X=x (1)= 0
1.3.d) EX= 1- p/2
1.3.e) x [0,1]: E(Y/X=x)= 2p / (1+p)
x [1,2]: E(Y/X=x)= 0
2.a)
2.b)
pY(0)= pY(1)= ½
fX/Y=1 (x)= 2x I[0,1](x)
3.a)
3.b)
3.c)
f(x1, x2)= 1/x1 en 0< x2 < x1 <1
X1 ~ U[0,1]; fX2(x2)= -ln(x2) I[0,1](x2)
fX1/ X2=x2 (x1)= [-x1 ln x2]-1 si x1[x2, 1]
4.a)
4.b)
4.c)
4.d)
Y ~ U{0, 1 , …, n }
 (k+1, n-k+1)
n/2
(k+1)/(n+2)
5.a)
5.b)
5.c)
5.d)
exp(p)
Poisson(qy) desplazada 1 hacia la derecha.
1/p
1+1/qy
6.a)
mixta, con pY (0)=e -y densidad de la parte continua f(y)=
fX/Y=0 (x)= 2(1-x) I[0,1](x)
e 
1  e 

2 n
 n!(n 1)!y
n 1  y
n 1
6.b)
6.c)
6.d)
7.a)
7.b)
7.c)
7.d)
7.e)
X ~ Uniforme [ l/2, l]
Y / X=x ~ Uniforme [ x/2, x]
fXY(x,y)= 4/x en SXY={(x,y)/ ½ < x < 1; x/2 < y < xç
– ½ + ln 4  0.3863
fY(y)= - 4 ln y ; fX/Y=y (x)= [x ln (4y)] – 1 I[1/2, 2y] (x) + [- x ln y] – 1 I[2y, 1] (x)
de 7 a 11 ) Puedes ver soluciones de exámenes anteriores (con soluciones desarrolladas)
12)
e