Concepto de función

Concepto de función
Dados dos conjuntos A y B, llamamos función a la correspondencia de A en B en la
cual todos los elementos de A tienen a lo sumo una imagen en B, es decir una imagen
o ninguna.
Función real de variable real es toda correspondencia f que asocia a cada elemento
de un determinado subconjunto de números reales, llamado dominio, otro número
real.
f:D
x
f(x) = y
El subconjunto en el que se define la función se llama dominio o campo existencia de
la función. Se designa por D.
El número x perteneciente al dominio de la función recibe el nombre de variable
independiente.
Al número, y, asociado por f al valor x, se le llama variable dependiente. La
imagen de x se designa por f(x). Luego
y= f(x)
Se denomina recorrido de una función al conjunto de los valores reales que toma la
variable y o f(x).
Conjunto inicial
Conjunto final
Representaciones de una función.
Gráfica: A cada par de valores (x,f(x)) le corresponde un punto en un sistema de eje
cartesianos. Todos esos pares de valores forma la gráfica de la función.
Tabular: A cada valor de x se le asocia el valor de f(x) correspondiente.
Algebraica: Una fórmula permite calcular para cada valor de x el valor de f(x) que le
corresponde por la función f.
Dominio y recorrido de una función
El dominio es el conjunto de elementos que tienen imagen. D = {x
El recorrido es el conjunto de elementos que son imágenes.
/
f (x)}
R = {f (x) / x
D}
¿CÓMO CALCULAR EL DOMINIO A PARTIR DE LA GRÁFICA?
Se estudia el eje X y se determina en él los valores que tienen asociado un pun to de la
gráfica.
¿CÓMO CALCULAR EL RECORRIDO A PARTIR DE LA GRÁFICA.
Se estudia el eje Y y se determina los valores que en él están asociados al menos con un
valor de x.
¿CÓMO CALCULAR EL DOMINIO A PARTIR DE LA FÓRMULA?
DOMINIO: Valores de x para los que está definida la función.Para valores externos al dominio
no existe gráfica.
-En las funciones Polinómicas , exponenciales* y Trigonométricas* (con excepción de
f(x)=tan(x) el dominio es .
-En las funciones dadas por un cociente de polinomios el dominio son todos los valores de 
con excepción de los que hacen que el denominadores valga 0.
-En las funciones en las que aparece alguna raíz cuadrada (o de índice par) deben suprimirse
del dominio los valores de x que hacen negativa las expresiones contenidas dentro de esa raíz.
-En las funciones logarítmicas* se debe recordar que no están definidos los logaritmos para
valores negativos o iguales a cero.
-En las funciones definidas a trozos debe estudiarse el dominio para cada una de las funciones
de la definición dentro de su ámbito de validez. Además debe prestarse especial atención a los
cambios de definición.
Signo de la función:
SIGNO DE LA FUNCIÓN f(x).Cuando la función toma valores positivos ,su gráfica está por
encima del eje X.En caso contrario se encuentra por debajo.
A)Se representan en una recta numérica todos los valores x pertenecientes al dominio de la
función f(x).
B)Posteriormente se marcan sobre esa recta los puntos de corte de f(x) con el eje X, las
fronteras de dominio y los cambios de definición en el caso de funciones definidas a trozos.
C)Los valores obtenidos delimitan unas zonas. En cada una de ellas el signo de la función no
varía.
C) Para cada una de las zonas delimitadas se selecciona un valor de prueba. El signo que
tome la función en ese valor determina el signo de f(x) en la zona.
Crecimiento y decrecimiento.
f es estrictamente creciente en a si sólo si existe un entorno de a, tal que para toda x
que pertenezca la entorno de a se cumple:
f es estrictamente decreciente en a si sólo si existe un entorno de a, tal que para toda
x que pertenezca la entorno de a se cumple:
Crecimiento
Crecimiento constante
Crecimiento de más a menos
Crecimiento de menos a más
derecimiento constante
decrecimiento de más a
menos
decrecimiento de menos a
más
Decrecimiento
Simetría respecto del eje de ordenadas. Una función f es simétrica
respecto del eje de ordenadas cuando para todo x del dominio se verifica:f(-x) = f(x) .Las funciones
simétricas respecto del eje de ordenadas reciben el nombre de funciones pares.
Simetría respecto al origen.Una función f es simétrica respecto al origen cuando
para todo x del dominio se verifica:f(-x) = -f(x).Las funciones simétricas respecto al origen reciben el
nombre de funciones impares.
Estudio de la simetría.
Si f(x)=f(-x) para cualquier valor de x la función tendrá simetría par.
Si f(-x)=-f(x) para cualquier valor de x la función tendrá simetría impar.
En cualquier otros caso la función no tiene simetría.
Funciones periódicas
Una función f(x) es periódica, de período T, si para todo número entero z, se verifica:
f(x) = f(x + z T)
Función acotada
Función Acotada superiormente
Una función f está acotada superiormente si existe un número real k tal que para toda x es f(x) ≤ k. El
número k se llama cota superior.
Función acotada inferiormente
Una función f está acotada inferiormente si existe un número real k′ tal que para toda x es f(x) ≥
k′. El número k′ se llama cota inferior.
LÍMITE DE UNA FUNCIÓN
El límite de la función f(x) en el punto x0, es el valor al que se acercan las imágenes
(las y) cuando los originales (las x) se acercan al valor x0. Es decir el valor al que
tienden las imágenes cuando los originales tienden a x0.
Si x0 es un número nos podemos aproximar a él por la izquierda y por la derecha. Se
habla entonces de límites laterales por la izquierda y la derecha.
Si x0 es ∞ ó -∞ sólo nos podemos aproximar a esos valores por un único ‘lado’. No
existe en estos caos el concepto de límite lateral.
Una primera aproximación al cálculo de límites se puede hacer con la calculadora.
Los límites valen para determinar ASÍNTOTAS y DISCONTINUIDADES. En las
siguientes figuras se aclararán estos conceptos.
Esta función es discontinua dado que su
gráfica se ‘rompe’ en x=2. Se dice que tiene
una discontinuidad evitable puesto que si
nos aproximamos a x=2 desde valores
inferiores (x=1’9, 1’999…) y desde valores
superiores (x=2’1, 2’0001,…) siempre la
función toma valores que se aproximan a 4.
Esta función presenta una
asíntota vertical en x=0. A medida que nos
aproximamos a x=0 los valores que toma la
función son cada vez más grandes (tender a
∞)También tiene una asíntota horizontal
¿Es discontinua?
Esta función también tiene asíntotas
horizontales y verticales ¿Por qué?
¿Es discontinua?
La función presenta la asíntota horizontal
y=1:Cuando x toma valores muy grandes y
positivos la función se va aproximando a
1.Lo mismo ocurres cuando x toma valores
muy grandes y negativos.¿Cuántas asíntotas
horizontales puede tener como máximo una
función?
Esta función presenta una asíntota vertical y
una asíntota oblicua.
Además presenta una discontinuidad de salto
infinito en x=0’5. ¿Qué diferencia hay entre
una discontinuidad de salto y una evitable?
Comenta todas las carácterísticas relativas a
discontinuidades y asíntotas de esta función.
Dibuja la gráfica de un función que contenga
una discontinuidad de salto finito y otra de
salto infinito.
Puntos de corte con el eje OX (abcisas) y el eje OY
(ordenadas)
Para hallar los puntos de corte con el eje de abscisas hacemos y = 0 y resolvemos la
ecuación resultante. Estos puntos también se llaman ceros.Para hallar el punto de
corte con el eje de ordenadas hacemos x = 0 y calculamos el valor de f(0).
Ejemplo 1:Hallar los puntos de corte
con el eje OX de la función:
Ejemplo3: Hallar los puntos de
corte con los ejes de la función
anterior
Ejemplo2:Hallar el punto de corte con el
ejes OY de la función:
Funciones definidas a trozos
Son funciones definidas por distintos criterios, según los intervalos que se
consideren.
El dominio lo forman todos los números reales menos el 4.
Función parte entera de x
Es una función que a cada número real hace corresponder el número entero
inmediatamente inferior.
f(x) = E (x)
x
0
0.5
0.9
1
1.5
1.9
2
f(x) = E(x)
0
0
0
1
1
1
1
Función valor absoluto
as funciones en valor absoluto se transforman en funciones a trozos, siguiendo los
siguientes pasos:
1. Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces.
2. Se forman intervalos con las raíces y se evalúa el signo de cada intervalo.
3. Definimos la función a trozos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x es
negativa se cambia el signo de la función.
4 Representamos la función resultante.
D=
EJERCICIOS
1-Representa gráficamente las siguientes funciones.
3. Dada la función
a)
, determinar:
Dominio.
b) Cortes con los ejes.
c)
Simetría.
d)
Asíntotas.
e) Continuidad.
f)Signo.
4. Dada la función:
a)
b)
c)
d)
i)
. Hacer un estudio indicando:
Dominio.
Simetría.
Continuidad.
Corte con ejes.
Asíntotas.
5.- Hallar el dominio, los puntos de corte, y el signo de la función y 
x 2
. Indica
x 4
también cómo se comporta en las fronteras de dominio y en +∞ y - ∞.
6.-Averiguar cuáles de las siguientes funciones son pares , impares, o ninguna de las
dos:
a) f ( x)  x
x3
.
g( x) 
x2  1
2
h(x)  x
3
 2x
2
.
Indica también cómo se comporta en las fronteras de dominio y en +∞ y - ∞.
7.-Dadas las siguientes funciones, determina sus dominios, puntos de corte , signo y
simetrías: f(x) 
f ( x) 
x 3
x  16
2
x
x 1
2
, f(x) 
x1
x 1
2
, f(x)  2x  3 , f(x) 
x  1 x  2 ,
f ( x) 
x 2
y
x 4