función de proporcionalidad inversa

TRASLACIÓN HORIZONTAL (DESPLAZAMIENTO HORIZONTAL)
Para estudiar la traslación horizontal, se debe fijar primero el valor del parámetro a y después
variar el valor del parámetro b.
Veremos que la función y =
a
a
es el resultado de trasladar horizontalmente la función y = .
x
x −b
ACTIVIDAD 1.
Representa las funciones que se indican:
a) y =
2
x −1
b) y =
2
x−3
c) y =
2
x+2
d) y =
2
x+4
Contesta a las siguientes preguntas:
a) ¿Cuál es el dominio de la función?, ¿y el recorrido?
b) ¿Se mantiene la simetría respecto del origen?
La simetría central es respecto del punto: _________
d) Estudia su monotonía (intervalos de crecimiento y decrecimiento)
e) Estudia su continuidad.
f) ¿Qué sucede cuando a x le damos valores próximos a b?
g) ¿Se modifica la asíntota horizontal? En caso afirmativo, determinar cuál es.
h) ¿Se modifica la asíntota vertical? En caso afirmativo, determinar cuál es.
i) ¿Qué traslación se produce para obtener la gráfica a partir de la de la función y =
j) Intenta generalizar, si y =
a
?
x
a
,
x −b
1. Su asíntota vertical es:____________
2. Su asíntota horizontal es:__________
3. El centro de la hipérbola es el punto: _____________
4. La función y =
a
a
es el resultado de trasladar horizontalmente la función y = :
x
x −b
b unidades a la derecha, si __________
b unidades a la izquierda, si _________
TRASLACIÓN VERTICAL (DESPLAZAMIENTO VERTICAL)
Para estudiar la traslación vertical, se debe fijar primero el valor del parámetro a y después
variar el valor del parámetro c.
Veremos que la función y = c +
a
a
es el resultado de trasladar verticalmente la función y = .
x
x
ACTIVIDAD 2.
Representa las funciones que se indican:
a) y = 1 +
3
x
b) y = −1 +
3
x
c) y = 3 +
3
x
d) y = −2 +
3
x
Contesta a las siguientes preguntas:
a) ¿Cuál es el dominio de la función?, ¿y el recorrido?
b) ¿Se mantiene la simetría respecto del origen?
La simetría central es respecto del punto: _________
d) Estudia su monotonía (intervalos de crecimiento y decrecimiento)
e) Estudia su continuidad.
f) ¿Qué sucede cuando a x le damos valores próximos a 0?
g) ¿Se modifica la asíntota horizontal? En caso afirmativo, determinar cuál es.
h) ¿Se modifica la asíntota vertical? En caso afirmativo, determinar cuál es.
i) ¿Qué traslación se produce para obtener la gráfica a partir de la de la función y =
j) Intenta generalizar, si y = c +
a
?
x
a
:
x
1. Su asíntota vertical es:____________
2. Su asíntota horizontal es:__________
3. El centro de la hipérbola es el punto: _____________
4. La función y = c +
a
a
es el resultado de trasladar verticalmente la función y = :
x
x
c unidades hacia arriba, si __________
c unidades hacia abajo, si _________
TRASLACIÓN OBLICUA (DESPLAZAMIENTO HORIZONTAL Y VERTICAL)
Consideremos ahora y = c +
a
x −b
ACTIVIDAD 3.
Representa las funciones que se indican:
a) y = 2 +
3
x +1
b) y = 1 +
2
x−2
c) y = −3 +
2
x+4
d) y = −1 +
1
x−3
Contesta a las siguientes preguntas:
a) ¿Cuál es el dominio de la función?, ¿y el recorrido?
b) ¿Se mantiene la simetría respecto del origen?
La simetría central es respecto del punto: _________
d) Estudia su monotonía (intervalos de crecimiento y decrecimiento)
e) Estudia su continuidad.
f) ¿Se modifica la asíntota horizontal? En caso afirmativo, determinar cuál es.
g) ¿Se modifica la asíntota vertical? En caso afirmativo, determinar cuál es.
h) ¿Qué traslación se produce para obtener la gráfica a partir de la de la función y =
i) Intenta generalizar, si y = c +
a
:
x −b
1. Su asíntota vertical es:____________
2. Su asíntota horizontal es:__________
3. El centro de la hipérbola es el punto: _____________
4. La función y = c +
a
a
es el resultado de trasladar la función y = :
x
x −b
El vector de traslación es: _____________
a
?
x
REPRESENTACIÓN DE LAS FUNCIONES y =
ax + b
cx + d
ax + b
, se dividen ambos polinomios y
cx + d
se aplica el algoritmo de la división, transformando la ecuación anterior en otra de la forma:
Para representar las funciones racionales de ecuación y =
y = m+
kx
.
x −n
Por tanto, su gráfica es una “copia” de la gráfica de la función y =
kx
x
ACTIVIDAD 4.
1. Representa las siguientes funciones:
x
x
1
a) y =
→ y=
= 1+
x −1
x −1
x −1
b) y =
−x
1
→ y = −1 +
x +1
x +1
Para cada una de ellas, determina:
a) Las traslaciones que se realizan
b) Su dominio y su recorrido.
c) Sus asíntotas.
d) Su centro de simetría.
2. Representa las siguientes funciones racionales, expresándolas previamente de la forma
kx
y = m+
:
x −n
a) y =
2x
x−2
b) y =
x +1
x+3
Para cada una de ellas, determina:
a) Las traslaciones que se realizan
b) Su dominio y su recorrido.
c) Sus asíntotas.
d) Su centro de simetría.
c) y =
2x + 3
x +1
d) y =
−3x − 2
x −1
ACTIVIDADES DE AMPLIACIÓN
ACTIVIDAD 5.
Representa, expresándolas previamente de la forma y = m +
a) y =
4x − 3
2x − 2
b) y =
6x + 4
2x − 1
c) y =
kx
:
x −n
2x − 3
3x + 1
d) y =
−4x − 1
2x − 3
Para cada una de ellas, determina:
a) Las traslaciones que se realizan.
b) Su dominio y su recorrido.
c) Sus asíntotas.
d) Su centro de simetría.
ACTIVIDAD 6.
Si una función tiene por gráfica una hipérbola equilátera, ¿se podría deducir su expresión
algebraica? ¿Cómo?
Para responder a esta pregunta, realiza la siguiente actividad:
Asocia cada una de las siguientes expresiones analíticas a una de estas gráficas:
a) y = 1 + 2
b) y =
x
1
x+3
c) y = 1 − 3
d) y =
x
4
1
x−4
6
1
3
5
0
2
4
1
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
0
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0
-1
1
-1
3
-2
2
-3
1
-4
2
3
4
5
0
-5
-4
-3
-2
-1
-1
0
1
2
3
4
5
0
-5
-2
-4
-3
-2
-1
-1
-5
0
1
2
3
4
5
-6
-3
-2
-7
-4
-3
-8
4
4
4
3
3
3
2
2
2
1
1
1
0
-1
0
0
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
-1
1
-2
-2
-2
-3
-3
-3
-4
-4
-4
Determina de forma razonada la expresión analítica de las dos gráficas que sobran.
2
3
4
5
6