actividades finales

Soluciones unidad 1: El movimiento 4º ESO
1
SOLUCIONES UNIDAD 1. EL MOVIMIENTO
¿QUÉ SABES DE ESTO?
1. Un automóvil pasa a las once de la mañana por el km 15 de una carretera. Si al mediodía
está en el kilómetro 90, ¿cuál fue su velocidad? Expresa esa cantidad en unidades del SI.
distancia recorrida 90 km - 15 km
km
0
=
= 75
tiempo
1h
h
km
km 1 000 m
h
m
= 75
·
·
= 20,8
Y en unidades del SI: v = 75
h
h
km
3 600 s
s
Aplicando la definición de velocidad: v =
2. De las siguientes gráficas, señala la que describe mejor tu actividad en un día de clase,
desde que sales de tu casa por la mañana hasta que regresas a primera hora de la tarde.
Las gráficas primera y tercera describen ese movimiento. Las gráficas segunda y cuarta describen
movimientos imposibles, un móvil no puede estar en el mismo instante en dos lugares diferentes.
3. Si dejas caer una hoja de papel arrugada y otra lisa desde una cierta altura, ¿cuál cae
antes? ¿Por qué?
Cae antes la hoja arrugada, ya que debido a su forma más aerodinámica ofrece menos fricción con
el aire.
ACTIVIDADES PROPUESTAS
1. Pon ejemplos en los que algún objeto esté en reposo respecto a un sistema de referencia y en
movimiento respecto a otro.
Los pasajeros de un autobús están en reposo respecto del conductor y en movimiento respecto a una
señal de tráfico situada en la calzada.
La lámpara de un ascensor está en reposo respecto del suelo del ascensor y en movimiento respecto
del rellano de cada piso.
2. En un sistema de ejes de coordenadas cartesianas dibuja un vector de 3 unidades sobre el
eje X y otro de 4 unidades sobre el eje Y, tomando como origen de los vectores el del sistema
de referencia. Súmalos gráficamente y calcula el módulo del vector suma.
Para sumar gráficamente los vectores basta utilizar la regla del
paralelogramo.
Su módulo se calcula aplicando el teorema de Pitágoras:
suma
(3u)2
(4u)2
Y

b
 
a b
5unidades
O

a
X
Soluciones unidad 1: El movimiento 4º ESO
2
3. Expresa la velocidad del sonido, v = 340 m/s en la unidad km/h y la velocidad de 100 km/h
en la unidad m/s.
v
340
m
s
340
m 1km 3600 s
s 1000 m h
1224
km
;
h
v
100
km
h
100
km 1000 m 1h
h 1km 3600 s
4. 4. Escribe la ecuación de la posición para los movimientos
rectilíneos representados en la figura adjunta.
La ecuación de la posición de un movimiento rectilíneo uniforme es:
x = x0 + v · t
27,8
m
s
x (m)
45
A
36
27
La posición inicial es igual a la ordenada en el origen y la velocidad
es igual a la pendiente de las correspondientes rectas.
B
18
C
9
A) x0 = 18 m; v
B) x0 = 0 m; v
C) x0 = 36 m; v
x
t
45 m 18 m
2,25 m / s ; x = 18 m + 2,25 m/s · t
12 s 0s
x 36 m 0 m
3 m / s ; x = 3 m/s · t
t
12 s 0s
x 9 m 36 m
2,7 m / s ; x = 36 m – 2,7 m/s · t
t
10 s 0s
O
2
4
6
8
10 12 t (s)
La velocidad de este movimiento es negativa, ya que se acerca al origen de coordenadas.
5. Escribe las ecuaciones de los siguientes movimientos y represéntalos gráficamente.
a) Un móvil sale de un punto situado a 5 km del origen y se aleja con una velocidad de 2 km/h.
b) Durante el recreo un compañero que está situado a 30 m de ti, se te acerca con una
velocidad de 2 m/s.
La ecuación de la posición de un movimiento uniforme es: x = x0 + v · t
x (m)
Para representar los movimientos gráficamente se construye la
correspondiente tabla de valores que recoge las sucesivas posiciones en el
transcurso del tiempo.
13
11
9
7
a) x = 5 km + 2 km/h · t
5
3
t (h)
0 1 2 3 4
x (km) 5 7 9 11 13
b) Como el móvil se acerca al origen, se considera que su velocidad es
negativa.
x = 30 m – 2 m/s · t
t (s)
0 5 10 15
x (m) 30 20 10 0
1
O
1
2
3
4
t (h)
15
t (s)
x (m)
30
20
10
O
5
10
6. Los siguientes esquemas representan el movimiento de un objeto en cuatro situaciones
diferentes.
Para cada ejemplo señala si se modifica algún atributo del vector velocidad e identifica esa
variación con el tipo de aceleración correspondiente.
Soluciones unidad 1: El movimiento 4º ESO
3
A
B
C
D
En el esquema A no se modifica el vector velocidad, por lo que no hay aceleración.
En el B se modifica el módulo del vector velocidad y por ello hay aceleración tangencial.
En el diagrama C se modifica la dirección del vector velocidad lo que significa que hay a celeración
normal.
En el esquema D se modifican el módulo y la dirección del vector velocidad y por ello hay
aceleración tangencial y normal.
7. Escribe la ecuación de la velocidad para los movimientos
representados en la figura adjunta.
La ecuación de la velocidad de un movimiento rectilíneo
uniformemente acelerado es:
v = v0 + a · t
v (m/s)
40
A
32
24
B
16
C
8
La velocidad inicial es igual a la ordenada en el origen y la
aceleración es igual a la pendiente de las correspondientes rectas.
A) v0 = 16 m/s; a
B) v0 = 0 m/s; a
C) v0 = 32 m/s; a
O
2
4
6
8
10
12 t (s)
v
t
40 m / s 16 m / s
2
2 m / s 2 ; v = 16 m/s + 2 m/s · t
12 s 0s
v 32 m / s 0 m / s
2
2,7 m / s 2 ; v = 2,7 m/s · t
t
12 s 0s
v 8 m / s 32 m / s
2
2 m / s 2 ; v = 32 m/s - 2 m/s · t
t
12 s 0s
La aceleración de este movimiento es negativa, ya que se el móvil se frena.
8. Escribe las ecuaciones de la velocidad de los siguientes movimientos y represéntalos
gráficamente.
a) Un móvil que lleva una velocidad constante de 10 m/s.
b) Un móvil lleva una velocidad de 36 km/h y acelera con a = 2 m/s 2.
c) Un móvil que lleva una velocidad de 15 m/s se frena con una aceleración de 3 m/s2.
La ecuación de la velocidad de un movimiento uniformemente acelerado es: v = v0 + a · t
Para representar los movimientos gráficamente se construye la correspondiente tabla de valores que
recoge los sucesivos valores de la velocidad en el transcurso del tiempo.
v (m/s)
a) v = 10 m/s
t (s)
0 1 2 3 4
v (m/s) 10 10 10 10 10
10
O
1
2
3
t (s)
Soluciones unidad 1: El movimiento 4º ESO
4
b) La velocidad inicial en el SI es: v = 36 km/h = 10 m/s
v = 10 m/s + 2 m/s2 · t
v (m/s)
20
16
t (s)
0 1 2 3 4
v (m/s) 10 12 14 16 18
12
8
4
O
c) Como el móvil se frena, se considera que su aceleración velocidad es
negativa.
v = 15 m/s – 3 m/s2 · t
1
2
3
4
t (s)
v (m/s)
15
12
9
t (s)
0 1 2 3 4 5
x (m) 15 12 9 6 3 0
6
3
O
1
2
3
4
5
t (s)
ACTIVIDADES FINALES
1. Expresa la velocidad de 20 m/s en km/h y la de 120 km/h en m/s.
v
v
m
m 1km 3600 s
km
20
72
s
s 1000 m h
h
km
km 1000 m 1h
m
120
120
33,3
h
h 1km 3600 s
s
20
2 Para medir la distancia de la Tierra a la Luna se usa un rayo láser que, lanzado desde la
Tierra a la Luna, tarda en volver 2,56 s )Cuál es la distancia Tierra - Luna?
El tiempo de 2,56 s es lo que tarda la luz en ir hasta la Luna y regresar. Para la mitad del trayecto es
tiempo es: t = 1,28 s.
En este tiempo la luz recorre una distancia:
Distancia = 300 000 km/s · 1,28 s = 384 000 km
3. La posición de un móvil, que describe una trayectoria en línea recta respecto a un sistema
de referencia queda determinada por la ecuación: x = 5 + 2 · t, en la que todas las magnitudes
se expresan en unidades del SI. Calcula la posición y velocidad iniciales. Determina su
posición y la distancia recorrida al cabo de un minuto. ¿Cuánto tiempo tarda en recorrer 200
m?
a) Comparando la ecuación de la posición del móvil con la ecuación general de la posición de un
movimiento rectilíneo uniforme: x = x0 + v · t, resulta que:
La posición inicial es: x0 = 5 m; y La velocidad es: v = 2 m/s
b) Al cabo de un minuto se tiene que: x = 5 m + 2 m/s · 60 s = 125 m; x = 125 m – 5 m = 120 m
c) Aplicando la definición de velocidad: x = v · t; 200 m = 2 m/s · t
t = 100 s
4. La gráfica adjunta representa la posición de un móvil respecto a un sistema de referencia y
a lo largo del tiempo. Calcula la velocidad del móvil en cada tramo de la gráfica y
represéntala gráficamente. Calcula la distancia total recorrida por el vehículo y, si la
trayectoria fuera una línea recta, determina el módulo del desplazamiento.
Soluciones unidad 1: El movimiento 4º ESO
5
La velocidad en cada tramo coincide con la pendiente de cada
segmento.
vA
vB
vC
vD
vE
e
t
e
t
e
t
e
t
e
t
90 km 0 km
km
90
1h 0 h
h
210 km 90 km
km
40
4 h 1h
h
210 km 210 km
km
0
5h 4h
h
150 km 210 km
km
20
8h 5h
h
30 km 150 km
km
60
10 h 8 h
h
Distancia recorrida = 90 km + 120 km + 0 km + 60 km + 120 km =
= 390 km
El módulo del desplazamiento es:
x = x – x0 = 30 km – 0 km = 30 km
5. La posición de un móvil, respecto a un sistema de referencia,
está representada en la figura adjunta. Determina la posición
inicial y la velocidad del vehículo. Si continúa con esa misma
velocidad, ¿a qué hora estará en la posición 400 km? ¿Dónde se
encontrará cuando hayan transcurrido 5 h y 15 min?
a) La posición inicial es e0 = 50 km
La velocidad es: v =
e 250 km - 50 km
km
=
= 50
t
4h
h
b) Aplicando la ecuación de la posición de un movimiento uniforme:
e = e0 + v · t; 400 km = 50 km + 50 km/h · t t = 7 h
c) Aplicando la ecuación de la posición de un movimiento uniforme y como 5 h y 15 min = 5,25 h,
se tiene:
e = e0 + v · t = 50 km + 50 km/h · 5,25 h = 312,5 km
6. Un ciclista pasa por la pancarta que indica que faltan 10 km para llegar a la meta, con una
velocidad de 36 km/h. A un kilómetro de distancia se acerca otro con una velocidad de 40
km/h. ¿Quién gana la etapa? En el caso de que la etapa la gane el segundo ciclista, ¿a qué
distancia de la meta alcanza al primero?
Sea A el ciclista que lleva una velocidad de 36
km/h y B el otro corredor. Se elige como origen
del sistema de referencia la pancarta de la línea de
meta y como los ciclistas están cada vez más cerca se considerará que sus velocidades son
negativas.
Las posiciones de los ciclistas en cualquier instante son:
eA = e0, A + vA · t = 10 km – 36 km/h · t
eB = e0, B + vB · t = 11 km – 40 km/h · t
Igualando y operando: eA = eB; 10 km – 36 km/h · t = 11 km – 40 km/h · t t = 0,25 h = 15 min
Y la posición que ocupan es: eA = eB = 10 km – 36 km/h · 0,25 h = 1 km de meta
Por tanto, el segundo ciclista alcanza al primero.
Soluciones unidad 1: El movimiento 4º ESO
6
7. Dos móviles salen desde posiciones separadas por una distancia de 1 km, el uno en
persecución del otro, con velocidades de 10 km/h y 12 km/h. Calcula cuánto tardan en
encontrarse y la distancia recorrida por cada uno de ellos. Construye las correspondientes
gráficas de la posición frente al tiempo para los dos móviles.
Se recogen los datos en un diagrama. Se elige como origen de
un sistema de referencia la posición del móvil que va más
deprisa y como instante inicial el de la salida que es el mismo para los dos objetos.
Las ecuaciones de la posición de cada móvil son:
eA = eA, 0 + vA · t = 0 km + 12 km/h · t; eB = eB, 0 + vB · t = 1 km + 10 km/h · t
Los dos móviles se encuentran cuando en el mismo instante ocupen la misma posición:
eA = eB; 12 km/h · t = 1 km + 10 km/h · t
t = 0,5 h = 30 min
La distancia que recorre cada uno de ellos es:
ΔeA = vA · t = 12 km/h · 0,5 h = 6 km; ΔeB = vB · t = 10 km/h · 0,5 h = 5 km
b) Para realizar las construcciones gráficas, se construye una tabla de
valores con los datos obtenidos.
tiempo (min)
0
15
30
posición A (km)
0
3
6
posición B (km)
1
3,5
6
8. Un pasajero que desea realizar un largo viaje llega a la
estación con una hora de retraso. En la parada de taxi toma uno y decide perseguir al tren por
una carretera paralela a la vía. Si el tren se mueve con velocidad constante de 60 km/h y el
taxi a 90 km/h. Calcula el tiempo que tarda en alcanzar al tren dónde se encuentran.
Construye la gráfica de la posición frente al tiempo para los dos móviles.
Se elige como origen de referencia la estación. Si el
tiempo transcurrido para el tren es igual a t, el tiempo
transcurrido para el taxi es t-1.
La posición de los móviles en cualquier instante es:
etren = 0 km + 60 km/h · t; etaxi = 0 km + 90 km/h · (t - 1 h)
En el encuentro los móviles ocupan la misma posición:
etren = etaxi; 60 · t = 90 · (t - 1) t = 3 h desde que salió el tren.
El encuentro se produce a una distancia de la estación:
e = 60 km/h · 3 h = 180 km
Soluciones unidad 1: El movimiento 4º ESO
7
9. Dos vehículos salen al encuentro, uno del otro, desde puntos separados entre si 300 km, con
velocidades de 60 km/h y 30 km/h. Si el que va más despacio arranca 2 h más tarde de la hora
prevista, determina: cuándo se encuentran y a qué distancia del punto de partida del móvil
que va más deprisa. Construye las correspondientes gráficas de la posición frente al tiempo.
Se reúnen los datos en un esquema, denominando A al
vehículo que circula más deprisa y B al que lo hace más
despacio. Se elige como origen de un sistema de referencia la
posición inicial del móvil A y el reloj se pone en marcha cuando sale este móvil.
Las respectivas posiciones de los móviles en cualquier instante son:
eA = eA, 0 + vA · tA = 0 km + 60 km · t
eB = eB, 0 + vB · tB = 300 km + (- 30 km/h) · (t - 2 h)
Los dos móviles se cruzan cuando ocupen la misma posición en el mismo instante:
eA = eB; 60 · t = 300 + (- 30) · (t - 2)
Operando: 60 t = 300 - 30 · t + 60 t = 4 h desde que salió el móvil A
La distancia que recorre el móvil A es: Δe = vA · tA = 60 km/h · 4 h = 240 km
Y la que recorre el móvil B es: Δe = vB · tB = 30 km/h · 2 h = 60 km
b) Para construir las gráficas se comienza rellenando la
correspondiente tabla de valores:
tiempo (h) posición A (km) posición B (km)
0
0
300
1
60
300
2
120
300
3
180
270
4
240
240
10. La gráfica adjunta representa la velocidad de un móvil en
el transcurso del tiempo. Describe el movimiento del objeto,
determina su aceleración en cada tramo y representa sus
valores en una gráfica.
En cada uno de los segmentos que forman la gráfica la aceleración
es una cantidad constante.
El móvil arranca desde el reposo hasta que alcanza una velocidad
de 4 m/s, sigue con velocidad constante durante 2 s y, a
continuación, acelera hasta que alcanza la velocidad de 7 m/s. Después frena durante 4 s y al final
frena bruscamente hasta que se detiene.
Para determinar su valor basta con aplicar la definición de aceleración a cada tramo de la gráfica, o
lo que es lo mismo hay que calcular la pendiente.
aA =
aB =
aC =
aD =
aE =
v 4 m/s - 0 m/s
m
=
=4 2
t
1s - 0 s
s
v 4 m/s - 4 m/s
m
=
=0 2
t
3 s -1s
s
v 7 m/s - 4 m/s
m
=
= 1,5 2
t
5s-3s
s
v 3 m/s - 7 m/s
m
=
= -1 2
t
9s-5s
s
v 0 m/s - 3 m/s
m
=
=-3 2
t
10 s - 9 s
s
Soluciones unidad 1: El movimiento 4º ESO
8
11. Un automóvil transita con una velocidad de 54 km/h y acelera hasta los 72 km/h en un
tiempo de 10 s. Determina la aceleración del vehículo y la distancia recorrida.
Se expresan las velocidades en unidades del SI: v0 = 54 km/h = 15 m/s; vf = 72 km/h = 20 m/s
Se elige como origen del sistema de referencia la posición del móvil cuando comienza a acelerar y
el eje X para la dirección del movimiento. Aplicando las ecuaciones de la posición y de la
velocidad para un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, resulta que:
vf = v0 + a · t; 20 m/s = 15 m/s + a · 10 s a = 0,5 m/s2
Δe = v0 · t + ½ · a · t2 = 15 m/s · 10 s + ½ · (0,5 m/s2) · (10 s)2 = 175 m
12. Un objeto que lleva una velocidad de 30 m/s, frena y se detiene después de recorrer 200 m.
Determina la aceleración y el tiempo que tarda en pararse.
Se elige como origen del sistema de referencia la posición del móvil cuando comienza a frenar y el
eje X para la dirección del movimiento. Aplicando las ecuaciones de la posición y de la velocidad
para un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, se tiene que:
vo = 30 m/s; vf = 0 m/s; Δe = 200 m
v = vo + a · t; 0 = 30 m/s + a · t;
Δe = vo · t + ½ · a · t2; 200 m = 30 m/s · t + ½ · a · t · t
Despejando en la primera y sustituyendo en la segunda:
a · t = - 30
200 = 30 · t + ½ · (- 30) · t t = 13,3 s
Y la aceleración: a · t = - 30; a · 13,3 = - 30
a = - 2,26 m/s2
13. ¿Cuál es la aceleración de un móvil que toma una curva de 40 m de radio a 72 km/h.
Expresando la velocidad en unidades del SI: v = 72 km/h = 20 m/s, el vehículo está animado con
una aceleración normal de módulo:
an =
2
2
v = (20 m/s ) = 10 m
2
R
40 m
s
14. Un automóvil va a 108 km/h y se detiene al cabo de 20 s. Determina la aceleración y la
distancia recorrida hasta que se detiene. ¿Cómo se modifica el tiempo y la distancia recorrida,
si el coche hubiera llevado una velocidad de 54 km/h?
a) La velocidad en unidades del SI es: v = 108 km/h = 30 m/s
Aplicando la ecuación de la velocidad de un movimiento uniformemente acelerado:
v = v0 + a · t; 0 = 30 m/s + a · 20 s a = - 1,5 m/s2
La distancia que recorre es: Δe = v0 · t + ½ · a · t2 = 30 m/s · 20 s + ½ · (- 1,5 m/s2) · (20 s)2 = 300 m
b) La velocidad en unidades del SI es: v = 54 km/h = 15 m/s
Aplicando la ecuación de la velocidad de un movimiento uniformemente acelerado y como ahora el
dato es la aceleración del vehículo:
v = v0 + a · t; 0 = 15 m/s + (- 1,5 m/s2) · t t = 10 s
Si la velocidad es la mitad, el tiempo empleado para detenerse también es la mitad.
La distancia que recorre es: Δe = v0 · t + ½ · a · t2 = 15 m/s · 10 s + ½ · (- 1,5 m/s2) · (10 s)2 = 75 m
Si la velocidad de divide por dos, la distancia recorrida hasta detenerse se divide por cuatro.
Soluciones unidad 1: El movimiento 4º ESO
9
15. Un motorista está parado en un semáforo que da acceso a una calle. En el instante en el
que el semáforo cambia a luz verde le sobrepasa un automóvil que va con una velocidad
constante de 36 km/h. El motorista se entretiene 1 s en arrancar y lo hace con una aceleración
constante de 4,8 m/s2. ¿Cuánto tarda la motocicleta en alcanzar al coche? ¿Qué distancia han
recorrido? Construye los diagramas de la velocidad y de la posición frente al tiempo para los
dos vehículos.
La velocidad del automóvil en el SI es: vcoche = 36 km/h = 10 m/s
a) Se elige el semáforo como origen del sistema de referencia de la
posición y se pone el cronómetro en marcha en el instante en que cambia a verde.
La posición inicial de los dos vehículos es la misma y si para el automóvil transcurre un tiempo t,
para la moto transcurre (t - 1) desde que arranca.
Las ecuaciones de la posición para el automóvil y la motocicleta son:
ecoche = v · t = 10 m/s · t; emoto = ½ · a · t2 = ½ · 4,8 m/s2 · (t - 1 s)2
La moto alcanza al automóvil cuando las posiciones son iguales:
eautomóvil = emoto; 10 m/s · t = ½ · 4,8 m/s2 · (t - 1 s)2
Operando: 10 t = 2,4 · (t2 – 2 · t + 1); 10 t = 2,4 · t2 - 4,8 · t + 2,4
Agrupando términos: 2,4 · t2 - 14,8 · t + 2,4 = 0
Multiplicando por 10 y dividiendo entre 4, se tiene: 6 · t2 – 37 · t + 6 = 0
Despejando: t =
37
2
37 - 4 · 6 · 6 37 35
=
2·6
12
t1 = 6 s
t2 = 0,17 s
Sólo tiene significado físico la solución: t = 6 s, ya que en el instante t 2 = 0,17 s la moto está parada.
b) La distancia que recorren es: ecoche = emoto = 10 m/s · 6 s = 60 m
c) Aplicando la ecuación de la velocidad a la motocicleta:
vmoto = 4,8 m/s2 · (t - 1 s), se rellena la siguiente tabla de valores.
t (s)
0
vcoche (m/s) 10
vmoto (m/s) 0
1
10
0
2
10
4,8
3
10
9,6
4
5
6
10 10 10
14,4 19,2 24
La tabla de valores que relaciona las posiciones con el transcurso del tiempo se construye aplicando
las ecuaciones:
ecoche = 10 m/s · t y emoto = ½ · 4,8 m/s2 · (t - 1 s)2
t (s)
ecoche m/s
emoto m/s
0
0
0
1
10
0
2
20
2,4
3
30
9,6
4
5
6
40 50 60
21,6 38,4 60
Soluciones unidad 1: El movimiento 4º ESO
10
16. Una noche de niebla transita un camión por una carretera recta y estrecha con una
velocidad constante de 54 km/h y detrás del camión, va un automóvil con una velocidad de 90
km/h. El conductor del coche no descubre al camión hasta que se encuentra a 20 m de él. Si
en ese instante pisa el freno imprimiendo una aceleración negativa de 4 m/s2, determina si
habrá colisión.
Se expresan las velocidades en unidades del
sistema internacional.
vcoche = 90 km/h = 25 m/s;
vcamión = 54 km/h = 15 m/s
Se elige como origen del sistema de referencia la posición que ocupa el automóvil en el instante en
el que el conductor descubre al camión.
Las posiciones de los vehículos, en cualquier instante, son:
ecamión = e0, camión + vcamión · t = 20 m + 15 m/s · t
ecoche = e0, coche + v0, coche · t + ½ · a · t2 = = 0 m + 25 m/s · t + ½ · (- 4 m/s2) · t2
En el caso de que exista accidente los dos vehículos ocuparán la misma posición en el mismo
instante.
ecamión = ecoche; 20 m + 15 m/s · t = 25 m/s · t - 2 m/s2 · t2
Ordenado términos y simplificando: 2 m/s2 · t2 - 10 m/s · t + 20 m = 0
Despejando el tiempo en la ecuación de segundo grado: t =
5
t2 - 5 t + 10 = 0
2
5 - 4 ·1·10 5
=
2 ·1
- 15
2
Que no tiene como solución un número real. Por tanto se concluye que la suposición de que los
móviles ocupan el mismo lugar en un instante concreto no es cierta, es decir no hay colisión. El
conductor del automóvil logra reducir su velocidad hasta una cantidad menor que la del camió n
antes de alcanzarlo.
17. Deduce que, para un objeto que se deja caer desde una altura h, la velocidad en una
posición cualquiera se puede determinar mediante la ecuación: v = 2 · g · h .
Se elige como origen de un sistema de referencia la posición desde la que se deja
caer el objeto y se asigna el signo positivo a todas las magnitudes que tienen su
sentido hacia abajo. De esta forma: la posición final, la aceleración y la
velocidad son positivas.
Despejando el tiempo en la ecuación de la velocidad, resulta que:
v
t=
v = v0 + g · t; v = g · t
g
Sustituyendo en la ecuación de la posición: h = h0 + v0 · t + ½ · g · t2, se tiene:
2
h = ½ · g · t2 = ½ · g · v2 =
g
Despejando: v =
2· g·h
1 v2
·
2 g
Soluciones unidad 1: El movimiento 4º ESO
11
18. Desde el pretil de un puente se deja caer, partiendo del reposo, una piedra que tiene una
masa de 30 g. Si tarda 1,4 s en golpear contra la superficie del agua, determina la altura del
puente y la velocidad con que golpea al agua.
Se elige como sistema de referencia el punto de lanzamiento y se asigna el signo
positivo a las magnitudes que tienen sentido hacia abajo.
A partir de la ecuación de la posición, se tiene que la altura del puente es:
h = h0 + v0 · t + ½ · a · t2 = 0 + ½ · 9,8 m/s2 · (1,4 s)2 = 9,6 m
La velocidad con que la piedra golpea a la superficie del agua es:
v = v0 + a · t = 0 + 9,8 m/s2 · 1,4 s = 13,7 m/s
19. Desde la terraza de un edificio se deja caer, partiendo del reposo, una pelota de tenis que
tiene una masa de 55 g. Si la pelota llega al suelo con una velocidad de 12 m/s, determina el
tiempo que tarda en caer y la distancia desde la que se soltó.
Se elige como origen del sistema de referencia el suelo, el eje Y la vertical y se
asigna el signo negativo a todas las magnitudes cuyo sentido es hacia abajo.
Con este criterio de signos, la aceleración y la velocidad en el suelo son
negativas y la posición final de la pelota es: h = 0 m.
a) Aplicando la ecuación de la velocidad, se tiene:
v = v0 + a · t; - 12 m/s = 0 m/s + (- 9,8 m/s2) · t
tcaer = 1,22 s
Sustituyendo estos valores en la ecuación de la posición:
h = h0 + v0 · t + ½ · a · t2; 0 m = h0 + 0 · t + ½ · ( - 9,8 m/s2) · (1,22 s) 2
Despejando, se soltó desde una altura: h0 = 7,3 m
20. Desde el suelo se lanza verticalmente un objeto con una velocidad inicial de 15 m/s.
Determina la altura que alcanza y el tiempo que tarda en alcanzarla. Calcula el tiempo que
tarda en regresar al suelo y la velocidad en ese instante.
Se elige como origen de un sistema de referencia el
suelo, el eje Y la vertical y se asigna el signo positivo a
todas las magnitudes que tienen sentido hacia arriba.
a) Al subir: la velocidad inicial es positiva y la
aceleración negativa.
Aplicando la ecuación de la velocidad:
v = v0 + a · t; 0 m/s = 15 m/s + (- 9,8 m/s2) · t
tsubir =
1,53 s
Sustituyendo en la ecuación de la posición:
h = h0 + v0 · t + ½ · a · t2 = 0 m + 15 m/s · 1,53 s + ½ · (- 9,8 m/s2) · (1,53 s) 2 = 11,48 m
b) Al bajar: la posición inicial es positiva, la posición final es el origen y la aceleración es negativa.
Aplicando la ecuación de la posición:
h = h0 + v0 · t + ½ · a · t2 ; 0 m = 11,48 m + ½ · (- 9,8 m/s2) · t2
Despejando: tbajar = 1,53 s, el mismo que el que empleó para subir
Sustituyendo en la ecuación de la velocidad: v = v0 + a · t = 0 + (- 9,8 m/s2) · 1,53 s = - 15 m/s
La misma con la que se lanzó y sentido hacia abajo.
Soluciones unidad 1: El movimiento 4º ESO
12
21. Se lanza un objeto verticalmente y hacia arriba y tarda 6 segundos en volver a la mano.
¿Hasta qué altura subió?
El tiempo que tarda en subir es el mismo que tarda en bajar, con lo que t subir = 3 s. Como la
distancia que sube es la misma que la que baja, calculamos la distancia que recorre al bajar,
eligiendo como origen el punto más elevado y asignando el signo positivo a las magnitudes que
tienen sentido hacia abajo.
Δh = v0 · t + ½ · a · t2 = ½ · 9,8 m/s2 · (3 s)2 = 44,1 m
22. Se lanza verticalmente y hacia arriba una pelota con una velocidad inicial de 20 m/s. En el
mismo instante se deja caer otra desde una altura de 40 m. Determina el punto de encuentro
y calcula la velocidad de las pelotas en ese instante. Utiliza como valor de g 10 m/s2.
Se elige como origen del sistema de referencia el suelo, el eje Y la vertical
y se asigna el signo positivo a todas las magnitudes que tienen sentido
hacia arriba.
a) Las ecuaciones que describen la posición de la pelota y del balón son:
hpelota = h0 + v0 · t + ½ · a · t2 = 0 + 20 m/s · t + ½ · (- 10 m/s2) · t2
hbalón = h0 + v0 · t + ½ · a · t2 = 40 m + ½ · (- 10 m/s2) · t2
Las pelotas chocan si ocupan la misma posición en el mismo instante.
hepelota = hbalón ; 20 m/s · t + ½ · (- 10 m/s2) · t2 = 40 m + ½ · (- 10 m/s2) · t2
Despejando, el tiempo que tardan en chocar es: t = 2 s
Sustituyendo en una de las ecuaciones de la posición:
hchoque = hpelota = hbalón = 40 m + ½ · (- 10 m/s2) · t2 = 40 m + ½ · (- 10 m/s2) · (2 s)2 = 20 m desde el
suelo
b) Sustituyendo el tiempo anterior en la ecuación de la velocidad.
vepelota = v0 + a · t = 20 m/s + (- 10 m/s2) · 2 s = 0 m, está en el punto más alto de su trayectoria.
vbalón = vo + a · t = 0 + (- 10 m/s2) · 2 s = - 20 m/s, va hacia abajo.
23. La Luna tarda 27,3 días en recorrer su órbita de 380 000 km de radio. Determina la
velocidad lineal y angular de la Luna.
La Luna recorre la longitud de la circunferencia en un mes, su velocidad es:
v=
distancia 2 · · 380 000 km 1 dÍa
km
=
·
= 3 644
tiempo
27,3 dÍas
24 h
h
Que expresada en unidades del SI: v = 3 644 km/h = 1 012 m/s
La velocidad angular ω es: v =
t
=
2 · radianes 1 dÍa
1h
rad
·
·
= 2,66 · 10- 6
24 h 3 600 s
s
27,3 dÍas
24. Un ciclista transita con una velocidad de 18 km/h sobre una bicicleta cuyas ruedas tienen
un radio de 42 cm. Calcula la frecuencia expresada en r.p.m., el período y la velocidad
angular de las ruedas. ¿Qué ángulo describen los radios de las ruedas en un minuto?
¿Cuántas vueltas gira la rueda en ese tiempo?
Se expresan las magnitudes en unidades del sistema internacional.
R = 0,42 m; v = 18 km/h = 5 m/s
a) La velocidad angular es:
=
v
5 m/s
rad
=
= 12
R 0,42 m/radio
s
Soluciones unidad 1: El movimiento 4º ESO
13
12 rad/s
6
= c.p.s
2 · rad/vuelta
6
6
s
360
Expresada en r.p.m.: f = c.p.s= c.p.s 60
=
r.p.m.
min
1
1
El período es: T = =
= s
f 6/ c.p.s 6
La frecuencia es: f =
2·
=
b) El ángulo descrito en un minuto es: Δ = ω · t = 12 rad/s · 60 s = 720 rad
c) Cada vuelta que da la rueda describe un ángulo de 2 · π rad.
n ú mero de vueltas =
2 · rad/vuelta
=
720 rad
= 114,59 vueltas
2 · rad/vuelta
25. Las ruedas grandes de un tractor tienen un radio de 1 m y las pequeñas de 50 cm. Si las
ruedas grandes giran con una velocidad angular de 6 rad/s, determina: la velocidad del
tractor, la velocidad angular de las ruedas pequeñas y el período y frecuencia de los dos tipos
de ruedas.
Sea R el radio de la rueda mayor y r el de la menor.
a) La velocidad del tractor es:
v = ωmayor · R = 6 rad/s · 1 m = 6 m/s = 21,6 km/h
b) La velocidad lineal es la misma para todo el tractor, por tanto:
v = ωmenor · r; 6 m/s = ωmenor · 0,5 m ωmenor = 12 rad/s
c) Las frecuencias de giro se determinan a partir de su relación con la velocidad angular.
6 rad/s
3
3
= vueltas/s = c .p . s
2·
2 · rad/vuelta
12 rad/s
6
6
=
=
= vueltas/s = c .p . s
2·
2 · rad/vuelta
f mayor =
f menor
=
En el mismo tiempo, la rueda pequeña da el doble número de vueltas que la rueda mayor.
1
Los respectivos períodos son: Tmayor = =
f 3
1
vueltas/s
=
1
1
s ; Tmenor = =
= s
3
f 6 vueltas/s 6
La rueda mayor tarda en doble de tiempo en dar una vuelta que la menor.
26. Los radios de una rueda de bicicleta miden 45 cm y recorren un ángulo de 270º en 0,25 s.
Determina su velocidad angular, el período la frecuencia y la velocidad del ciclista.
270º · 2 · rad 3 ·
=
rad
360º
2
3 / 2 rad
rad
=
=6·
La velocidad angular es: =
t
0,25 s
s
6 · rad/s
La frecuencia: f =
=
= 3 vueltas/s = 3 c .p . s
2·
2 · rad/vuelta
1
1
1
El período: T = =
= s
f 3 vueltas/s 3
Se expresa el ángulo descrito en radianes:
=
La velocidad: v = ω · R = 6π rad/s · 0,45 m = 8,5 m/s = 30,5 km/h