9 La dispersión de ondas de superficie

9 La dispersión de ondas de superficie
Para una onda dispersiva, el desplazamiento en una cierta posición y
tiempo es determinado por la integral sobre todas las frecuencias que
contribuyen a la onda.
u(x, t) =
Z
∞
A(k)ei(kx−ωt) dk
(9.1)
−∞
La amplitud, A(k), varía lentamente en comparación con la fase
Φ = (kx − ωt). Este implica que el integral solamente contribuye al
sismograma cuando (kx − ωt) es constante.
Cuando la fase esta estacionaria,
dΦ
dk
=
=⇒ U
≡
d
(kx
dk dω dk k
0
− ωt) = x −
=
x
t
dω
t
dk
= x − Ut = 0
(9.2)
U es la velocidad del grupo, corresponde a la frecuencia ω0 , o el
número de onda k0 . En un sismograma con posición (x, t), hay
contribución al sismograma u(x, t) de una frecuencia ω0 .
– p. 1
9.1 Teoría
Se puede hacer una expansión de Taylor alrededor de ω0 :
2
1
d
2 d
[kx−ωt]k=k0 +...
kx−ωt = (k0 x−ω0 t)+(k−k0 ) [kx−ωt]k=k0 + (k−k0 )
dk
2
dk2
(9.3)
En esta expansión,
d
[kx − ωt]k=k0 = 0
dk
y
Entonces:
u(x, t)
dU d
d2
[x − U t]k=k0 = −
[kx − ωt]k=k0 =
dk2
dk
dk k=k0
=
=
n
o
1
dU
2
−i 2 (k − k0 ) dk t dk
−∞ A(k0
o
n
R∞
dU
1
2
i(k
x−ω
t
0 )
A(k0 )e 0
−∞ exp −i 2 (k − k0 ) dk t dk
R∞
)ei(k0 x−ω0 t ) exp
(9.4)
– p. 2
Intermezzo
Se requiere un cambio de variable: ξ 2 = (1/2)(k − k0 )2 (dU/dk)t
Entonces podemos escribir la ecuación (9.4) como:
u(x, t) = A(k0 )e
i(k0 x−ω0 t
)
dk
dξ
exp −iξ 2
dξ
−∞
Z
∞
Y con un poco de manipulación:
d[ξ2 ]
dk
=
dξ
2ξ dk
dξ
dk
dξ
dk
=
dξ
dk
=
=
=
(k − k0 ) dU
t + 21 (k
dk
t
(k−k0 ) dU
dk
2ξ
(k−k0 ) dU
t
dk
−
✯0
✟
✟✟ t
d dU
k0 )2 dk
dk
√
2 q
(1/2)(k−k0 )2 (dU/dk)t
√
t dU
√ dk
2
En esta expresión cabe recordar que
dU
dk
es una constante en ω0 .
– p. 3
9.1 Teoría
Entonces la ecuación (9.4) se reduce al
u(x, t)
= A(k0 )ei(k0 x−ω0 t)
= A(k0 )ei(k0 x−ω0 t)
h
h
✿
✘
2✘
✘
−iξ
✘
dξ
✘e
✘−∞
i−1/2 R
∞
dU
t
2 dk
0
ik=k
−1/2
t dU
2 dk k=k
0
√
iπ
(9.5)
(iπ)1/2
Tomando la parte real de la ecuación:
2π
u(x, t) = A(k0 )
(x/U )(dU/dk)
1/2
cos(k0 x − ω0 t ± π/4)
(9.6)
Para un cierto (x, t), la energía de la onda dispersiva esta contenida en
la forma de una oscilación de frecuencia ω0 , que corresponde a
d
dk (kx − ωt) = 0.
La amplitud más grande en el sismograma corresponde al dU
dk = 0, y es
la fase de Airy. (Para calcular la amplitud de la fase de Airy, es
necesario tomar el próximo término en la expansión de Taylor (9.3).
– p. 4
9.2 Análisis: velocidad de grupo
Velocidad de Grupo: La fase de la onda dispersiva esta dada por
Φ = kx − ωt + φ ± π/4
(9.9)
φ es la fase original de la onda que es típicamente desconocida.
Para la velocidad de grupo, se necesita que la fase es estacionaria
( dΦ
dk = 0), entonces
d
(kx − ωt + φ ±
dk
dφ dω
x − dω
t + dω
dk
dk
Y, recordando que U =
π/4)
=
=
0
0
dω
dk ,
U=
x
dφ
dω
+t
≈
x
t
(9.10)
En la última ecuación, se supone que la fase introducida por la fuente
del terremoto no cambia con la frecuencia angular.
– p. 5
9.2 Análisis: velocidad de grupo
El método más simple para medir U de un sismograma es medir los
tiempos de un periodo de la onda de superficie. Para una llegada a
tiempo ti , el intervalo ti+1 − ti−1 es una estimación del periodo T de la
llegada a ti . La velocidad del grupo entonces es U (T ) = x/ti . La
curva de U (T ) puede ser modelada para obtener la estructura en
promedio de la región donde pasa la onda. Además, varias curvas de
U (T ) de caminos de propagación que se cruzan dentro de un área
pueden ser usadas para tomografía de las ondas de superficie.
– p. 6
9.2 Análisis: velocidad de grupo
Ejemplos de las curvas de dispersión para unas diferentes regiones de la
Tierra.
– p. 7
9.2 Análisis: velocidad de fase
Velocidad de Fase: Para encontrar la expresión para la velocidad de
fase para una onda dispersiva a un cierto periodo (es decir,
c(T0 ) = ω0 /k0 = 2π/T0 k0 ), hay que considerar la propagación de la
misma fase. En términos matemáticos, buscamos soluciones para
Φ = 2N π y la ecuación (9.9), con esta condición, reduce al:
k0 x − ω0 t + φ ± π/4 = 2N π
(9.11)
El el siguiente manipulación de la ecuación (9.11) se usa
c(T0 ) = ω0 /k0 y 1/k0 = [c(T0 )T0 ]/2π
x−
ω0
t
k0
+
φ
k0
x − c(T0 )t +
π 1
4 k0
c(T0 )T0 φ
2π
±
=
±
π c(T0 )T0
4
2π
=
2N π
k0
2N πc(T0 )T0
2π
′
con el siguiente resultado (donde φ = φ/2π)
c(T0 ) =
x
′
t − (φ − N ± 1/8)T0
(9.12)
– p. 8
9.2 Análisis: velocidad de fase
Siempre se usa la propagación de una onda de superficie entre dos
estaciones para calcular la velocidad de fase (que existe en el medio
entre las dos estaciones).
(A:)
(B:)
k0 x − ω0 t + φA ± π/4
k0 x − ω0 t + φB ± π/4
=
=
2NA π
2NB π
La fase asociada con la fuente del terremoto es la misma (para el
mismo evento), entonces si consideremos la propagación entre las dos
estaciones, con ∆N = NA − NB el número de ciclos que separa una
fase particular en las dos estaciones,
c(T0 ) =
∆x
∆t − N T0
(9.14)
– p. 9
9.3 / 9.4 Estudios de casos
En la guía del curso existen dos estudios de los casos de Hawái y el
Pacífico en general. Les ruego revisar estos casos, no les pondré aquí
para evitar imprimir las mismas imágenes en color dos veces.
– p. 10