TEMA 4 MULTIPLOS Y DIVISORES

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MULTIPLOS Y DIVISORES
En este tema, vamos a dividir los números naturales en grupos:
 Números primos
 Número compuestos
Un número primo es el que tiene únicamente 2 divisores, el 1 y él
mismo.
Ejemplo: El 2 es número primo porque solo se puede dividir entre 1 y
el mismo. El 13 es número primo porque sólo se puede dividir entre 1 y el
mismo.
Un número compuesto es el que tiene al menos un divisor distinto del 1
y él mismo.
Ejemplo: El 10 es compuesto porque tiene más de 2 divisores (el 1, el
2, el 5 y el 10). El 12 es compuesto porque tiene más divisores distintos del 1
y él mismo (el 2, 2l 4, el 3).
Todos los números naturales se pueden descomponer en un producto
de factores primos (es decir una multiplicación donde todos los factores son
números primos).
Ejemplo: 12 = 2 x 2 x 3 20 = 2 x 2 x 5
102 = 2 x 3 x 17
100 = 2 x 2 x 2 x 5
DIVISIBILIDAD
Un número es divisible entre otro, cuando al hacer la división, da
exacta.
Ejemplo: 8 no es divisible entre 3.
8:3 = 2 Resto 2.
Pero 8 si es divisible entre 2. 8:2= 4 Resto 0
MULTIPLOS DE UN NÚMERO
Llamamos múltiplos de un número a todos aquellos que son divisibles
entre dicho número. Los múltiplos de un número son infinitos, es decir, no
acaban nunca.
Ejemplo: Múltiplos de 3 = 0, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, …
Múltiplos de 6 = 0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, …
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El 0 es múltiplo de todos los números. Los múltiplos de un número
son iguales o mayores. Nunca un múltiplo de un número puede ser menor que
dicho número (exceptuando el 0).
DIVISORES DE UN NÚMERO
Los divisores de un número son todos aquellos que lo dividen de forma
exacta. Los divisores son finitos, es decir, se pueden contar. El 1 es el
divisor de todos los números. Nunca un divisor de un número puede ser
mayor que dicho número.
Ejemplo: Divisores de 12 = 1, 2, 3, 4, 6, y 12
Divisores de 21 = 1, 3, 7 y 21
Divisores de 49 = 1, 7 y 49
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (m.c.m.)
El mínimo común múltiplo de dos o varios números es un número que
cumple esas condiciones, es decir, que es común a todos, que es múltiplo a
todos y además el más pequeño.
Ejemplo:
Múltiplos de 2 = 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30.
Múltiplos de 3 = 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30.
Múltiplos de 5 = 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30.
m.c.m. (2, 3 y 5) = 30.
MÁXIMO COMÚN DIVISOR (m.c.d.)
El máximo común divisor de dos o más números es un número que los
divide a todos y además es el mayor. Nunca puede ser mayor el m.c.d. que
alguno de los números de los que lo estamos calculando.
Ejemplo:
Divisores de 32 = 1, 2, 4, 8, 16, 32.
Divisores de 6 = 1, 2, 3, 6.
m.c.d. (6 y 32) = 2
Divisores de 50 = 1, 2, 5, 10, 25 y 50
Divisores de 80 = 1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 40, 80.
m.c.d. (50 y 80) = 10
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REGLAS DE DIVISIBILIDAD
Regla de divisibilidad del 2:
Un número es divisible entre 2 si acaba en 0 o en cifra par.
Ejemplo:
el 10 es divisible entre 2 porque acaba en 0
el 28 es divisible entre 2 porque acaba en cifra par
Regla de divisibilidad del 3:
Un número es divisible entre 3 cuando la suma de todas sus cifras da
3 o múltiplo de 3.
Ejemplo:
21 es divisible entre 3 porque 2 +1 =3 (que es múltiplo de 3)
48 es divisible entre 3 porque 4 + 8 = 12 (que es múltiplo de 3)
Regla de divisibilidad del 4:
Un número es divisible entre 4 cuando lo son sus dos últimas cifras o
son dos ceros.
Ejemplo:
32.424 es divisible entre 4 porque sus dos últimas cifras son el
número 24 que es múltiplo de 4
480.272 es divisible entre 4 porque sus dos últimas cifras son
el número 72 que es múltiplo de 4
Regla de divisibilidad del 5:
Un número es divisible entre 5 cuando acaba en 0 o en 5.
Ejemplo:
el 10 es divisible entre 5 porque acaba en 0
el 65 es divisible entre 5 porque acaba en 5
Regla de divisibilidad del 6:
Un número es divisible entre 6 cuando lo es a la vez de 2 y de 3
Ejemplo: El 12 es divisible entre 6 porque lo es de 2 (acaba en cifra par) y
lo es de 3 (la suma de sus cifras 1 + 2 = 3 que es múltiplo de 3)
El 72 es divisible entre 6 porque lo es de 2 (acaba en cifra par) y
lo es de 3 (la suma de sus cifras 7 + 2 = 9 que es múltiplo de 3)
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Regla de divisibilidad del 8:
Un número es divisible entre 8 cuando lo son sus tres últimas cifras o
son tres ceros.
Ejemplo:
32.848 es divisible entre 8 porque sus tres últimas cifras son
el número 848 que es múltiplo de 8
480.000 es divisible entre 8 porque sus tres últimas cifras son
tres ceros.
Regla de divisibilidad del 9:
Un número es divisible entre 9 cuando la suma de todas sus cifras da
9 o múltiplo de 9.
Ejemplo:
72 es divisible entre 9 porque 7+2 =9 (que es múltiplo de 9)
801 es divisible entre 9 porque 8+0+1 = 9 (que es múltiplo de 9)
Regla de divisibilidad del 10:
Un número es divisible entre 10 cuando acaba en 0.
Ejemplo:
el 100 es divisible entre 10 porque acaba en 0
el 20.000 es divisible entre 10 porque acaba en 10
Regla de divisibilidad del 11:
Un número es divisible entre 11 cuando al hacer la diferencia entre la
suma de las cifras de lugar par y la suma de las cifras de lugar impar da 0,
11 o múltiplo de 11.
5 8 4 3 2
1
2
3
4
5
Número que vamos averiguar si es múltiplo de 11
Hemos numerado las cifras (da igual de un lado al otro)
Sumamos las cifras que ocupan el lugar impar, es decir, las de posición 1, 3 y
5 que equivalen a las cifras 5 + 4 + 2 = 11
Sumamos las cifras que ocupan el lugar par, es decir, las de posición 2 y 4
que equivalen a las cifras 8 + 3 = 11
Hallamos la diferencia de las dos sumas 11 – 11 = 0 como nos da cero, esto
quiere decir que el número 58.432 es divisible entre 11.
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