Vectores. - Universidad de Murcia

UNIVERSIDAD DE MURCIA
Departamento de Matemáticas
Óptica y Optometrı́a
Relación de Problemas no 9
Curso 2005-2006
Vectores.
169. ¿Para qué valores de λ ∈ R, el conjunto de vectores {(1, 1, 1); (1, λ, 1); (1, 1, λ)} es una
base de R3 ?
170.
a) Pruebe que los vectores {(−1, 1, 1); (1, −1, 1); (1, 1, −1)}, son base de R3 .
b) Determine las coordenadas del vector (2, 4, −2) en la base anterior.
171. Dados los vectores (1, 1, 0, m); (3, −1, n, −1); (−3, 5, m, −4), halle los valores de m y n
para que sean linealmente independientes.
172. Determine los valores de a y b para que el vector (a, −2, 1, b) sea linealmente dependiente
de (1, 2, 3, 4) y (−1, 0, −2, 3).
173. Dados los vectores (1, 4, m, 10); (6, 10, 1, 0); (n, 2, 1, 1), encuentre un valor de m y otro de
n de modo que sean linealmente independientes.
174. Estudie si son diagonalizables o no cada una de las siguientes matrices. En caso de que
lo sean calcule su potencia n-ésima:


1 1
0
4 2
5 1
A=
; B=
; C = 1 2 −1 ;
3 −1
−4 1
0 −1 1






4 1 −1
5
4
3
1 2 3
D = 2 5 −2 ; E = −1 0 −3 ; F = 0 2 3 ;
1 1 2
1 −2 1
0 0 3






1 −2 0 0
−3
1
−1
0
1
0
 0 1 0 0





G=
1 1 0 1 ; H = −7 5 −1 ; I = 1 0 0 ;
−6 −6 −2
0 0 2
1 1 1 0
175. Estudie, en función de los parámetros cuando son, o
siguientes:





1 a 1
−1 1 0
a





0 2 4 ; C= 1
A= 0 1 b ; B=
0 0 c
0 0 −a
1
no, diagonalizables las matrices



1 1
a −1 1
a 1  D =  0 1 3
1 a
0 2 2
176. Simplifique:
(a) (3~u · ~v ) − (~u · 2~v ), (b) ~u · (~u − ~v) + ~v · (~v + ~u)
(c) ~u · (~u + 2w)
~ + (2~v − ~u) · (~u + 2w)
~ − 2~v · (~u + 2w)
~
177. Sean ~u = (2, 1, 0), ~v = (3, −1, 2) y w
~ = (4, 0, 3).
a) Calcule los productos escalares dos a dos.
b) Calcule los ángulos que forman entre sı́.
c) Halle la proyección de ~u en la dirección de ~v y en la dirección de w.
~
178. Halle un vector unitario con ángulos directores π3 ,
mismos ángulos.
π
4
y
2π
.
3
Halle otro con módulo 2 y los
179. Calcule los cosenos y los ángulos directores del vector i − j +
√
2k.
180. Demuestre que los vectores ~u = (2, 1, −1); ~v = (−1, 4, 2); w
~ = (2, −1, 3) son ortogonales
dos a dos.
181. Dados los vectores ~u = (−1, 2, a) y ~v = (4, a, −3); ¿qué valor debe tener el parámetro a
para que sean ortogonales?
182. Dados los vectores ~u = (1, 5, 0), ~v = (−3, 0, 2) y w
~ = (0, 1, −1); calcule los ángulos que
forman dos a dos.
183. Obtenga un vector unitario y proporcional a ~u = (3, 0, 4).
184. Sean los vectores ~u = (x, 3, 6) y ~v = (3, y, 4). Calcule x e y de modo que los vectores
anteriores sean perpendiculares y k~vk = 13.
185. Dados los vectores ~u = (1, 5, 3) y ~v = (−1, 0, 2); halle un vector unitario w
~ que sea
perpendicular a los dos anteriores.
186. Pruebe, usando el producto mixto, que los vectores ~u = (1, 1, 1), ~v = (3, 1, −1) y w
~ =
(−4, 2, 8) son linealmente independientes.
187. Encuentre un vector que sea ortogonal a ~u = (3, −2, 5) y que dependa linealmente de
~v = (1, −1, 3) y w
~ = (−2, 2, 1).
188. Calcule algún valor del parámetro t para que el producto vectorial (1, 2, t) × (1, t, 0) tenga
la dirección del eje OZ.
189. Dos vectores ~u y ~v son tales que k~uk = 10, k~vk = 10 y k~u + ~v k = 20. Halle el ángulo que
forma ~u y ~v .
190. Calcule el área y el volumen del tetraedro determinado por los puntos (0, 0, 0), (0, a, a),
(a, 0, a) y (a, a, 0).
√
191. Sabiendo que ABCD es un cuadrado, con A(2, 0, 2), B(1, 1, 0), C(0, y, z), encuentre las
coordenadas que faltan en C.
192. Sea ABCDA0 B 0 C 0 D 0 un paralelepı́pedo, de modo que A(0, 1, 1); B(−2, 1, 0); C(1, 1, 3) y
A0 (2, 0, 1); calcule los restantes vértices y el volumen de dicho paralelepı́pedo.
193. Calcule el área del triángulo determinado por los puntos A(1, 3, 0); B(3, 0, −3) y C(0, 1, 2).
194. Calcule el volumen del tetraedro de vértices (0, 2, −2); (2, 0, 1); (1, −2, 0) y (2, 2, 1).
195. ¿Qué tipo de cónica representan las siguientes ecuaciones?
(a)x2 + y 2 − 4x + 2y − 4 = 0; (b)4x2 + 9y 2 − 8x + 36y − 104 = 0
196. ¿Qué tipo de cuádrica representan las siguientes ecuaciones?
(a)x2 + y 2 + z 2 − 2x − 4y − 2z + 2 = 0;
(b)4x2 + y 2 + 4z 2 − 8x − 8y − 8z + 11 = 0