Probabilidad - Introducción

1
Probabilidad - Introducción
Introducción.
Tema 1. Análisis de datos univariantes.
Tema 2. Análisis de datos bivariantes.
Tema 3. Correlación y regresión.
Tema 4. Series temporales y números índice.
Descripción de variables y datos
socioeconómicos
Tema 5. Probabilidad.
Tema 6. Variables aleatorias unidimensionales.
Tema 7. Modelos probabilísticos discretos.
Tema 8. Modelos probabilísticos continuos.
Tema 9. Variables aleatorias multidimensionales.
Modelización de la incertidumbre
en las variables socieconómicas
Los objetivos del aprendizaje de esta unidad temática son los siguientes:
Entender los conceptos básicos de suceso, espacio muestral, independencia, etcétera.
Calcular probabilidades utilizando las reglas elementales y resultados teóricos simples de la
probabilidad.
Conocer los siguientes modelos probabilı́sticos discretos: Bernoulli, binomial, geométrico y
Poisson.
Conocer los siguientes modelos probabilı́sticos continuos: Exponencial, uniforme, y normal.
Introducción a la Estadı́stica
Andrés M. Alonso
2
Tema 5. Probabilidad
Los contenidos a desarrollar en este tema son los siguientes:
Experimentos aleatorios.
El espacio muestral, sucesos elementales y compuestos.
Interpretaciones de la probabilidad: clásica, frecuentista y subjetiva.
Propiedades de la probabilidad.
La regla de multiplicación.
Independencia.
La ley de la probabilidad total.
El teorema de Bayes.
Lecturas recomendadas: Capı́tulos 13 y 14 del libro de Peña y Romo (1997) y
el Capı́tulo 3 de Newbold (2001).
Introducción a la Estadı́stica
Andrés M. Alonso
3
Probabilidad - Introducción
I Habitualmente usamos frases como:
Es probable que el equipo de Getafe juegue la UEFA el año próximo.
Se espera que la inflación no alcance el 3 %.
El recién constituido partido “Vientos del Pueblo” espera obtener tres
escaños en las próximas elecciones municipales.
I Todas estas frases, contienen un sentido de incertidumbre sobre sucesos
cuyos resultados finales no pueden predecirse exactamente.
I De estos sucesos conocemos todos los resultados posibles y algunos resultados nos parece que son más probables que otros.
I En este tema estudiaremos como formalizar la idea de suceso aleatorio y de
probabilidad.
Introducción a la Estadı́stica
Andrés M. Alonso
4
Probabilidad - Conceptos básicos
En primer lugar, definimos el concepto de un experimento aleatorio y sus
posibles resultados.
Definición 1. Un experimento aleatorio es el proceso de observar un
fenómeno cuyos posibles resultados son inciertos. Se supone que se saben
todos los posibles resultados del experimento de antemano y que se puede
repetir el experimento en condiciones idénticas.
Ejemplo 1. Lanzar una moneda y observar si sale cara o cruz.
Ejemplo 2. Los resultados de los partidos de
football de la próxima jornada.
Ejemplo 3. Los resultados de las próximas
elecciones municipales.
Ejemplo 4. Los valores, al final del año, de
la inflación, la tasa de paro, etcétera.
Introducción a la Estadı́stica
No son experimentos puesto
que no se pueden repetir en
condiciones idénticas.
Pero es una simplificación
que se utiliza frecuentemente.
Andrés M. Alonso
5
Probabilidad - Conceptos básicos
Definición 2. El espacio muestral, que denotamos por Ω, es el conjunto de
todos los posibles resultados del experimento.
Ejemplo 5. Si el experimento es lanzar la moneda una vez, el espacio muestral
es Ω = {C, X} donde C denota cara y X denota cruz.
Si el experimento es lanzar la moneda dos veces, el espacio muestral es
Ω = {(C, C), (C, X), (X, C), (X, X)} donde, por ejemplo, (C, X) es el suceso
de que la primera tirada sea cara y la segunda cruz.
Definición 3. Los posibles resultados del experimento o componentes del
espacio muestral, que denotaremos por ei, se llaman sucesos elementales y
Ω = {e1, . . . , ek }.
Ejemplo 6. En el caso de lanzar la moneda dos veces, los sucesos elementales
son e1 = (C, C), e2 = (C, X), e3 = (X, C) y e4 = (X, X).
Introducción a la Estadı́stica
Andrés M. Alonso
6
Probabilidad - Conceptos básicos
Definición 4. Un suceso es un conjunto de sucesos elementales.
Ejemplo 7. En el caso de lanzar la moneda dos veces, el suceso A =“sale
exactamente una cara” es A = {(C, X), (X, C)}.
El suceso B = “la primera tirada es cara” es B = {(C, C), (C, X)}.
Dos sucesos importantes son:
El suceso seguro = Ω, es decir, todo el espacio muestral.
El suceso imposible = ∅, es decir, el conjunto vacı́o.
Definición 5. Para cada suceso A, se define el suceso complementario o
contrario a A como Ā = Ω \ A = {ei : ei ∈
/ A}.
I Ω = A ∪ Ā y A ∩ Ā = ∅.
Introducción a la Estadı́stica
Andrés M. Alonso
7
Probabilidad - Conceptos básicos
Ejemplo 7. En el caso de lanzar la moneda dos veces:
A = {(C, X), (X, C)}
B
= {(C, C), (C, X)}
Ā = {(C, C), (X, X)}
B̄
= {(X, C), (X, X)}
A y B ” como
Definición 6. Para dos sucesos, A y B, se define el suceso “A
el conjunto de sucesos elementales contenidos en A y en B, es decir, A y
B = A ∩ B.
I Si ocurre el suceso A y B , sabemos que se han ocurrido ambos sucesos.
I Dos sucesos A y B que no pueden ocurrir a la vez (A ∩ B = ∅) se llaman
sucesos incompatibles.
I Dos sucesos incompatibles no comparten sucesos elementales.
Introducción a la Estadı́stica
Andrés M. Alonso
8
Probabilidad - Conceptos básicos
A o B ” como
Definición 7. Para dos sucesos, A y B, se define el suceso “A
el conjunto de sucesos elementales contenidos en A o en B, es decir, A o
B = A ∪ B.
I Si ocurre el suceso A o B , sabemos que ha ocurrido al menos uno de dos
sucesos.
Ejemplo 7. En el caso de lanzar la moneda dos veces:
AyB
= {(C, X)}
AoB
= {(C, C), (C, X), (X, C)}
¿A y B son sucesos incompatibles?
Con este experimento, defina un suceso (no trivial) que sea incompatible con
el suceso A y B.
Múltiples soluciones
Introducción a la Estadı́stica
Andrés M. Alonso
Diagramas de Venn
9
Una manera visual
de ver
los distı́ntos sucesos
Diagramas
de Venn
es a través del diagrama de Venn.
Ω
R
A
B
Podemos representar a “A y B”, “A o B” y al suceso complementario.
Introducción a la Estadı́stica
Andrés M. Alonso
Ā
10
Diagramas de Venn
Ω
Ω
R
R
A
AyB
Ā
¿Cómo podemos representar dos sucesos incompatibles?
Ω
R
2
Introducción a la Estadı́stica
Andrés M. Alonso
11
Tema 5. Probabilidad
Experimentos aleatorios. X
El espacio muestral, sucesos elementales y compuestos. X
Interpretaciones de la probabilidad: clásica, frecuentista y subjetiva.
Propiedades de la probabilidad.
La regla de multiplicación.
Independencia.
La ley de la probabilidad total.
El teorema de Bayes.
Introducción a la Estadı́stica
Andrés M. Alonso
12
Interpretaciones de la probabilidad
Interpretación clásica de la probabilidad: En algunas situaciones, la definición
del experimento asegura que todos los sucesos elementales tienen la misma
probabilidad de ocurrir. En este caso, se dice que el espacio muestral es
equiprobable.
Si el espacio muestral es equiprobable y contiene k sucesos elementales,
Ω = {e1, . . . , ek }
luego se tiene
Pr(ei) =
1
k
para i = 1, 2, . . . , k.
Para cualquier suceso A entonces, la probabilidad de A es
Pr(A) =
Introducción a la Estadı́stica
1
× número de sucesos elementales en A.
k
Andrés M. Alonso
13
Ejemplo 7. Supongamos que se lanza una moneda equilibrada dos veces.
Luego hay cuatro sucesos elementales,
(C, C), (C, X), (X, C), (X, X)
1
y cada uno tiene probabilidad igual a 4 .
La probabilidad de observar exactamente una cara (suceso A) es
Pr(A) = Pr({(C, X), (X, C)})
1 1
= 2× =
4 2
La probabilidad de que la primera tirada sea cara (suceso B) es
Pr(B) =
Introducción a la Estadı́stica
2 1
= .
4 2
Andrés M. Alonso
14
Interpretaciones de la probabilidad
Interpretación frecuentista de la probabilidad:
Ejemplo 8. Definimos el experimento de tirar una moneda una vez. Repetimos el experimento un número n de veces y calculamos las frecuencias relativos
de cada suceso elemental.
Excel
f
6
1
n=1
,5
0
C
X
n = 100
,5
Introducción a la Estadı́stica
n = 10
,5
f
6
1
0
f
6
1
0
C
f
6
1
X
n = 1000
,5
C
X
0
C
X
Andrés M. Alonso
15
Interpretaciones de la probabilidad
Interpretación frecuentista de la probabilidad:
I En el ejemplo, se ve que las frecuencias relativas se acercan a un lı́mite
cuando se repite el experimento muchas de veces. El valor lı́mite de la frecuencia
es la probabilidad del suceso.
I Para un suceso A se escribe Pr(A) para representar su probabilidad.
I Utilizando las propiedades de frecuencias se puede deducir las siguientes
propiedades básicas de las probabilidades:
Para cualquier suceso A, 0 ≤ Pr(A) ≤ 1.
Pr(A) =
P
i:ei ∈A Pr(ei )
Pr(Ω) = 1
Si A y B son sucesos incompatibles (es decir que A y B = φ) entonces
Pr(A o B) = Pr(A) + Pr(B).
Introducción a la Estadı́stica
Andrés M. Alonso
16
I De estas tres propiedades, se deduce que si Ā es el suceso complementario
a A,
Pr(Ā) = 1 − Pr(A)
I Como consecuencia y dado que ∅ = Ω̄, tenemos que Pr(∅) = 0, es decir
que el suceso imposible es improbable.
Ejemplo 9. Supongamos que un experimento tiene 4 sucesos elementales,
e1, e2, e3, e4 y que
Pr(e1) = 0,2
1.
2.
3.
4.
Pr(e2) = 0,3
Pr(e3) = 0,4
¿Cuál es Pr(e4)?
Si A = e1 o e2, hallar Pr(A) y Pr(Ā).
Si B = e3, hallar Pr(B̄)
Calcular Pr(A o B).
Introducción a la Estadı́stica
Andrés M. Alonso
17
Interpretaciones de la probabilidad
Interpretación subjetiva de la probabilidad: Se han visto anteriormente dos
ideas para definir probabilidades: frecuencias relativas y espacios equiprobables.
Existe otro enfoque completamente distinto que define la probabilidad como
una medida subjetiva de incertidumbre sobre la aparición de un suceso.
I Ası́ nuestras probabilidades para algún suceso pueden ser distintas, ya que
tenemos diferentes cantidades de información.
¿Cuál es la probabilidad de las interpretaciones de la probabilidad
salgan en el examen de junio?
I En este caso, se pueden definir probabilidades para experimentos irrepetibles.
Introducción a la Estadı́stica
Andrés M. Alonso
18
Tema 5. Probabilidad
Experimentos aleatorios. X
El espacio muestral, sucesos elementales y compuestos. X
Interpretaciones de la probabilidad: clásica, frecuentista y subjetiva. X
Propiedades de la probabilidad.
La regla de multiplicación.
Independencia.
La ley de la probabilidad total.
El teorema de Bayes.
Introducción a la Estadı́stica
Andrés M. Alonso
La probabilidad P (A o B)
19
Propiedades de la probabilidad
Si A y B son sucesos incompatibles, tenemos
La probabilidad de A o B:
el siguiente diagrama de Venn.
Si A y B son sucesos incompatibles, tenemos el siguiente diagrama de Venn:
Ω
R
A
B
El área de A o B es igual a la suma de las dos áreas. Entonces, interpretando
probabilidad como área, concluimos que
La área en A o B es igual a la suma de las
o B) = Pr(A)
+ Pr(B).
dos áreas.Pr(A
Entonces,
interpretando
probabilidad como área, concluimos que
Introducción a la Estadı́stica
P (A o B) = P (A) + P (B).
Andrés M. Alonso
Diagramas de Venn
20
Propiedades
la probabilidad
Una manera
visual de
de ver
los distı́ntos sucesos
es a través del diagrama de Venn.
En el caso más general, tenemos el siguiente diagrama Venn:
Ω
R
A
B
El área de A o B es igual a el área de A más el área de B menos el área de
A y B. Entonces, tenemos la ley de adición:
Pr(A o B) = Pr(A) + Pr(B) − Pr(A y B)
229
Introducción a la Estadı́stica
Andrés M. Alonso
21
Ejemplo 10. En una ciudad hay 15 empresas constructoras. De ellas, 6 no
cumplen las reglas de contratación y 8 no cumplen los requisitos de seguridad
en el trabajo. 5 empresas no cumplen ni los requisitos de seguridad ni las reglas
de contratación.
Si se elige al azar una empresa para inspeccionar, ¿cuál es la probabilidad de
que cumpla ambos reglamentos?
Sea A el suceso “la empresa cumple las reglas sanitarias” y B “la empresa
cumple los requisitos de seguridad”.
Pr(A y B)
Si elegimos una empresa al azar, tenemos:
Pr(Ā) =
Pr(B̄) =
Pr(Ā y B̄) =
Introducción a la Estadı́stica
6
15
8
15
5
15
Andrés M. Alonso
22
Deducimos que Pr(A) = 1 − Pr(Ā) =
7
15 .
ΩR
9
15
y también que Pr(B) = 1 − Pr(B̄) =
AoB
Ā y B̄
Del diagrama deducimos que (A o B) ∪ (Ā y B̄) = Ω y que son incompatibles,
por tanto:
Observamos que (A o B) ∪ (Ā y B̄)10
= Ω y tamPr(A o B) = 1 − Pr(Ā y B̄) =
15
bién los dos sucesos son incompatibles.
Luego
Y si utilizamos la ley de la adición obtenemos:
10
P (A o B) = 1 − P (Ā y B̄) =
9
715 10
6
2
Pr(A y B) = Pr(A) + Pr(B) − Pr(A o B) =
+
−
=
=
15 15 15 15 5
Ahora necesitamos calcular P (A y B).
Introducción a la Estadı́stica
Andrés M. Alonso
23
Ejemplo 11. Una empresa de venta por correo ofrece un regalo sorpresa a
todos los clientes que hacen compras 20 euros o más. Hay cinco tipos de regalo
sorpresa que se eligen al azar:
1.
2.
3.
4.
5.
llavero y navajita
bolı́grafo y linterna
abrecartas y linterna
navajita y abrecartas
bloc de notas y abrecartas
Si un cliente hace dos compras de más de 20 euros y recibe dos regalos, ¿cuáles
son el espacio muestral y los sucesos elementales?
Si se denota por i cuando el cliente recibe el regalo sorpresa número i con
i = 1, 2, 3, 4, y, 5.
El espacio muestral es Ω = {(1, 1), (1, 2), . . . , (4, 5), (5, 5)}, donde el par (i, j)
significa que con el primer pedido recibe el regalo i y con el segundo pedido
recibe el regalo j.
Introducción a la Estadı́stica
Andrés M. Alonso
24
Ejemplo 11. Hallar las probabilidades de los siguientes sucesos:
A: el cliente recibe (por lo menos) una linterna.
B: el cliente recibe (por lo menos) una abrecartas.
A y B: el cliente recibe (por lo menos) una abrecartas y una linterna.
1
1
2
3
4
5
A
A
2
A
A
A
A
A
3
A
A
A
A
A
4
A
A
5
A
A
1
2
3
4
5
1
2
B
B
B
B
B
B
3
B
B
B
B
B
4
B
B
B
B
B
5
B
B
B
B
B
¿Qué es más fácil de calcular Pr(A) o Pr(Ā)? ¿Pr(B) o Pr(B̄)?
Una vez se tienen Pr(A) y Pr(B), ¿qué es más fácil de calcular Pr(A o B) o
Pr(A y B)?
Ley de adición
Introducción a la Estadı́stica
Andrés M. Alonso
25
Propiedades de la probabilidad
Una extensión P (A o B o C)
Extensión de la ley de la adición:
Ω
R
)
A
C
B
si fuera area.
Pr(APensamos
o B o C) en
= probabilidad
Pr(A) + Pr(B)como
+ Pr(C)
− Pr(A y B) − Pr(B y C) − Pr(A y C)
+ Pr(A y B y C)
P (A o B o C) = P (A) + P (B) + P (C) −
Introducción a la Estadı́stica
Andrés M. Alonso
P (A y B) − P (B y C) − P (A y C)
26
Tema 5. Probabilidad
Experimentos aleatorios. X
El espacio muestral, sucesos elementales y compuestos. X
Interpretaciones de la probabilidad: clásica, frecuentista y subjetiva. X
Propiedades de la probabilidad. X
La regla de multiplicación.
Concepto clave: Probabilidad condicional
Independencia.
La ley de la probabilidad total.
El teorema de Bayes.
Introducción a la Estadı́stica
Andrés M. Alonso
27
Probabilidad condicional
Ejemplo 12. Se clasifica un grupo de 100 ejecutivos en acuerdo con su peso
y si tienen hipertensión. La tabla de doble entrada muestra el número de
ejecutivos en cada categorı́a.
Hipertenso
Normal
Total
Insuficiente
2
20
22
Normal
8
45
53
Sobrepeso
10
15
25
Total
20
80
100
Si se elige un ejecutivo al azar, ¿cuál es la probabilidad de que tenga hipertensión?
20
Hay 20 ejecutivos con hipertensión, por tanto, Pr(H) = 100 = 0,2.
Se elige una persona al azar del grupo y se descubre que tiene sobrepeso.
¿Cuál es la probabilidad de que tenga hipertensión? ¿Es la misma que antes?
¿Miramos en la misma columna?
Introducción a la Estadı́stica
Andrés M. Alonso
28
Escribimos Pr(H|S) para representar la probabilidad de que sea hipertenso
sabiendo que tiene sobrepeso.
Para calcular Pr(H|S), las primeras dos columnas de la tabla no son
relevantes.
Hay 25 ejecutivos con sobrepeso y de ellos, 10 son hipertensos, por tanto,
10
Pr(H|S) = 25 = 0,4.
Otra manera de obtener Pr(H|S) es:
Calculamos Pr(H y S), la probabilidad de que una persona elegida al azar
10
sea hipertenso y tenga sobrepeso: Pr(H y S) = 100 = 0,1.
25
Calculamos Pr(S), la probabilidad de que tenga sobrepeso: Pr(S) = 100
= 0,25.
I Observamos que
Pr(H|S) =
Introducción a la Estadı́stica
Pr(H y S)
.
Pr(S)
Andrés M. Alonso
29
Probabilidad condicional y Ley de multiplicación
Definición 8. Para dos sucesos A y B, se define la probabilidad
condicionada de A dado B como
Pr(A|B) =
Pr(A y B)
.
Pr(B)
I Se entiende la expresión como la probabilidad de A suponiendo que B haya
ocurrido.
I A menudo se escribe esta fórmula de otra manera
Pr(A y B) = Pr(A|B) Pr(B).
En este caso, se le llama la ley de multiplicación.
Introducción a la Estadı́stica
Andrés M. Alonso
30
Ejemplo 13. Se dan dos cartas de una baraja española. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas cartas sean copas?
Sea A (B) el suceso de que la primera (segunda) carta sea copa. Queremos
calcular Pr(A y B).
Usamos la ley de multiplicación.
Pr(A y B) = Pr(B|A) Pr(A)
9
Tenemos que Pr(A) = 10
y
Pr(B|A)
=
40
39 porque si la primera carta es copa,
quedan 39 cartas y nueve de ellas son copas.
Por tanto,
Pr(A y B) =
Introducción a la Estadı́stica
10
9
3
×
= .
40 39 52
Andrés M. Alonso
31
Tema 5. Probabilidad
Experimentos aleatorios. X
El espacio muestral, sucesos elementales y compuestos. X
Interpretaciones de la probabilidad: clásica, frecuentista y subjetiva. X
Propiedades de la probabilidad. X
La regla de multiplicación. X
Independencia.
La ley de la probabilidad total.
El teorema de Bayes.
Introducción a la Estadı́stica
Andrés M. Alonso
32
Independencia
Definición 9. Se dicen que dos sucesos A y B son independientes si
Pr(A y B) = Pr(A) Pr(B).
I Utilizando la ley de multiplicación, tenemos que A y B son independientes
si Pr(A|B) = Pr(A) o si Pr(B|A) = Pr(B).
Ejemplo 13. Los sucesos, H: “tiene hipertensión” y S: “tiene sobrepeso” no
son independientes pues
Pr(H y S) = 0,1 6= Pr(H) Pr(S) = 0,2 × 0,25 = 0, 05.
También lo sabemos por Pr(H|S) = 0,4 6= Pr(H) = 0,2.
Introducción a la Estadı́stica
Andrés M. Alonso
En el Ejemplo 122, hemos aplicado otra regla
útil de la probabilidad. Ley de la probabilidad total
33
Teorema 8 Para dos sucesos A y B, se tiene
P Teorema
(A) = P (A|B)P
+ P (A|AB̄)P
1. Para (B)
dos sucesos
y B,(B̄).
se tiene
Pr(A) = Pr(A|B) Pr(B) + Pr(A|B̄) Pr(B̄).
Demostración
Ω
Vemos que
R
A = (A y B) ∪ (A y B̄)
A y B̄
µ
A
AyB
Por tanto,
6
Pr(A) = Pr(A y B) + Pr(A y B̄)
B
= Pr(A|B) Pr(B) + Pr(A|B̄) Pr(B̄)
Mirando el diagrama Venn, vemos que
Introducción a la Estadı́stica
A = (A y B) ∪ (A y B̄)
Andrés M. Alonso
34
Ejemplo 14. El 42 % de la población activa de cierto pais está formada por
mujeres. Se sabe que un 24 % de las mujeres y un 16 % de los hombres están
en el paro.
¿Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar de la población
activa en esta pais esté en el paro?
¿Cuál es la probabilidad de que tenga trabajo?
Sea P el suceso de que la persona esté en el paro. Sea M el suceso de que sea
mujer y H el suceso de que sea hombre.
Entonces,
Pr(P ) = Pr(P |M ) Pr(M ) + Pr(P |H) Pr(H)
= 0,24 × 0,42 + 0,16 × 0,58
= 0,1936
Ahora Pr(P̄ ) = 1 − Pr(P ) = 0,8064 es la probabilidad de que tenga trabajo.
Introducción a la Estadı́stica
Andrés M. Alonso
35
Una descomposición más general
Ley de la probabilidad total
Consideramos el siguiente diagrama de Venn.
Consideramos el siguiente diagrama de Venn:
Ω
B1
B3
B2
B4
Los sucesos B1, . . . , B4 dividen el espacio muestral en 4 partes distintas.
Definición 10.
conjunto
B1, . . . el
, Bespacio
Bi ∩ Bj = ∅
Los Un
sucesos
B1,de
. . .sucesos
, B4 dividen
muesk tales que
para todo i 6=
j y en 4 partes distı́ntas.
tral
Ω = B1 ∪ B2 ∪ . . . B k
se llama unaDefinición
partición del 28
espacio
Un muestral.
conjunto de sucesos B , . . . , B
1
donde Bi ∩ Bj = φ para todo i 6= j y
Introducción a la Estadı́stica
k
Andrés M. Alonso
36
de la probabilidad
Ahora supongamos que Ley
introducimos
otro suce- total
so A
Supongamos que introducimos otro suceso A
Ω
B1
B3
Tenemos: A = (A ∩ B1) ∪ (A ∩ B2) ∪
(A ∩ B3) ∪ (A ∩ B4) y los Bi son incompatibles,
A
B2
Tenemos
B4
Pr(A) = Pr(A ∩ B1) + Pr(A ∩ B2) + Pr(A ∩ B3) + Pr(A ∩ B4)
multiplicación,
Ay
=usando
(A ∩ B1la
) ∪ley
(Ade
∩B
2 ) ∪ (A ∩ B3 ) ∪ (A ∩ B4 )
Luego como los Bi son incompatibles,
Pr(A) =
4
X
Pr(A|B ) Pr(Bi)
P (A) = P (A ∩ B1) + P (A ∩ B2 ) + P (A ∩ B3 ) + P (A ∩ iB4 )
y usando la ley de multiplicación,
la Estadı́stica
P (AIntroducción
∩ Bi ) a=
P (A|Bi )P (Bi )
4
i=1
para i = 1, . . . , 4
Andrés M. Alonso
37
Ley de la probabilidad total
Teorema 2. Para un suceso A y sucesos B1, . . . , Bk , donde B1 ∪ B2 ∪ . . . ∪
Bk = Ω y Bi ∩ Bj = φ para todo i 6= j, entonces
Xk
Pr(A) =
Pr(A|Bi) Pr(Bi)
i=1
Ejemplo 15. En una fábrica se embalan galletas en 4 cadenas de montaje:
A1, A2, A3 y A4. El 35 % de la producción total se embala en la cadena A1,
el 20 %, 24 % y 21 % en A2, A3 y A4, respectivamente. Los datos indican que
no se embalan correctamente un porcentaje pequeño de las cajas: el 1 % en
A1, el 3 % en A2, el 2.5 % en A3 y el 2 % en A4.
¿Cuál es la probabilidad de que una caja elegida al azar de la producción total
sea defectuosa (suceso D)?
Pr(D) =
X4
i=1
Pr(D|Ai) Pr(Ai)
= ,01 × ,35 + ,03 × ,20 + ,025 × ,24 + ,02 × ,21 = ,0197
Introducción a la Estadı́stica
Andrés M. Alonso
38
El teorema de Bayes
Teorema 3. Para dos sucesos A y B, se tiene
Pr(A|B) =
Pr(B|A) Pr(A)
Pr(B)
Demostración
Por la regla de multiplicación, se tiene
Pr(A y B) = Pr(A|B) Pr(B) e igualmente
Pr(A y B) = Pr(B|A) Pr(A)
Pr(A|B) Pr(B) = Pr(B|A) Pr(A) y despejando obtenemos
Pr(A|B) =
Pr(B|A) Pr(A)
Pr(B)
Introducción a la Estadı́stica
Andrés M. Alonso
39
Ejemplo 16. Volvemos al Ejemplo 14. Supongamos que se elige un adulto al
azar para rellenar un formulario y se observa que no tiene trabajo. ¿Cuál es la
probabilidad de que la persona elegida sea mujer?
Necesitamos calcular Pr(M |P ). Mediante el teorema de Bayes, tenemos
Pr(P |M ) Pr(M )
Pr(M |P ) =
Pr(P )
0,24 × 0,42
=
≈ 0,5207
0,1936
Ejemplo 17. Volviendo al Ejemplo 15, supongamos que descubrimos que una
caja es defectuosa. Calcule la probabilidad de que la caja provenga de la cadena
A1.
Pr(D|A1) Pr(A1)
Pr(A1|D) =
Pr(D)
,01 × ,35
=
≈ ,1777
,0197
Introducción a la Estadı́stica
Andrés M. Alonso
40
Ejemplo 18. Tres prisioneros, Alfredo, Bruno y Carlos han solicitado la
libertad condicional. Se sabe que el gobernador va a poner en libertad a uno
de los tres pero él no va a decir quien hasta finales del mes. El gobernador dice
a Alfredo que puede informarle del nombre de un solicitante sin éxito dadas las
siguientes condiciones.
1. Si se va a liberar a Alfredo, el gobernador dirá Bruno o Carlos con la
misma probabilidad (1/2).
2. Si se libera a Bruno, dirá el nombre de Carlos.
3. Si Carlos es el que se va a liberar, dirá Bruno.
Alfredo pide al gobernador que le diga el nombre y el gobernador creyendo que
su información es inútil le dice que Bruno se va a quedar en la cárcel.
Alfredo piensa “mi probabilidad de que me pongan en libertad ha
cambiado de 1/3 a 1/2. Estoy muy contento.” ¿Tiene razón?
Introducción a la Estadı́stica
Andrés M. Alonso
41
Sean A, B,C los sucesos de que Alfredo, Bruno y Carlos respectivamente estén
puestos en libertad. Sea b el suceso de que el gobernador diga el nombre de
Bruno.
Se tiene:
Pr(A) = Pr(B) = Pr(C) = 1/3.
Además, sabiendo que el gobernador ha dicho el nombre de Bruno, se tiene
Pr(b|A) = 1/2,
Pr(b|B) = 0,
Pr(b|C) = 1.
Entonces, mediante el teorema de Bayes,
Pr(A|b) =
Pr(b|A) Pr(A)
Pr(b)
=
Pr(b|A) Pr(A)
Pr(b|A) Pr(A) + Pr(b|B) Pr(B) + Pr(b|C) Pr(C)
=
1/2 × 1/3
= 1/3.
1/2 × 1/3 + 0 × 1/3 + 1 × 1/3
Introducción a la Estadı́stica
Andrés M. Alonso
42
Recapitulación
Tema 5. Probabilidad
Experimentos aleatorios.
El espacio muestral, sucesos elementales
y compuestos.
Interpretaciones de la probabilidad:
clásica, frecuentista y subjetiva.
W Conceptos básicos
W Interpretación y
propiedades básicas
Propiedades de la probabilidad.
La regla de multiplicación.
Independencia.
La ley de la probabilidad total.
W Probabilidad condicional y
reglas de cálculo
El teorema de Bayes.
Introducción a la Estadı́stica
Andrés M. Alonso
43
Tema 5. Probabilidad
Conceptos básicos.
Interpretación y propiedades básicas
Probabilidad condicional y reglas de cálculo.
Generalización
Tema 6. Variables aleatorias unidimensionales
Distribución.
Caracterı́sticas: media, varianza, etc.
Transformaciones.
Introducción a la Estadı́stica
Andrés M. Alonso