Intervalo de Confianza

Intervalo de Confianza
Definición: Se llama intervalo de confianza en estadística a un par de números
entre los cuales se estima que estará cierto valor desconocido con una
determinada probabilidad de acierto. Formalmente, estos números determinan un
intervalo, que se calcula a partir de datos de una muestra, y el valor desconocido
es un parámetro poblacional.
La probabilidad de éxito en la estimación se representa por 1   y se denomina
nivel de confianza. En estas circunstancias, α es el llamado error aleatorio o nivel
de significación, esto es, una medida de las posibilidades de fallar en la estimación
mediante tal intervalo.
Pero para cada tipo de estudio es que se define una formula diferente,
dependiendo de los parámetros establecidos en el problema a tratar, los cuales se
presentan a continuación:
1. Intervalo de confianza para la media o Promedio de una población normal:
En esta distribución normal de medias se puede calcular el intervalo de
confianza donde se encontrará la media poblacional si sólo se conoce una
media muestral, con una confianza determinada. La formula que se presenta a
continuación resume lo descrito anteriormente:
IC   x  t

(1 ; n 1)
2

s
n
El nivel de confianza y la amplitud del intervalo varían conjuntamente, de forma
que un intervalo más amplio tendrá más posibilidades de acierto (mayor nivel
de confianza), mientras que para un intervalo más pequeño, que ofrece una
estimación más precisa, aumentan sus posibilidades de error.
Ejemplos:
1.
De los alumnos que asisten a un curso de formación profesional, se
eligieron al azar dos grupos, uno de 13 alumnos y el otro de 11. En cada
grupo, se aplicaron métodos pedagógicos distintos. Suponga que el
rendimiento de los alumnos se comporta en forma normal, para ambos
grupos. Los exámenes finales, idénticos para cada grupo, dieron los
siguientes resultados:
Para el grupo 1, donde se aplico el método 1:
x 1 68 puntos ;
s1  12 puntos ;
n1 13
Para el grupo 1, donde se aplico el método 2:
x 1 54 puntos ;
s1  10 puntos ;
n1 11
a) Defina claramente la variable y las poblaciones en estudio.
b) Determine un intervalo de confianza del 95%, para el rendimiento
promedio verdadero, por alumno, en que se aplique el método 1.
2. Intervalo de confianza para la varianza de una población normal: Para
estimar un intervalo de confianza para la varianza, se utiliza el mismo concepto
anterior, pero cambiando la formula del intervalo por la que se presenta a
continuación:
IC   Li ; Ls 
Li 
( n  1) s 2
2 (1 
y
 ; n  1)
2
Ls 
( n  1) s 2
2 (
 ; n  1)
2
Ejemplos:
c) Determine un intervalo de confianza del 95% para la desviación típica, si
se usara el método pedagógico 1.
d) Determine un intervalo de confianza del 95% para la desviación típica, si
se usara el método pedagógico 2.
3. Intervalo de confianza para la diferencia cuociente de varianzas de dos
poblaciones normales: Supongamos que tenemos dos poblaciones normales
independientes con varianzas desconocidas, pero de este par de poblaciones
se tiene disponible dos muestras aleatorias de tamaño n1 y n2
Respectivapectivamente y además contamos con s1 y s2 las dos desviaciones
típicas muéstrales. Luego se tiene que:
IC [
 12
] = [ Li ; L s ]
 22
Li  ss ·
F(1
2
1
2
2
Ls  ss · F(1 
1

2
2
1
2
2
; ( n1  1 ) / ( n2  1 ) )
Es recomendable que el cuociente entre

2
; ( n2  1 ) / ( n1  1 ) )
s1
sea mayor que uno, en caso
s2
contrario es necesario invertir los valores.
Ejemplos:
e) Determine un intervalo de confianza del 95%, para el cuociente entre las
varianzas verdaderas, asociadas a ambos métodos. De acuerdo al
resultado, determine si es factible el supuesto de igualdad de varianzas
(homocedasticidad).
4. Intervalo de confianza para la diferencia de medias de dos poblaciones
normales: Para crear este intervalo es necesario en cada una de estas
poblaciones se extraer mediante muestreo aleatorio simple, muestras que no
tienen por que ser necesariamente del mismo tamaño, para posteriormente con
los resultados muéstrales determinar el siguiente intervalo de confianza:


IC x1  x 2   x1  x 2   t(1 

2
; n1  n 2  2 )

( n1  1) s12   n2  1  s22
n1  n2  2
1
1
   
 n1 n2 
Igual que en el caso anterior es necesario que la diferencia entre x1  x2 sea
positiva en caso contrario es necesario invertir los valores
Ejemplos:
f) Determine un intervalo de confianza del 95%, para la diferencia entre las
medias verdaderas de los rendimientos, por alumno, asociados a ambos
métodos.
5. Intervalo de confianza para la proporción de una población binomial: Para
estimar o inferir el valor de un intervalo de confianza para la proporción es
necesario contar con los parametos de " n y p" , para posteriormente
determinar el siguiente intervalo utilizando la formula que se presenta a
continuación:
IC  p
:
pˆ  z ( 1   ) ·
2
pˆ · ( 1  pˆ )
n
Ejemplos:
a) Defina claramente la variable y las poblaciones en estudio
b) Determine un intervalo de confianza del 96,5%, para la proporción
verdadera de enfermos que se recuperarían con el método 1.
6. Intervalo de confianza para la diferencia entre las proporciones: Se eligen
muestras aleatorias de tamaños " n1 y n2 " en las respectivas poblaciones,
para estimar el intervalo:
IC p1  p2  :  p1  p2   z

(1 )
2

p1 1  p1 
p 1  p1 
 2
n1
n2
Ejemplos:
c) Determine un intervalo de confianza, para la diferencia entre las
proporciones verdaderas de enfermos que deberán recuperarse con ambos
métodos.