38. Cuadratura de un círculo con la Espiral de Arquímedes.

CUADRATURA DE UN CÍRCULO CON
LA ESPIRAL DE ARQUÍMEDES
Yuli Andrea Rodríguez Rodríguez1
Benjamin R. Sarmiento Lugo2
Universidad Pedagógica Nacional
[email protected]
Universidad Pedagógica Nacional
[email protected]
R ESUMEN
En este artículo se presentan la construcción de la curva mecánica conocida como la
espiral de Arquímedes, usada desde la antigüedad para darle solución a los problemas
de la trisección de un ángulo y la cuadratura del círculo, dos de los problemas clásicos
de la geometría griega; además se describe en forma abreviada cómo usarla para tal
fin. Para lograr la curva mediante los pasos que aquí se presentan se sugiere usar el
software de geometría dinámica Cabri II Plus. Se aclara que con esta curva no se
resuelve el problema con su planteamiento original, pero se presenta una solución
mezclando el ingenio de los antiguos con la potencialidad de los programas de
geometría dinámica.
INTRODUCCIÓN
Cuando hacemos una revisión bibliográfica de artículos, documentos electrónicos y libros de
texto con el fin de encontrar detalles sobre las construcciones geométricas de curvas
mecánicas y mecanismos físicos usados para resolver los tres problemas clásicos de la
geometría griega, no encontramos suficientes fuentes sobre el tema, a excepción de algunos
sitios en la red Internet que abordan esta temática de manera incompleta. Lo anterior ha
motivado la realización de un trabajo sobre curvas y mecanismos inventados a lo largo de la
historia para resolver estos problemas. Aquí se presentará una de ellas, la espiral de
Arquímedes, inventada para resolver el problema de la cuadratura del círculo.
El problema de la cuadratura de círculo consiste en construir un cuadrado que tenga igual
área que un círculo dado. Es decir, si el área del círculo es igual a πr2 y se debe construir un
cuadrado cuya área x2 debe ser πr2, entonces su lado debe medir
se reduce a construir el número
p r ; por tanto el problema
p.
Este aparece en varias culturas de forma independiente, fue estudiado por los egipcios en el
siglo XV a.C. según el papiro de Rhind y en el siglo V a.C. por los griegos según testimonio
de Plutarco. Este problema lo plantearon los griegos de la siguiente forma: construir a partir
del radio r de un círculo un cuadrado de la misma área que el círculo. El problema
relacionaba el radio de la circunferencia con el área del círculo y con la longitud de la
circunferencia, es decir, se debía construir π.
1
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Licenciada en Matemáticas – Universidad Pedagógica Nacional
Magíster en Educación Matemática – Universidad Pedagógica Nacional
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El primero que se interesó por el problema de la cuadratura del círculo fue el filósofo jónico
Anaxágoras, quien por haber afirmado que el Sol excedía en magnitud a la península
europea, y por intentar explicar diversos fenómenos que los griegos atribuían a los dioses, fue
condenado a prisión. Durante su presidio trató de “cuadrar el círculo” y escribió un trabajo
sobre este problema.
Hacia el siglo V a.C., Hipócrates llegó a descubrir las primeras cuadraturas de superficies
limitadas por curvas (lúnulas), cuando su objetivo único era llegar a la cuadratura del círculo.
El geómetra Dinostrato, hermano de Menecmo y discípulo de Platón, reconoció que con la
ayuda de una curva, cuyo descubrimiento se atribuye a Hipias, era posible resolver el
problema de la cuadratura del círculo, de ahí la denominación de Cuadratriz de Hipias o de
Dinostrato a esta curva. Otro procedimiento destacado en la antigüedad fue la espiral
uniforme creada por Arquímedes y un procedimiento moderno y de construcción muy
compleja es la cuadratriz de Abdank -Abakanowicz.
Aunque las funciones trigonométricas surgieron para resolver problemas de geografía y
astronomía, sirven para resolver el problema de la cuadratura del círculo, ya que permiten
obtener representaciones del número π, el cual, es el centro de la solución del problema.
Los griegos, intuitivamente llegaron a concluir que los tres problemas no se podían resolver
sólo con regla y compás, y debieron pasar aproximadamente dos milenios (siglo XVIII) para
que Lamber y Legendre demostraran que el número π no es racional. En 1882, Linder man, en
una memoria publicada en los Mathematische Annalen demuestra que el número π es
trascendente, siguiendo un proceso similar al descubierto por Hermite en 1873 con respecto a
la trascendencia del número e.
En 1837, Pierre Wantzel publicó en el Journal de Liouville la demostración del siguiente
teorema: “Un número real es construible con regla y compás si verifica dos condiciones
(además son necesarias y suficientes): (1) El número es algebraico sobre Q; (2) El polinomio
irreductible que lo contiene como raíz es una potencia de 2” . Con este resultado Wantzel
pone fin a la antigua polémica sobre si un problema geométrico puede o no ser resuelto
mediante regla y compás, demostrando así que los tres problemas son irresolubles con las
condiciones impuestas en sus inicios.
1. ECUACIONES DE LA ESPIRAL UNIFORME DE ARQUÍMEDES
Sus ecuaciones son las siguientes:
Ecuación cartesiana:
Ecuación polar:
x 2 +y2 = a Arctan
r = aθ.
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y
; con a > 0.
x
2. CONSTRUCCIÓN DE LA ES PIRAL UNIFORME DE ARQUÍMEDES
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Mostrar los ejes coordenados y sea O el origen de coordenadas.
Trazar la circunferencia CO con centro O y radio 1.
Sea B la intersección entre la circunferencia CO y eje OX positivo.
Sea C un punto sobre la circunferencia CO.
Trazar el arco BC.
Sea m la medida del arco BC.
Trazar la semirrecta OC.
Transferir m sobre la semirrecta OC, Tomando O como punto inicial de la transferencia.
Sea P el punto donde termina la transferencia.
9. El lugar geométrico generado por P cuando se mueve C sobre la circunferencia CO es la
Espiral Uniforme de Arquímedes.
10. Obsérvese que la medida del segmento OP es la misma medida del arco BC (por la
transferencia de la medida del arco BC sobre la semirrecta OC). Lo anterior indica que
cuando el arco BC es igual a la cuarta parte de la circunferenc ia CO, su medida será π/2 y
el segmento OP también medirá π/2 y OP coincidirá con el segmento OM (M es la
intersección de la espiral con el eje OY positivo). Cuando el arco BC coincide con la
semicircunferencia “superior” de CO, el segmento OP coincidirá con el segmento ON y,
la semicircunferencia y los segmentos OP y ON tendrán medida π. De esta manera se ha
construido un segmento ON de longitud π.
Figura 1.
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3. USO DE LA ESPIRAL UNI FORME DE ARQUÍMEDES
1. Sea T punto medio entre N y B.
2. Trazar la circunferencia CT con centro en T y radio TB.
3. Sea G el punto de intersección entre la circunferencia C T y el eje OY positivo.
4. Como NO = π y OB = 1, entonces el segmento OG mide
p , por ser media geométrica
de las medidas de NO y OB.
Figura 1.
5. Se construye el cuadrado OGHK, tomando como uno de sus lados el segmento OG.
Como el lado del cuado es OG = p , su área es igual a π, igual al área del círculo de
radio OB = 1.
Figura 26.3
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4. R EFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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