TEMA NO 3 Anàlisis de dualidad y sensibilidad

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Unidad 3 Análisis de dualidad y sensibilidad
Competencia.-el estudiante debe convertir un modelo estático en dinámico a través del
análisis de sensibilidad basado en dos situaciones. cambios en la función objetivo y
cambios en las restricciones
Descripción general de la unidad.- la unidad consta de una parte que consiste en
construir modelos duales a través de los primales, para luego en una segunda parte
resolver los modelos duales con el método simples y luego realizar el análisis de
sensibilidad.
Introducción.La soluciòn òptima de los modelos obtenidos mediante las diferentes tècnicas, se obtuvo
en un instante de las condiciones que prevalecen en el momento de formular y resolver
el modelo .En la pràctica los modelos rara vez permanecen estàticos ,por lo que se debe
analizar los modelos cuando cambian los parámetros del modelo ,para ello se deben
recurrir al análisis de sensibilidad,la misma que proporciona tècnicas de computo ,para
tratar el comportamiento dinàmico de la soluciòn òptima, como ser recurriendo a la
teoría de la dualidad basado en el tratamiento algebraico y o método simplex.
Problema dual.El modelo dual es una programación lineal obtenida en forma directa y
sistemáticamente a partir del modelo original(o primal) de programación lineal .Los dos
modelos estàn relacionados de manera que la resoluciòn òptima de uno de ellos produce
automáticamente la resoluciòn òptima del otro.
El problema dual se expresa en forma de ecuaciones del problema primal, con todas las
restricciones del lado derecho no negativo como todas las variables.
Procedimiento para obtener el modelo dual.1.-Se definie el modelo primal en forma de ecuaciones
n
Max ò min Z = ∑ cj xj
J=1
Sujeto a : ∑ aij xj = bi donde i= 1,2,… m ;
J=1

xj ≥ 0 ; j= 1,2,3,…n,incluye las variables excedentes,holguras y artificiales si las
hay
2.-Definiciòn del modelo dual
-
Se define una variable dual (yi) por cada una de las restricciones o ecuación
primal
- Se define una restricción dual por cada variable primal
- Los coeficientes de restricciones(columna) de una variable primal define los
coeficientes en el lado izquierdo de la restricción dual y su coeficiente objetivo
define el lado derecho
- Los coeficientes objetivos del dual son iguales ala lado derecho de las
ecuaciones de restricción primal.
La misma que se puede sintetizar mediante el siguiente esquema:
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CONSTRUCCIÒN DEL DUAL A PARTIR DEL PRIMAL
Variables duales
Variables primales
X1 x2 ….. x j…..xn
c1
c2 …..cj…….cn
y1
y2
.
.
.
ym
a11
a21
.
.
.
am1
a12 … a1j …. a1n
a22 … a2j … a2n
. … . … .
.
.
.
.
.
.
am2…amj amn…
Coeficientes
objetivos
duales
b1
b2
.
.
.
bm
Para determinar el sentido de la optimizaciòn (maximización o minimización) del
tipo de restricciones(≤ , =,≥) y el signo de las variables duales(siempre no
restringido) se procede de acuerdo al siguiente esquema:
variables
Objetivos del primal
Maximización
Minimizaciôn
Modelo dual
Objetivo tipo de restricciòn
Minimización
≥
Maximización ≤
Signo de las variables
No restringido
No restringido
Todas las restricciones primales tienen el lado derecho no negativo y todas las
variables son no negativas.
Nota.-El sentido de la optimizaciòn en el dual siempre es el opuesto al del primal.
Ej.se tiene el modelo de maximizar Z = 5X1 +12X2+4X3
Sujeto:
X1 + 2X2 +X3 ≤ 10
2X1 –X2 +3X3 =8
X1,X2,X3 ≥ 0;
Soluciòn.Modelo primal
Primal en forma de ecuaciones
Max Z = 5X1 +12X2+4X3
Sujeto:X1 + 2X2 +X3 ≤ 10
2X1 –X2 +3X3 =8
X1,X2,X3 ≥ 0
Max Z = 5X1 +12X2+4X3+0X4
Sujeto X1 + 2X2 +X3 +X4 = 10
2X1 –X2 +3X3+0X4=8
X1,X2,X3 X4 ≥ 0
Obtener el modelo dual
V
duales
y
y2
Modelo dual
→Min W =10y1+8y2
Sujeto: y1+2y2 ≥ 5
2yi –y2 ≥ 12
y1 +3y2 ≥ 4
y1 +0y2 ≥0
y1,y2 sin restricción
y1≥0,
Ej. Se tien el modelo Minimizar: Z = 15X1 +12X2
Sujeto:
X1 + 2X2 ≥ 3
2X1 –4X2 ≤ 5
X1,X2, ≥ 0
y2 sin restricción
Obtener el modelo dual
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Soluciòn.Modelo primal
Primal en forma de ecuaciones
Min Z = 15X1 +12X2
Sujeto: X1 + 2X2 ≥ 3
2X1 –4X2 ≤ 5
X1,X2, ≥ 0
Min Z =15X1 +12X2+0X3+0X4
sujeto
X1 + 2X2 -X3 +0X4 = 3
2X1 –4X2 +0X3+X4=5
X1,X2,X3 X4 ≥0
v.dual
es
y1
y2
Modelo dual
→Max W =3y1+5y2
Sujeto: y1+2y2 ≤15
2yi –4y2 ≤ 12
- y1 ≤0
y2 ≤ 0
y1,y2
sin
restricción
y1≥0, y2 ≤0
Métodos de solución del dual.Solucion dual optimo.-Como la soluciòn primal y dual se relacionan estrechamente
de modo que la soluciòn òptima del modelo primal produce en forma directa la
solucion òptima del dual.Para determinar la soluciòn se tiene dos mètodos
alternativos:
1.-Mètodo I.En forma matricial,
Valores
vector renglón de los coeficientes
Optimos de las = objetivos originales de las variables x Inversa primal òptima
Variables duales
basicas òptimas primales
2.-Mètodo II.La solucicòn òptima se puede determinar resolviendo las siguientes ecuaciones:
Coeficiente z primal òptimo = Lado izquierdo de la - lado derecho de
( costo reducido de Xi)
j-èsima restricción dual la j-èsima restricción dual
Ej.Se tiene el siguiente modelo:
Se pide obtener la soluciòn òptima mediante
Maximizar Z = 5X1 +12 X2 +4X3
dos mètodos.
Sujeto
: X1 +2 X2 +X3 ≤ 10
2X1 - X2 +3X3 = 8
X1 , X2 ,X3≥ 0
Soluciòn para ello obtenemos el dual a partir del primal:
Modelo Primal:
Maximizar Z = 5X1 +12 X2 +4X3 - Mr
Sujeto
: X1 +2 X2 +X3 + X4 =10
2X1 - X2 +3X3 +R = 8
X1 , X2 ,X3, X4,R ≥ 0
Modelo dual
Min W = 10 y1 +8y2
sujeto y1 + 2y2 ≥ 5
→
2y1 –y2 ≥12
y1 +3y2 ≥ 4
y1 ≥ 0
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La tabla òptima primal
Bàsica
X1
Z
X2
X1
0
0
1
,X2
0
1
0
,X3,
3/5
-1/5
7/5
Mètodo I
( y1 , y2) = (12, 5)
X4
29/5
2/5
1/5
2/5 -1/5
1/5 2/5
,R
-2/5 +M
-1/5
2/5
=
soluciòn
274/5
12/5
26/5
[(24/5+5/5) (-12/5 + 10/5) ]
=
Mètodo II.- Coeficiente Z de X4 = 29/5 ,coeficiente Z de R = -2/5+M
De acuerdo a la regla 29/5 = y1 -0 ; → y1= 29/5
-2/5M = y2 –(-M) → y2 = -2/5
Ej. Se tiene el siguiente modelo primal, resolver por el dual mediante cualquiera de
los dos mètodos
Sol: el modelo dual:
el primal en ecuaciones
Maximizar Z= X1+X2
Min W = 5y1 +4y2
X1+ 5X2 +X3
= 5
Sujeto:
X1+ 5X2 ≤ 5 → sujeto: y1 +2y2 ≥
2X1+X2
+X4 = 4
2X1+X2 ≤ 4
5y1 +y2 ≥ 1
X1+X2 ≥ 0
Resoluciòn mediante el mètodo simplex .-se elige la variable de entrada (X1 ò
X2 ,por tener ambos el valor negativo iguales -1) ,elegimos X2 , y la variable de
salida X3 por tener mìnima razòn( 1) el elemento pivote es 5 de acuerdo a la
siguiente tabla:
Tabla del primal
Bàsica
Z
←X3
X4
X1
-1
1
2
↓
X2
-1
5
1
X3 X4
Soluciòn Razòn
0
0
0
X2
1
0
5
5/5 = 1
0
1 4
4/1= 4
Nuevo renglón pivote para X2= 1/5 ; 5/5 = 1 ; 1/5 ; 0/5=0
Nuevos renglones.
Para Z = -1-(-1)(1/5)= - 4/5
-1-(-1)(1)= 0
0-(-1)( 1/5) = 1/5
0-(-1)( 0)= 0
Para X4 = 2-(1)(1/5) =9/5
1-(1)(1) = 0
0-(1)(1/5)= - 1/5
1-(1) ( 0) = 1
Nueva soluciòn cuando X1= 0
X3 =0
→ X1+ 5X2 +X3 = 5→ 0+ 5X2 +0
= 5 → X2= 5/5 = 1
→ 2X1+X2 +X4 = 4 →2(0)+(1) +X4 = 4 → X4= 4-1 = 3
Nueva soluciôn Z= X1+X2 →
Z = 0+1 =1
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Nueva tabla del primal iterada
con los nuevos valores ,determinando las variables de entrada (X1= -4/5),
de salida (X4 cuya razôn mìnima = 15/9 = 1.67) por lo tanto el elemento pivote=
9/5
Bàsica
Z
X2
←X4
↓
X1
X2 X3 X4
-4/5 0
1/5
0
1/5 1 1/5
0
9/5 0 -1/5 1
Soluciòn Razòn
1
X1
1
1/(1/5) =5
3
3/(9/5)=1.67
Nuevo renglón pivote para X1 (en reemplazo de X4)
(9/5) / (9/5)= 1 ; 0/(9/5)= 0 ; (-1/5) / (9/5)= -1/9 ; 1/(9/5)= 5/9
Nuevos renglones.
Para Z = (-4/5)-(-4/5)(1) = 0
0-(-4/5) (0) = 0
1/5-(-4/5)(-1/9) = 1/9
0-(-4/5)(5/9) = 4/9
Ùltima tabla iterada
Bàsica
Z
Para X2 = 1/5-(1/5)(1) = 0
1-(1/5)( 0) = 1
1/5-(1/5)(-1/9)= 2/9
0-(1/5)(5/9) = -1/9
X1
X2 X3 X4
0
0 1/9 4/9
Soluciòn
1
X2
0 1 2/9 -1/9
1
X1
1
0 -1/9 5/9
3
Soluciòn como X3=0 , X4 = 0
X1+ 5X2 +X3 = 5
→ X1+ 5X2 =5 →
X1 = 5/3
2X1+X2 +X4 = 4
→ 2X1+ X2 = 4 →
X2= 2/3
Z= X1+X2 →
Z = 5/3 + 2/3 = 7/3
Resolviendo mediante el Mètodo II
Valores
vector renglón de los coeficientes
Optimos de las
= objetivos originales de las variables x Inversa primal òptima
Variables duales
basicas òptimas primales
[y1 ,y2] =[1,1] 2/9 -1/9 =[ (2/9 -1/9) (-1/9 +5/9)] =1/9 , 4/9 → y1= 1/9 y2= 4/9
-1/9 5/9
→ Min W = 5y1 +4y2
→ Min W = 5(1/9) + 4(4/9)= 5/9 + 16/9 = 21 /9 = 7/3
Interpretación econòmica de la dualidad.Toda programación lineal se puede considerar como un modelo por el cual se asigna
recursos con el objetivo de maximizar los ingresos o utilidades limitado a escasos
recursos, Para realizar un análisis màs exhaustivo es necesario considerar el
siguiente esquema de los dos modelos primal y dual
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Modelo primal
Modelo dual
n
m
Maximizar Z =∑cjxj
Minimizar W= ∑biyi
J =1
Sujeto
i=1
n
m
∑aijxj ≤ bi ;i =1,2,..m
∑aijyi ≥ cj; j= 1,2,…n
J =1
i=1
Xj ≥ 0; j=1, 2…n
yi ≥ 0 i = 1,2,….m
Es decir el modelo primal tiene n actividades econòmicas y m recursos,donde el
Coeficiente cj del primal representa la utilidad / Unidad de actividad j
El recurso i con disponibilidad màxima es bi,se consume a una tasa :
de aij unidades / unidad de actividad j
Interpretación econòmica de las variables duales.Sabemos qur tanto el modelo primal como dual estàn estrechamente relacionados de
modo que las dossoluciones factibles primal y dual cualquiera,los valores de la
funciones objetivos cuando son finitos deben cumplir la siguiente la condiciòn de
desigualdad:
n
Z =∑cjxj
m
≤
J =1
∑biyi = W
i=1
Sòlo se da la igualdad Z=W cuando las soluciones primal como dual son òptimas,es
decir el modelo primal representa la utilidad monetaria,y como bi representa la cantidad
disponible de unidades del recurso i entonces Z=W se puede expresar de manera
dimensional como
$ = ∑ (unidades del recurso i) x ($ / unidad del recurso i) es decir.
Yi= valor /unidad del recurso i ( o yi= precios duales o precios sombra
Cuando Z < W es decir, la utilidad < valor de los recursos significa las soluciones
primal y dual no son òptimas se dice que el sistema permanece inestable,la estabilidad
se obtine cuando los recursos son iguales a la utilidad..
Ejemplo de interpretación del modelo primal como dual,de acuerdo a los datos de la
Cìa de pinturas se tiene:
Modelo Primal
Max Z = 5X1 + 4X2
Sujeto : 6X1 + 4X2 ≤ 24
X1 + 2X2 ≤ 6
-X1 + 4X2 ≤ 1
X2 ≤ 2
X1,X2 ≥ 0
Soluciòn òptima : X1 = 3 ,X2 = 1.5 ; Z = 21
Modelo dual
Min W = 24y1 +6y2+y3+2y4
Sujeta : 6y1 +y2 - y3
≥5
4y1 +2y2+y3+y4 ≥ 4
y1,y2,y3,y4 ≥ 0
Soluciòn òptima :
y1 =0.75; y2 = 0.5 , y3=y4 = 0 ; w = 21
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Interpretación de la soluciòn del modelo primal:
Como X1 = 3 ,X2 = 1.5 ; Z = 21, significa que para obtener una màxima utilidad de $ 21
mil diarios ,la Cìa debe utilizar 3 toneladas de pintura para exteriores y 1.5 toneladas
de pintura para interiores diariamente
Interpretación de la soluciòn del modelo dual
Como y1 =0.75; y2 = 0.5 , y3=y4 = 0 ; w = 21,significa:
Que para obtener un costo mìnimo de $ 21 mil se requiere gastar $ 0.75 mil o $ 750
/tonelada de la materia prima M1 y $0.5 o $ 500 /tonelada de la materia prima M2 .
Para los recursos y3=y4 = 0 que representan los requerimientos del mercado,los precios
duales que son cero significa que los recursos asociados son abundantes
Interpretación econòmica de las restricciones duales:
Una vez analizados los valores de las variables duales(yi) ahora corresponde analizar las
restricciones duales,para ello es necesario utilizar el siguiente esquema del mètodo II
Coeficiente z primal òptimo = Lado izquierdo de la
- lado derecho de la
( costo reducido de Xj)
j-èsima restricción dual
j-èsima restricción dual
En forma sintètica representa:
Coeficiente objetivo Xj = ∑ aij yi - cj donde
cj = utilidad en $ / unidad de actividad j
m
∑ aij yi = costo imputado de todos los recursos necesarios para producir una unidad de la
i= 1
j-èsima actividad
aij = cantidad del i-èsimo recurso que usa la j-èsima actividad
yi = costo imputado / unidad del i.èsimo recurso
La condiciòn de optimalidad de maximización del mètodo simples indica que : un
incremento en la cantidad de la j-èsima actividad no usada(no básica) puede mejorar la
utilidad sólo en caso de que su coeficiente objetivo(∑ aij yi - cj ) sea negativo por lo
tanto se establece que Cj < Zj es decir el
Costo imputado del recurso/ Unidad de la actividad j < utilidad / unidad de actividad j
Por lo tanto la condición de optimalidad de maximización
señalaque es
económicamente bueno incrementar una actividad a un valor positivo si su utilidad
unitaria es mayor que su costo unitario imputado
Ej. La empresa TOYCO arma tres tipos de juguetes trenes ,camiones y coches con tres
operaciones.los límites diarios de tiempo disponible para las tres operaciones son 430
,460,y 420 minutos respectivamente.Los tiempos de armado por tren en las tres
operaciones son (1,3 y 1) minutos respectivamente, los tiempos por camión y coches
son (2,0,4) y (1,2,0).
Donde X1 ,X2, X3 son las cantidades diarias de unidades armadas de trenes,camiones y
coches
Cuyos modelos primal y dual se resumen en el siguiente cuadro:
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Modelo primal
Max Z = 3X1 +2X2+ 5X3
Sujeto X1 +2X2+ X3 ≤ 430
3X1 +2X3 ≤ 460
X1 +4X2 ≤ 420
X1 ,X2,X3 ≥ 0
Solución óptima
X1 = 0, X2=100, X3 = 230 ; Z = $ 1350
Modelo dual
Min W = 430 y1 +460y2 + 420y3
Sujeto: y1 +3y2 + y3 ≥ 3
2y1
+ 4y3 ≥ 2
y1 +2y2
≥5
y1 ,y2,y3 ≥ 0
Solución óptima
y1 = 1;y2 = 2, y3 = 0 ; W = $ 1350
interpretación de la solución óptima del modelo primal:
Como X1 = 0, X2=100, X3 = 230 ; Z = $ 1350, significa que la cía debe producir 100
camiones (X2=100,) y 230 coches(X3 = 230 ) y ningún tren(X1 = 0) porque no son
rentables. Representando una utilidad máxima de $ 1350 diarios.
Ahora suponiendo que por fuerza de la competencia la Cía debe también producir trenes
,¿como se lograría equilibrar la producción ¿
Se deja al estudiante su análisis para satisfacer la interrogante.
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