modos normales

MODOS NORMALES
MODOS NORMALES DE UNA
CUERDA DE GUITARRA
• Con
una suma infinita de las
eigenfunciones espaciales,
podemos construir cada
función en la cuerda.
UNA ESFERA HOMOGÉNEA Y
LÍQUIDA
•
•
En la clase pasada encontramos las soluciones para la presión en una esfera homogénea y
líquida. Haciendo un simil con la Tierra líquida, vimos que las soluciones, efectivamente, se
separaron en las coordenadas esféricas y escribimos las soluciones como:
p(r, θ,φ,t) = ∑n ∑l ∑m Anlm Jl+1(nωl r/c)/(√ r) Pl!
m!
(cos θ) eimφ cos(nωl t)
•
n=1,.., ∞ ; l=0,1,.., ∞ i ; m=-l,...0,..l
•
Observa que cada frecuencia nωl tiene (2l+1) diferentes eigenfunciones (una para cada
m).
•
Las eigenfunciones son ortogonales en el sentido:
•
FUNCIONES DE BESSEL
•
La condición de frontera:
• Jl+1(nωl
a/c) = 0 ; n=1,2,3,.., ∞
•
selecciona las eigenfrecuencias nωl.
•
El n corresponde al número de la raíz de
la función de Bessel.
FUNCIONES ASOCIADAS DE
!
M!
LEGENDRE, PL
(COS Θ)
•
θ = colatitud, y por eso θ ∈ [0,π] y cos θ ∈ [-1,1]
•
La función Pl!
m!
(cos θ) tiene l-m ceros en el intervalo θ ∈ [0,π].
•
La función Pl!
m!
(cos θ) es nula en los polos, sino, m=0.
ARMÓNICOS ESFÉRICOS,
M
YL (Θ,Φ)
•Ylm(θ,φ) -Armónicos esféricos con grado l y orden m.
•Sólo los modos con m=0 tienen desplazamiento en los polos.
•0S0 - se llama el “breathing mode”. Sólo tiene desplazamiento radial (vertical) y no tiene nodos
interiores.
•0S2 - se llama el “football mode” y es el modo más grave de la Tierra.
U ⋅ Ř = YL
l=5,m=0
l=5,m=3
M(Θ,Φ)
l=5,m=1
l=5,m=4
COS(NΩLT)
l=5,m=2
l=5,m=5
MODOS NORMALES DE
TIERRA LÍQUIDA
TIERRA SNREI
•
(¡Afortunadamente!) La Tierra es sólida y queremos
saber los desplazamientos en lugar de la presión. Pero,
el desplazamiento es un vector, no un escalar como la
presión, y por eso, todo se complica.
•
Una Tierra SNREI (Spherical - NonRotating - Elastic Isotropic) tiene la misma simetría y por eso vamos a ver
los factores Ylm(θ,φ) = Pl! m! (cos θ) eimφ en las
soluciones para la Tierra sólida.
•
Si la Tierra no cumple con las condiciones de SNREI, las
eigenfrequencias nωl van a estar un poquito diferentes
para cada m. Esto se llama división de modos (mode
splitting).
Armónicos esféricos vectoriales
Con l=0, y m=0, Ylm(θ,φ) =
constante. Estos modos se llaman
modos radiales
•
LOS FUNCIONES RADIALES
(¡NO BESSEL!)
MODOS TOROIDALES
En el caso de nuestra Tierra, la velocidad varía
con la profundidad, y la solución para las
eigenfunciones radiales, normalmente, se
resuelven numéricamente.
Similarmente a los movimientos de ondas de
cuerpo, los movimientos se separan entre modos
esferoidales, que incluyen movimientos radiales
(verticales) y horizontales, además de los modos
toroidales, que solamente tienen movimientos
horizontales.
• Ejemplo
Wallace.
• Los
de Lay &
ejemplos que van
a tener ustedes son
mejores...
SISMOGRAMAS SINTÉTICOS
USANDO MODOS
NORMALES
REPASO: MODOS EN UNA
TIERRA LÍQUIDA
•
En el clase pasada vimos que para una Tierra líquida
podemos escribir las soluciones para la presión como
una suma de los modos normales.
p(r, θ,φ,t) = ∑n ∑l ∑m Anlm Jl+1(nωl r/c)/(√ r) Pl!
m!
La presión como suma de modos
normales
(cos θ) eimφ cos(nωl t)
•
Cada modo tiene su eigenfrecuencia y eigenfunción.
Las eigenfunciones tienen una parte radial multiplicada
por los armónicos esféricos y multiplicado con la parte
de tiempo.
•
Cada modo tiene tres identificadores, el numero n, el
grado l y el orden m.
•
Cada eigenfrecuencia, nωl, corresponde a (2l+1)
eigenfunciones diferentes.
U ⋅ Ř = YL
l=5,m=0
l=5,m=3
M(Θ,Φ)
l=5,m=1
l=5,m=4
COS(NΩLT)
l=5,m=2
l=5,m=5
REPASO: SOLUCIONES PARA
UNA TIERRA HOMOGÉNEA
•
Los modos se separan en
movimientos esferoidales y
toroidales (semejante a los P-SV, y
SH).
•
Los números n, l y m determinan
los números de pasos por cero en
las direcciones radial, transversal y
longitudinal.
•
Las eigenfrecuencias para cada l son
determinadas por la solución de la
ecuación radial:
• Jl+1(nωl
a/c) = 0 ; n=1,2,3,.., ∞
TIERRA SNREI
•
•
En una tierra SNREI (Spherical, NonRotating,Elastic,Isotropic) suponemos que por medio de
separación de variables las eigenfunciones son múltiplos de una función temporal (tipo cos (nωl
t)), funciones radiales y armónicos esféricos vectoriales (Rlm(θ,φ), Slm(θ,φ), Tlm(θ,φ)).
u(x,t) = ∑n ∑l ∑m (Unl(r) Rlm(θ,φ) +Vnl(r) Slm(θ,φ) +Wnl(r) Tlm(θ,φ)) cos(nωl t)
Pero, ¿cómo podemos determinar las funciones
radiales?
•
En los ejemplos anteriores hemos puesto la
suposición dentro de la ecuación de movimiento
para determinar las ecuaciones de las funciones
radiales.
Armónicos esféricos vectoriales
UNA TIERRA SNREI IMPORTANCIA DE LA GRAVEDAD
Para la Tierra, también tenemos que
tomar en cuenta el efecto de la
gravedad en los movimientos y, por
eso, la ecuación de movimiento tiene
nuevos términos y, además tenemos una
ecuación más, la ecuación de Poisson.
Las perturbaciones en el potencial
gravitatorio cumplen la ecuación de
Poisson:
También tenemos nuevos términos de la
ecuación de impulso:
Los términos nuevos describen las fuerzas
actuando en un volumen infinitesimal en
una Tierra hidrostática. Los movimientos
causan cambios en el potencial
gravitatorio y en la densidad. Estos
cambios causan nuevos esfuerzos.
ECUACIÓN DE MOVIMIENTO
PARA UNA TIERRA SNREI
Ecuación de impulso con términos de gravedad
“F=ma” - en el dominio de
frecuencia
s - desplazamiento
T - esfuerzo
g = -g rhat = - ∇Φ
Ecuación de Poisson (forma incremental)
φ- perturbación en
potencial gravitatorio,Φ
Continuidad en fronteras
•
Condiciones de frontera dinámicas
Las fronteras no se abren o colapsan.
Las fronteras entre sólidos no se deslizan
No hay tracciones sobre el superficie. Las tracciones sobre las
fronteras sólido-sólido son continuas. La parte radial de las
tracciones entre fronteras solidas - líquidas, son continuas
SEPARACIÓN DE VARIABLES
•
Vamos a buscar soluciones de la forma:
•
u = U Rlm + V Slm+ W Tlm
•
φ = PYlm (perturbaciones en el potencial gravitatorio)
•
U,V,W,P son funciones de r solamente.
•
Ponemos esta suposición dentro de las ecuaciones de movimiento.
Vamos a tener muchos términos. Podemos juntar los términos
que tienen los mismos R,S,T. Vamos a tener tres ecuaciones de
la ecuación de movimiento y, una ecuación de la ecuación de
gravedad.
(desplazamiento)
ECUACIONES PARA LAS
FUNCIONES RADIALES
Cuando ponemos la forma de solución dentro de la ecuación
de onda y juntamos los términos con las mismos funciones
armónicas esféricas vectoriales, obtenemos tres ecuaciones
diferenciales de primer orden para U,V,W. Notan que la
ecuación para W está desacoplada de las ecuaciones para U y V:
Definimos R,S,T como los partes radiales de la tracción en una
frontera esférica:
Podemos demostrar que:
Ahora podemos escribir las condiciones
de frontera dinámicas así:
También tenemos una ecuación para el
potencial gravitatorio:
Continuidad de desplazamiento:
LA PARTE RADIAL DE LAS
EIGENFUNCIONES
•
Ya tenemos ecuaciones para U,V,W,R,S,T,P. Se ven muy complicadas pero, de hecho, corresponden
a la ecuación de Bessel en el caso de una esfera líquida.
•
Ahora tenemos que obtener soluciones de los ecuaciones e imponer las condiciones de frontera
para obtener las eigenfrecuencias y las eigenfunciones.
•
Entender cada término de estas ecuaciones físicamente no es importante.
•
Las ecuaciones de U,V,R,S son más complicadas que para W,T, y están completamente
desacopladas. Por eso vamos a ver como podemos resolver las ecuaciones para W,T primero.
INTEGRACIÓN NUMÉRICA MODOS TOROIDALES
Queremos determinar las
funcionesWnl(r) y Tnl(r), r ∈ [rCMB, R].
Empezamos con escribir las ecuaciones para W y T:
k2=l(l+1)
como dos ecuaciones acopladas:
Las condiciones de frontera:
En el caso de la esfera líquida, pudimos obtener
soluciones para la ecuación de Bessel (las funciones de
Bessel). En el caso de una Tierra SNREI, como no
podemos hacer la integral de Wdot y Tdot en forma
cerrada, tenemos que obtener las soluciones
numéricamente.
Para cada l, empezamos con una ωtest de prueba(muy
baja) y decimos que W(rCMB)=1 y T(rCMB)=0. Con estas
condiciones iniciales podemos hacer una integración
numérica hasta r=R.
Si tenemos que T(R)=0 para esta ω, decimos que 0ωl =
ωtest . Si T(R) ≠ 0, probamos otra ω = ωtest + δ ω.
Esto lo podemos repetir, buscando todas las 0ωl que
cumplen con las condiciones de frontera.
Así, podemos encontrar todas las eigenfrecuencias nωl y
las eigenfunciones Wnl. Esto, es muy similar a buscar las
raíces de la función de Bessel en el caso de una Tierra
líquida.
Teóricamente también hay modos toroidales en el
núcleo interior, pero como no podemos
medirlos, y no son excitados por temblores en el
manto, normalmente los ignoramos.
FRECUENCIAS DE MODOS
TOROIDALES
Modos tipo
ondas de
Modos
superficie
tipo
Las eigenfrecuencias toroidales de una Tierra
(Love)
SNREI con el modelo PREM (isotrópico). Si
SH
sumamos sólo los modos en la parte verde,
generamos las ondas de superficie. Aquí
podemos ver que la separación de
eigenfrecuencias para cada l es muy regular y
tenemos una figura “simple”. Si sumamos solo los
modos en la parte roja, generamos las ondas de
SH.
LAS FUNCIONES RADIALES
(NO BESSEL!)
MODOS TOROIDALES
•
En el caso de laTierra, la velocidad varía
con la profundidad y, la solución para las
eigenfunciones radiales, normalmente se
resuelve numéricamente.
Modos tipo Love
Estas figuras muestran las eigenfunciones de desplazamiento,
Wnl(r), para los modos toroidales nTl.
Para n fijo, l-es más grandes, corresponden a modos con
desplazamiento en el manto más superior.
Modos tipo SH
Para l fijo, n-es más grandes, corresponden a modos con
desplazamientos en el manto más bajo.
MODOS ESFEROIDALES
•
•
Las ecuaciones para los modos esferoidales son
más complicadas porque las funciones de U y V
están ligadas por el efecto de gravedad, además
que los modos tienen desplazamientos en los
regiones sólidas y fluidas de la Tierra. Pero,
podemos resolver las eigenfrecuencias y
eigenfunciones de la misma manera.
En este caso tenemos 6 ecuaciones de primer
orden (U,V,P (presión) y las derivadas de las
tres). El problema de estimar los modos
esferoidales es mucho más difícil numéricamente
que obtener los modos toroidales. Además que
hay muchos trucos a utilizar.
complicado
Modos tipo
Rayleigh
Las eigenfrecuencias para modos esferoidales de una Tierra
SNREI con el modelo PREM (isotrópico). Aquí podemos
ver que la separación entre eigenfrecuencias para cada l es
muy irregular y tenemos una figura “complicada”. Si
sumamos sólo los modos en la parte verde generamos las
ondas de superficie. Los modos en el triángulo rojo,
corresponden a muchos modos diferentes.
MODOS ESFEROIDALES
Aquí hemos separado la figura de la diapositiva anterior, para ver los modos juntos que tienen
eigenfunciones similares. Los modos en la primera figura (panel 1,2,3) tienen las eigenfunciones (U línea
sólida, V discontinua) en la figura 2 (linea 1,2,3). Aquí vemos que modos con eigenfrecuencias muy
similares pueden tener eigenfunciones muy diferentes.
ScSSV
PKIKP
• Fig
8.12 y 8.14
nucleo
ScSSV
PKIKP
nucleo