Práctica 3 - Ingeniería de Sistemas y Automática

Práctica 3: Respuesta temporal de sistemas lineales
o
Fundamentos de Control Automático, 2 GIE
En esta práctica se va a analizar un modelo mecánico formado por una masa, un muelle y
un amortiguador. En particular se estudiará la influencia de los parámetros en la respuesta
temporal. Por otra parte se tratará de mostrar la validez de las aproximaciones de funciones de
transferencia al considerar los polos dominantes.
La ecuación diferencial que modela el comportamiento dinámico del sistema mecánico considerado es la siguiente:
M Ẍ(t) = F (t) − KX(t) − C Ẋ(t)
La salida es la posición de la masa X(t) y la entrada es la fuerza F(t).
K
C
MASA M
X(t)
F(t)
Figura 1: Modelo mecánico de 2o orden
1
1.
Respuesta temporal sistemas de segundo orden
Trabajo previo
Calcule la función de transferencia G1 (s) del sistema en torno al punto de operación
F (t) = 0, X(t) = 0.
Relacione los parámetros del sistema con la ganancia estática Kest , amortiguamiento δ y
frecuencia natural ωn de un sistema de 2o orden.
Indique la relación entre M, K y C para que el sistema tenga un comportamiento:
• a) Subamortiguado.
• b) Crı́ticamente amortiguado.
• c) Sobreamortiguado.
• d) Oscilatorio.
Para un sistema con comportamiento subamortiguado exprese ts , tp , te (5 %) y S.O.( %) en
función de los parámetros M, K, y C.
Una vez realizados todos los puntos anteriores, particularice para los parámetros:
M = 1 kg
K = 0,5 N/m√
C = D7D8+10
· 2 N s/m
150
siendo D7D8 las dos últimas
√ cifras del DNI, por ejemplo para un DNI 48.324.263, D7D8=63
73
y, por tanto, C = 150 · 2 N s/m.
Calcule la función de transferencia G1 (s) del sistema para los parámetros anteriores. Almacene el numerador en [p1] y el denominador en [p2] utilizando el mismo formato usado
para definir el bloque función de transferencia.
Calcule con la función roots de Matlab los polos de la función de transferencia [p3] (utilice
la ayuda help roots).
Trabajo en el centro de cálculo
Diseñe un diagrama en Simulink para simular el sistema frente a una entrada escalón.
Mida el valor de la posición de la masa 2 segundos después de aplicar un escalón de 0 a
2N [p4].
Calcule experimentalmente ts [p5], tp [p6], te (5 %) [p7] y S.O.( %) [p8].
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2.
Dominancia de polos
Para poner de manifiesto la dominancia de polos se tomará√el sistema anterior aplicando un
amortiguador con un coeficiente C alto (muy por encima de 2 para este caso), lo que implica
un coeficiente de amortiguamiento mucho mayor de 1, (sistema sobreamortiguado con dos polos
reales alejados entre sı́). El objetivo es observar la discrepancia entre las respuestas de dos
funciones de transferencia, una la original considerando los dos polos, y otra, la simplificada
considerando sólo el polo dominante.
Trabajo previo
Particularice función de transferencia para los parámetros:
M = 1 kg
K = 0,5 N/m
C = D7D8
100 + 6 N s/m
siendo D7D8 las dos últimas cifras del DNI, por ejemplo para un DNI 48.324.263, D7D8=63
63
y, por tanto, C = 100
+ 6 = 6,63 N s/m.
Calcule la función de transferencia G2 (s) del sistema para los parámetros anteriores. Almacene el numerador en [p9] y el denominador en [p10] utilizando el mismo formato usado
para definir el bloque función de transferencia.
Calcule los polos [p11] e indique cual de ellos es dominante [p12].
Calcule la función de transferencia simplificada Gs (s) considerando el polo dominante.
Almacene el numerador en [p13] y el denominador en [p14] utilizando el mismo formato
usado para definir el bloque función de transferencia.
Trabajo en el centro de cálculo
Diseñe un diagrama Simulink para simular el sistema completo por un lado y el sistema
simplificado por otro. Aplique a estos dos sistemas la misma señal de entrada escalón de
0 a 1N y muestre en un mismo visor la entrada y las salidas.
Mida el valor de la posición de la masa 2 segundos después de aplicar el escalón de 0 a 2N
según G2 (s) [p15] y Gs (s) [p16].
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3.
Instrucciones para entregar las respuestas en Goodle
La entrega de la práctica a través del servidor consiste en rellenar el formulario de texto siguiendo
las siguientes instrucciones:
Cada respuesta correspondiente a una cuestión de trabajo en el centro de cálculo tiene
asignado un nombre. En el enunciado de la práctica se indica con una etiqueta entre
corchetes cada respuesta que hay que entregar.
Para cada respuesta simple (un único número) hay que escribir una lı́nea con el siguiente
formato:
nombre = valor;
Los decimales se separan utilizando el punto no la coma. Por ejemplo para responder que
el tiempo de subida experimental es 7.3, hay que escribir la siguiente lı́nea:
p5 = 7.3;
Para las respuestas p1, p2, p9, p10, p13 y p14 hay que utilizar el formato usado para
definir un bloque función de transferencia. Por ejemplo para indicar que
G1 (s) =
2,4s + 1
3s2 + 0,45
hay que escribir las siguiente lı́neas:
p1 = [2.4 1];
p2 = [3 0 0.45];
Nota: En el caso de que alguno de los polinomios sea una constante, no utilizar los
corchetes. Por ejemplo para indicar que
G1 (s) =
3s2
7
+ 0,45
hay que escribir las siguiente lı́neas:
p1 = 7;
p2 = [3 0 0.45];
Para las respuestas p3 y p11 hay que utilizar el formato de un vector separando cada
elemento del vector por espacios en blanco. Por ejemplo para indicar que los polos del
sistema G1 (s) son (−1 + 3j) y (−1 − 3j) hay que escribir la siguiente lı́nea:
p3 = [(-1+3j) (-1-3j)];
Plantilla de respuesta:
p1 = 0; p2 = [0 0 0]; p3 = [0 0]; p4 = 0; p5 = 0; p6 = 0; p7 = 0; p8 = 0; p9 = 0;
p10 = [0 0 0];p11 = [0 0]; p12 = 0; p13 = 0; p14 = [0 0]; p15 = 0; p16 = 0;
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