2º relación

RELACIÓN DE EJERCICIOS DE ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA.
Ejercicio 1: (Medidas de centralización y dispersión)
En un centro hospitalario de la provincia de Sevilla se ha tratado, con un nuevo
medicamento llamado SINDOLORCABEZON, durante 5 días a un grupo de pacientes,
todos ellos padecen de jaqueca crónica (se despiertan todos los días con dolor de
cabeza). Se realiza un estudio sobre el nº de días que un paciente sufre mejoría con el
anterior medicamento obteniendo la tabla:
Valores
xi
Frecuencias
ni
0
100
1
250
2
300
3
500
4
450
5
2000
Realizando el gráfico adecuado y hallando los promedios (Media aritmética, Media
armónica, Media geométrica, Moda, y Mediana), indicar cuál sería el que mejor
representaría los datos, (Contesta razonadamente y con el mayor detalle posible)
Calcula también el porcentaje de pacientes que sienten mejoría con el medicamento en
todos los días del tratamiento.
¿Por qué no calculamos el coeficiente de variación para ver la representatividad de la
media? ¿Habría que hallarlo?.
Calcula el D3.¿Qué significado tiene?
A aquellos pacientes que sienten mejoría todos los días del tratamiento se les realiza un
estudio sobre el tiempo de reacción del medicamento (en minutos), encontrándose
recogido los datos en la siguiente tabla:
Tiempo de reacción Nº de pacientes
0-10
300
10-20
500
20-30
400
30-40
500
40-60
300
Se pide:
Escribir las fórmulas de las diferentes medias e indicar cuál de las tres te parece más
adecuada para aplicar en este ejercicio (Razonadamente).
A todos los pacientes que tardan en reaccionar más de 35’ se le aplica el medicamento
complementario PAQUENODUELA para acelerar los efectos de
SINDOLORCABEZON. Hallar el número de pacientes a los que se le aplica este
segundo medicamento.
Estudiar la representatividad del tiempo medio de reacción. ¿Es representativo? ¿ Por
qué?
El Gobierno está pensando en introducir un medicamento con las características de
SINDOLORCABEZON. Existen en el mercado junto con este dos productos más
PALACABEZA y SINJAQUECAHOY. El tiempo medio de reacción de cada uno de
ellos es respectivamente 25 y 30 minutos, con una varianza de 200 y 300 minutos2.
Explica detalladamente que criterio de selección estadístico podría aplicar el Gobierno.
Según el criterio anterior que medicamento sería el que pasaría a engrosar la lista de
medicamentos de la Seguridad Social.
Ejercicio 2: (Medidas de centralización y dispersión)
La empresa automovilística COCHESALMENDRON ha realizado un control de
potencia sobre los 1000 motores diesel que se han fabricado a lo largo del mes de
noviembre del año 1997 obteniendo la siguiente tabla:
Potencia en CV Frecuencias
0-50
50
50-60
200
60-65
400
65-70
300
Más de 70
xi ni
50 4000(*)
Se pide:
Sin utilizar el dato en negrita que aparece en la tabla anterior, ¿podrías representar
gráficamente el histograma de frecuencias? ¿Por qué? (Razona detalladamente)
Calcula la potencia mediana de los motores. Sin el dato en negrita no podrías calcular ni
la media (¿Por qué?) ni la moda (¿Por qué?), sin embargo calcular ambos promedios
haciendo uso del dato en negrita. e indicando que se ha supuesto para estos cálculos.
En la especificación técnica del motor se indica que tiene una potencia mínima de 55
CV. Hallar el porcentaje de motores con una potencia mayor que está (Nota: Realizarlo
por dos métodos: Cuartiles y proporcionalidad).
Estudiar la representatividad de la media aritmética. ¿Sería representativa?
Los motores con menos de 55 CV se apartan de los demás y se estudia el número de
piezas defectuosa que han motivado la pérdida global de potencia, obteniéndose la
siguiente tabla:
Valores Frecuencias
xi
ni
1
40
2
30
3
20
4
10
¿La media armónica, la media geométrica y la media aritmética guardan alguna relación
de orden? Calcular estás medias y compruébalo.
Representa gráficamente la distribución de frecuencias de la tabla.
Calcula la moda y el recorrido intercuartílico.
¿Qué diferencia existe entre subpoblación y encuesta?
¿Según que criterio nos permite diferenciar las características de una población?
Ejercicio 3: (Medidas de centralización y dispersión)
Se ha realizado una estadística en el centro comercial CONTINENTOL sobre los gastos
(en miles de pesetas) que una familia tiene cuando realiza sus compras un día cualquiera
de la semana. Este estudio nos aporta la siguiente tabla:
Intervalos Frecuencias
0-5
1000
5-10
1100
10-20
1600
20-50
1000
50-100
300
Se pide:
¿Cuál es el motivo por el que los datos se presentan en intervalos?
¿ Te parece coherentes los datos de la tabla, o bien tendrías que estudiar su procedencia
antes de continuar el estudio?
Halla los ingresos que en ese día tuvo el centro comercial y el gasto medio, modal y
mediano de cada familia.
Si a todas las familias que gastan más de 40.000 pesetas, se les obsequia con una bolsa
de deporte o una cafetera, ambas valoradas en 2.500 pesetas. Hallar el número de
regalos que realiza el centro comercial, así como el porcentaje de clientes que se
benefician de ellos. (Nota: utilizar percentiles )
Hallar el primer cuartil. ¿Qué significado tiene?
Estudiar la representatividad del gasto medio. ¿Es representativa? ¿ Por qué?
De las diez personas encargadas de realizar la encuesta se sabe, de años anteriores, que
tres de ellos se equivocan al elaborar la encuesta un 10% de las veces; cuatro rellenan
ellos mismos el cuestionario y se equivocan el 75% de las veces y el resto son muy
detallistas y cumplen perfectamente su trabajo. Se pide: ¿Cuál es la variable? ¿Cuál es
la frecuencia? ¿Por qué los datos no se dividen en intervalos? Hallar la media de la
variable.
Ejercicios 4: (Medidas de centralización y dispersión)
Se realiza una estadística en dos centros de enseñanza, uno público y otro privado,
referente a la nota global del bachillerato de cada uno de los alumnos que van a acudir a
los exámenes de selectividad. Las distribuciones de frecuencias son las siguientes:
Centro privado
Nota global de
cada alumno.
Frecuencias
5,5
10
6.5
15
7.5
20
8.5
30
9.5
15
Centro público
Nota global de
cada alumno.
Frecuencias
[5 , 6
250
(6 , 7
150
(7 , 9
100
(9, 10
20
Se pide:
a) A la vista de la tabla, te sugiere algún comentario de especial importancia. ¿Cuál es el
motivo de que los datos se presente en dos tablas de diferente tipo ?
b) Estudiar las diferentes medidas de tendencia central (promedios) en las dos
distribuciones. En cada distribución ¿cuál te parece más representativo? ¿por qué?
c) Hallar el porcentaje de alumnos que en cada centro tiene una nota global superior al
7.
d) Hallar los cuartiles primero y tercero de las dos distribuciones.
e) Estudiar la representatividad de las medias obtenidas en las distribuciones por
separado. ¿En cuál de las dos es más representativa?
f) Dos alumnos pertenecientes el primero al centro privado y el segundo, al centro
público, solicitan una beca para continuar sus estudios en la universidad mejicana de
Acapulco. el primero tiene una nota global de un 8.5 y el otro de un 7. Si sólo se
concede una beca ¿quién sería el candidato a obtenerla aplicando el criterio estadístico
de la variable tipificada?
Ejercicios 5: (Medidas de centralización y dispersión)
A la finalización del curso "Informática e Internet" se realizó un examen tipo test a los
300 alumnos obteniéndose la siguiente tabla relativa al número de preguntas acertadas:
Nº preguntas acertadas Nº de alumnos
0-10
10
10-15
20
15-20
60
20-23
100
23-25
70
25-30
30
30-40
10
Se pide:
Representa gráficamente la distribución de frecuencias anterior
Hallar la media
¿Cuál será el número de preguntas tal que la mitad de los alumnos obtengan un número
de preguntas acertadas mayor que está?
¿Cuál es el número de preguntas que más se repite? Contesta con todo detalle.
Para la realización de la segunda parte del curso se convocan sesenta plazas. Hallar el
número de preguntas mínima que ha debido acertar un alumno para poder realizar la
continuación del curso.
Una vez finalizado este segundo curso, se realiza un examen a los alumnos
obteniéndose las siguientes notas:
Notas Nº Alumnos
4
8
5
12
5.5
15
6
14
6.5
6
8
5
Se pide:
¿Por qué no se agrupan los datos en intervalos, como anteriormente?
Halla la mediana, la moda, la media armónica y el recorrido intercuartílico.
Hallar y estudiar la media y su representatividad.
¿Qué resulta más meritorio, obtener 28 preguntas acertadas en el primer examen u
obtener un 6.5 en el segundo?
Si se concede un 15% de diplomas entre los alumnos de la segunda parte del curso. ¿A
partir de qué nota se concederán?
Ejercicio 6: (Regresión y correlación)
Dada la difícil situación por la que atraviesa actualmente la empresa QUEMALAPATA
en la que hemos empezado a trabajar, se propone la reducción de determinados gastos.
Para ello se estudia la relación que existe entre dos variables como son: los gastos en
publicidad (variable X) y los beneficios (variable Y). De ambas variables disponemos
de los siguientes datos:
Año
1993
1994
1995
1996
1997
70
75
80
90
104
33
45
50
65
67
Gastos en Publicidad
(105 ptas)
Beneficios
(106
ptas)
Se pide:
¿Se puede considerar que ambas variables guardan algún tipo de relación? ¿Cuál sería la
variable dependiente y cuál la independiente?
Realizando un gráfico adecuado. ¿Se puede suponer que la relación que las liga es de
tipo lineal?
Construye las dos rectas de regresión mínimo cuadrática asociada con las variables.
Si la empresa para el próximo año realizará un esfuerzo para poder invertir 11.500.000
ptas en publicidad. ¿Cuáles resultarían ser sus beneficios? ¿Con qué fiabilidad realizaría
usted la predicción?
¿Cuáles resultarían ser sus beneficios si la predicción se efectúa considerando tan solo
como variable explicativa el tiempo? ¿Cuál sería la fiabilidad de esta otra predicción?
Comente los resultados.
Ejercicio 7: (Regresión y correlación)
Un estudiante de Estadística de la provincia de Sevilla, para poder pagarse sus estudios
debe trabajar como camarero en un bar de copas de su localidad
CASTILLEJADELCUESTON, al cual suelen acudir todos los jóvenes de la zona. Este
año con los conocimientos aprendidos decide por fin estudiar la relación existente entre
las galletas saladas y el consumo de bebidas, ya que, es costumbre, dar al cliente este
aperitivo cuando se pide una consumición.
Las galletas no pueden tener una concentración de sal superior a 35 gramos por cada
10.000 galletas, y por ello decide ir variando a partir de 10 gramos la concentración de 5
en 5 gramos cada semana e ir anotando el incremento en caja semanalmente.
Obteniendo la siguiente tabla:
Gramos de sal por cada 1000
galletas
1
1.5
2
2.5
3
Ingresos en caja ( en pesetas)
140300
150000
165000
175000
200000
Se pide:
Establecer un modelo lineal que relaciona las dos variables, estudiando la fiabilidad de
dicho modelo
Como consecuencia de los resultados anteriores el propietario del bar decide añadir a las
galletas 40’25 gramos de sal, que coincide con toda la sal que tiene , en los almacenes .
Realiza una predicción de los ingresos en caja y comente el resultado.
Si el propietario desea unos ingresos de 160.000 pesetas que cantidad de sal aportaría a
las galletas. Si aporta 2,75, ¿cuál sería el ingreso en caja?. Explicar cual de las dos
perdiciones te merece mayor confianza.
Ejercicio 8: (Regresiónsimple-múltiple y correlación)
Un holding formado por cinco empresas públicas, decide en vista de una próxima
privatización realizar un análisis conjunto de sus actividades.
La valoración del conjunto de todas las empresas es de 20 (en miles de millones de
pesetas), donde las empresas A y B representan cada una de ellas el 30% de la
valoración total. La empresa C supone un 10% de dicha valoración repartiéndose a
partes iguales el resto las otras dos empresas.
Se pide:
Hallar el valor medio de las empresas del holding y estudiar si este es representativo.
Si el beneficio neto que obtuvieron las empresas en el periodo anterior fue el siguiente:
Empresa
Beneficios
(en millones de
pesetas)
A
22’4
B
23’3
C
10’7
D
15’5
E
13’0
Se pide:
¿Es equitativo el reparto de los beneficios entre las empresas?.
Construye un modelo lineal que explique los beneficios en función del valor de la
empresa. ¿Es aceptable el modelo construido?
Aparece una nueva variable: número de empleados (en cientos de trabajadores).
Sabemos que la recta de regresión del nº del empleados respecto a la valoración es:
nº empleados=0.53+1.07 Valoración,
con un coeficiente de determinación igual a 0’97. También sabemos que el coeficiente
de correlación de la recta de regresión del beneficio respecto al número de empleado es
igual a 0’95.
Se pide:
Hallar la matriz de varianza-covarianza de las tres variables y el porcentaje de varianza
explicada por el plano de regresión que explica el comportamiento del beneficio en
función del número de empleados y la valoración de la empresa.
Ejercicio 9: (Regresión simple-múltiple y correlación)
Un hipermercado ha decidido ampliar el negocio. Decide estudiar de forma exhaustiva
el número de cjas registradoras que va a instalar, para evitar grandes colas. Para ello, se
obtuvieron los siguientes datos procedentes de otros establecimientos similares acerca
del número de cajas registradoras (variable X2) y del tiempo medio de espera (variable
X1).
Nº de cajas registradoras
10
12
14
12
18
20
Tiempo medio de espera
59
51
42
32
26
22
Bajo el supuesto de que el tiempo de espera medio depende linealmente del número de
cajas registradoras se pretende saber:
¿Cómo varía el tiempo medio de espera por cada unidad de caja adicioanl?
Si se instalaran 17 cajas registradoras, ¿Cuál sería el tiempo medio de espera? ¿Es fiable
dicho dato?
Posteriormente, se penso que podía ser conveniente para explicar el tiempo de espera
tener en cuenta además el número de clientes que acuden diariamente a estos
establecimientos (variable X3), por lo que se estudio el tema, obteniéndose un
coeficiente de correlación lineal entre ambas variables de 0’9343, siendo el número
medio de clientes para los establecimientos anteriores de 850 personas, con un
coeficiente de variación del 10’74%. Además, la covarianza entre el número de cajas y
el número de clientes que acuden diariamente a estos establecimientos resulto ser de 300. Calcule los parámetros del modelo lineal que explica el tiempo medio de espera en
función del número de cajas y del número de clientes que acuden diariamente.
Ejercicio 10: (Regresión simple y correlación)
La empresa GURSO, S.A. ha recibido sugerencias para que invierta sus excesos de
tesorería en acciones de un poderoso grupo financiero nacional, dado que su cotización
diaria en la Bolsa de Valores nacionales proporciona una gran liquidez a estas
inversiones, y la evolución reciente de sus cotizaciones permiten pronosticar
interesantes rentabilidades. El Departamento de Análisis Financiero de GURSO, S.A.
recibe el encargo de realizar un estudio sobre la rentabilidad a corto plazo de estas
acciones.
El Sr. González, Director del Departamento de Análisis Financiero, ha estudiado la
rentabilidad de estas acciones utilizando la información sobre las variaciones de las
cotizaciones bursátiles, en un ejercicio simulado de cinco operaciones de compraventa
de un mismo número de títulos de este grupo en cortos periodos recientes, siempre con
referencia a la Bolsa de Valores de Madrid.
Ha observado que los precios en el primer y último periodo eran iguales y un 10%
superiores a los precios de los periodos segundo y cuarto, que a su vez eran un 10%
inferiores al precio del tercer periodo que es de 1000 pesetas. ¿Se podría suponer que el
precio medio resultante de estas operaciones simuladas suficientemente representativo
de este conjunto de cinco precios?
Vistas las rentabilidades obtenidas el Sr. González se ha propuesto explicar el beneficio
de cada operación simulada mediante una relación lineal del precio de adquisición de
las acciones, ya que ha encontrado que para un precio de adquisición de 950 pesetas por
acción, se obtiene un beneficio de 400 pesetas en cada título negociado, y que cuando el
precio de las acciones se incrementan en 2 pesetas, el beneficio de la operación de
compraventa se reduce en 10 pesetas. Los cálculos internos del Departamento de
Análisis financiero de GURSO, S.A. muestran que la varianza de los beneficios
simulados es 26 veces la varianza de los precios de adquisición. ¿Cuál es la expresión
numérica de la función que están manejando en el Departamento de Análisis Financiero
de GURSO, S.A.? ¿Cuál es el beneficio medio de las cinco operaciones de compraventa
simuladas en dicho Departamento? ¿Puede indicarnos, razonadamente, si dicha función
lineal proporciona un grado de explicación aceptable para el beneficio por el precio de
adquisición?
La Dirección de GURSO, S.A. sólo está dispuesta a realizar estas inversiones si el
beneficio por acción es de, al menos, 400 pesetas. ¿Qué precio máximo es el que
determinará el Sr. González para poder recomendar la inversión?
Ejercicio 11: (Regresión simple-múltiple y correlación)
La dirección de la empresa THALESSA ha llevado a cabo un análisis del coste salarial
mensual S (datos en 104 pesetas) de sus 115 empleados en relación con un determinado
indicador de productividad P, habiendo resultado la siguiente tabla de frecuencias
conjunta:
Intervalos de
clase
Intervalos de clase de P
de S
6-8
8-10
10-12
12-14
10-12
28
2
0
0
12-15
3
31
1
0
15-18
2
19
2
0
18-22
0
6
6
0
22-28
0
0
8
1
28-38
0
0
0
6
De estos datos se desea obtener respuesta a las siguientes preguntas:
¿Qué porcentaje de sus empleados tiene un coste salarial por encima del coste salarial
medio?
Para el próximo ejercicio económico la dirección tiene pensado plantear al Comité
Laboral un incremento lineal de 5.000 pesetas mensuales para los salarios más bajos
que suponen el 30% del coste total salarial actual. Para el grupo de los restantes
empleados desea proponer un incremento salarial proporcional a sus salarios actuales.
¿En qué porcentaje deberían aumentarse los costes salariales de este segundo grupo de
modo que ambos criterios den lugar al mismo resultado para el salario que separa
ambos grupos? ¿En qué porcentaje se incrementaría el coste total salarial?
¿En qué medida puede pensarse que el coste salarial explica mediante una relación
lineal el indicador de productividad?
Supuesto que se ha calculado esta relación lineal, ¿para qué coste salarial se verifica que
un incremento del 1% se traduce en un incremento del 0.5% del indicador de
productividad?
La dirección dispone además de los datos sobre absentismo laboral de sus empleados,
medido por el número de ausencias en los últimos doce meses, y desea introducir esta
variable A en su análisis. Los cálculos conducen a las siguientes covarianzas: Cov(S, A)
=-15, Cov(P, A) = -5. Trabajando con un ajuste lineal que explique el indicador de
productividad de sus empleados mediante el coste salarial y la medida de si absentismo
laboral, observa que manteniendo constante el coste salarial un incremento de una
ausencia laboral se traduce en que el indicador de la productividad decrece en 0’41
unidades. Si el número medio de ausencias en un año es de 5’63 ausencias por
empleado, ¿cuál es la dispersión relativa de la variable que expresa el absentismo
laboral?