La ejercitación presentada en esta guía tiene como finalidad la... Inferencia Estadística ESTADISTICA Y BIOMETRIA - CICLO 2003

ESTADISTICA Y BIOMETRIA - CICLO 2003
Guía de
Ejercitación 3
La ejercitación presentada en esta guía tiene como finalidad la revisión de conceptos en el marco de
la Inferencia Estadística como lo son los intervalos de confianza, los contrastes de hipótesis
referidos a parámetros de una o dos distribuciones, el error de tipo II y la potencia de una prueba de
hipótesis, usando como soporte computacional el software estadístico InfoStat. Las salidas
obtenidas desde el computador se discutirán en clase destacando cómo analizar los resultados y la
importancia de los mismos en el contexto de las situaciones planteadas a continuación y de otras
situaciones problemáticas similares, comunes en el ámbito de las ciencias agropecuarias.
Para realizar los ejercicios lea atentamente los enunciados y consignas. Recuerde que el programa
estadístico posee una versión electrónica del Manual de usuario en donde se explican y detallan
todos los procedimientos estadísticos disponibles.
Problema 1:
En un experimento se observó, entre otras variables, el porcentaje de germinación (PG) en semillas
del arbusto forrajero Atriplex cordobensis. Se trabajó con semillas clasificadas por tamaño
(grandes, medianas y chicas) y color de episperma (claro, oscuro y rojizo). Los datos se encuentran
en el archivo Atriplex.idb en la carpeta Datos de InfoStat.
Para abrir el archivo se debe seguir la siguiente secuencia C:\Archivos de programas\ InfoStat\
Datos\ Atriplex.idb.
Utilice los datos registrados para estimar los parámetros distribucionales (media y varianza
poblacional) de la variable porcentaje de germinación (PG) para cada tamaño de semilla.
Recuerde usar Tamaño como Partición.
1) Utilizando el menú Estadísticas> Inferencia basada en una muestra > Intervalos de confianza,
obtenga, para cada tamaño:
a) Un intervalo de confianza bilateral al 95% para el PG promedio de las semillas.
b) Un intervalo de confianza bilateral al 99% para el PG promedio de las semillas.
2) Compare los intervalos anteriores y discuta acerca del efecto del cambio de la confianza (1-)
sobre la amplitud de un intervalo de confianza.
3) Utilice el menú Aplicaciones > Didácticas > Intervalos de confianza para representar
conceptos relacionados a la construcción de intervalos de confianza. InfoStat simula la obtención
de numerosos intervalos de confianza obtenidos desde muestras de una distribución normal. Para
ello, suponga que la distribución de la variable PG es normal con los valores de media y varianza
obtenidos a partir del archivo. Cuando complete la información solicitada por el procedimiento
aparecerá un gráfico con los intervalos construidos y la ventana de Herramientas gráficas
mediante la cual se pueden introducir modificaciones al gráfico. En la solapa Series, de la ventana
Herramientas gráficas, la opción Tamaño permite aumentar el tamaño del punto central de cada
intervalo de confianza. Trabaje con diferentes tamaños de muestra (opción Tamaño muestral) y
con distintos niveles de confianza (opción Confianza), para estudiar su influencia sobre la amplitud
de los intervalos.
Problema 2:
Es de interés para el investigador saber si el PG promedio sería superior al 90% en cada uno de los
tamaños de semilla. Para poder resolver la cuestión realice los siguientes ejercicios:
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Ejercitación 3
1) Teniendo en cuenta el interés del investigador y usando el intervalo obtenido con una confianza
del 95% en el problema anterior, ¿bajo qué tamaño esperaría obtener un porcentaje de germinación
promedio superior al 90%?.
2) Realice una prueba de hipótesis sobre el PG promedio de cada tamaño. Para ello, utilice el menú
Estadísticas > Inferencia basada en una muestra > Prueba T para un parámetro.
Tenga en cuenta:
 Declarar la variable Tamaño como Partición
 Ingresar el valor del parámetro bajo la hipótesis nula (90), ya que por defecto valdrá 0. Dejar
las restantes opciones marcadas.
 Que el valor p permite rechazar la H0 interpretándose de la siguiente manera: si p es mayor
que el nivel de significación fijado para la prueba () no se rechaza la hipótesis nula; si p es
menor o igual que  se rechaza la hipótesis nula.
3) Discuta acerca de las relaciones entre la información que resulta de los intervalos de confianza y
de las pruebas de hipótesis.
Problema 3:
En un laboratorio un investigador conduce un ensayo para estudiar características del hongo
Phytophtora infestans. Los siguientes estadísticos corresponden a una muestra de 20 colonias del
hongo, donde se midió la longitud de esporas (en micrones): x =40 y S=6.
Se desea estimar por intervalo de confianza la longitud media de las esporas, de modo que la
amplitud del intervalo represente un 10% de la media muestral. ¿Qué número de colonias se
deberían tomar al construir el intervalo para μ con una confianza del 90%?
1) Para responder al interés del investigador, utilice el menú Estadísticas > Cálculo del tamaño
muestral > Para estimar una media con una precisión deseada.
Tenga en cuenta:
 En la ventana Tamaño muestral para..., se debe activar la solapa Estimar una media
 En el panel Criterio para la obtención del tamaño muestral se deberá activar la opción
correspondiente al criterio que se desea usar, elegir el nivel de confianza para el intervalo e
ingresar el valor de referencia para el criterio indicado.
 En Cota superior para la varianza, se debe ingresar el valor de varianza para la variable en
estudio.
 Luego de ingresar los valores requeridos, se debe pulsar la tecla <Enter>.
 Completada la información en el campo Tamaño muestral requerido aparecerá el cálculo de
“n”.
Ejercicio didáctico para el cálculo de error de tipo II:
Considere la siguiente situación: al contrastar si la media de una variable aleatoria en una población
es 50 (H0: =50), dicha hipótesis no es rechazada cuando en realidad la verdadera media es 52.
Suponga que se conoce que la variable aleatoria se distribuye normal con varianza 2=100 y que se
trabajó con una muestra aleatoria de tamaño 25.
Para calcular la probabilidad del Error de tipo II (no rechazar una hipótesis nula falsa) previamente
se debe delimitar la región de no rechazo bajo la hipótesis nula (H0: =50) y luego calcular el área
correspondiente a dicha zona bajo la distribución con =52 (que es la distribución correcta).
Realice las dos actividades presentadas a continuación, que tienen como finalidad ejercitar al
alumno en la obtención del error de tipo II, usando el computador:
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1) Graficación de la distribución de X y delimitación de la región de rechazo
La región de rechazo queda definida por los valores de X c, donde c es el punto crítico elegido de
manera tal que P( X c| =50)=; esto es, la probabilidad de observar valores de medias muestrales
mayores o iguales al punto crítico cuando la H0 es verdadera (es decir =50) es igual a . Tomando
=0.05, el punto crítico (c) puede ser obtenido en InfoStat de la siguiente manera:
En el menú Aplicaciones  Didácticas  Gráficos de funciones de densidad continuas, generar
la distribución del estadístico X bajo la hipótesis nula. Esto es una normal con media=50 y
varianza=4.
Nota: si X se distribuye normal media=50 (como se postula en la H0) y varianza=100, se sabe que
el estadístico X se distribuirá normal con media =50 y varianza 100/25=4.
Para delimitar la región de rechazo en El evento está definido por valores... activar la opción
Mayores o iguales que..., aparecerá automáticamente el punto crítico c, ya que InfoStat reporta por
defecto el cuantil 0.95 de la distribución al activar dicha opción. Luego, para estos datos, c=53.28
es el punto crítico que delimita las regiones de rechazo y aceptación. Al aceptar se visualizará la
distribución y el área sombreada correspondiente a la probabilidad del evento rechazar H0
verdadera. Así, en este ejemplo la región crítica corresponde a los puntos muestrales para los cuales
X 53.28.
Nota: si se desean obtener regiones críticas de otro tamaño (un  distinto al 5%) se deberá primero
utilizar el menú Probabilidades y cuantiles para los puntos críticos (cuantiles) que necesita ingresar
en El evento está definido por valores....
2) Cálculo del Error de tipo II
Considerar ahora el problema de calcular , asumiendo H0: =50 y H1: >50, n=25, varianza 100 y
=0.05 para una prueba unilateral. Recordar que =P( X  región de aceptación de H0| H1
verdadera), esto es la probabilidad asociada al evento “el estadístico pertenece a la región de
aceptación dado que la hipótesis alternativa es verdadera”.
Luego, en este ejemplo, =P( X  53.28|=52). Para obtener el valor de  en InfoStat se podrían
seguir los siguientes pasos:
Sobre la gráfica anterior generar la distribución del estadístico X bajo la hipótesis alternativa. Es
decir graficar una densidad normal con parámetros media=52 y varianza=4. Para lograr esto se
deberá Clonar la serie gráfica existente y cambiar el parámetro media ingresando 52, tarea
realizada desde la ventana Herramientas gráficas.
En Evento activar la opción <= y en el campo escribir 53.28. La porción sombreada de esta
distribución corresponde a . Se puede leer debajo del título del gráfico, el valor de la probabilidad
de error de tipo II como p(evento)=0.7405.
Ejercicio: Se cree que la ganancia de peso promedio bajo una dieta experimental es de 140 gramos.
Si se prueba la siguiente hipótesis: H0: =140 y H1: ≠140, usando una muestra de 36 individuos y
sabiendo que la desviación estándar es de 15 gramos, ¿cuál es la probabilidad de aceptar la
hipótesis nula cuando en realidad el aumento de peso promedio es de 143 gramos?. Utilice un
=0.05.
Problema 4: Prueba T para observaciones independientes
En un estudio para analizar la evolución de tubérculos almacenados, se deseaba comparar dos
épocas de cosecha: Abril y Agosto, las que determinan diferentes periodos de almacenamiento. La
variable en estudio fue la pérdida de peso por deshidratación (en gr). El archivo Epoca.idb contiene
las observaciones del estudio.
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1) Utilice el menú Estadísticas  Inferencia basada en dos muestras  Prueba T para realizar el
contraste de las siguientes hipótesis: H0: Abril = Agosto versus H1: Abril ≠ Agosto.
Interprete los resultados obtenidos.
Nota: Al invocar esta prueba, en el selector de variables de la ventana Prueba T para muestras
independientes se deberá especificar la variable respuesta en la subventana Variables, (en este
caso el peso) y la variable que será usada para identificar ambas muestras en la subventana Criterio
de Clasificación (época). La ventana Prueba T para muestras independientes que se visualiza al
Aceptar permite especificar el tipo de Prueba (bilateral, unilateral izquierda o unilateral derecha).
En cuanto a la información que se desea visualizar como resultado, el campo Inter conf. permite
solicitar la construcción de un intervalo de confianza para la diferencia de medias poblacionales
con coeficiente de confianza indicado por el usuario; los campos T, gl y p, cuando son activados,
permiten la visualización del estadístico de la prueba, los grados de libertad de la distribución del
mismo y el valor p de la prueba de hipótesis realizada.
En este menú se puede realizar la prueba de homogeneidad de varianzas (H0: 12 =  22 versus H1:
 12   22 ) cuyo valor p se informará en la salida como p(Var.Hom.). InfoStat seleccionará el
estadístico T para varianzas heterogéneas o para varianzas homogéneas según el resultado de la
prueba. Se podrá especificar el nivel de significación a usar en la prueba de homogeneidad de
varianzas.
Nota: recuerde que el valor p permite rechazar la H0 interpretándose de la siguiente manera: si p es
mayor que el nivel de significación fijado para la prueba () no se rechaza la hipótesis nula; si p
es menor o igual que  se rechaza la hipótesis nula.
2) Realice esta prueba con otros problemas del libro “Estadística para las Ciencias Agropecuarias”
(capítulo 7).
Problema 5: Prueba T para observaciones apareadas
Para estudiar el efecto de la polinización sobre el peso promedio de las semillas obtenidas, se
efectuó un experimento sobre 10 plantas. La mitad de cada planta fue polinizada y la otra mitad no.
Se pesaron las semillas de cada mitad por separado, registrándose de cada planta un par de
observaciones. El archivo Poliniza.idb contiene los valores registrados en el estudio, en la forma en
que debieran ser ingresados en InfoStat.
1) Utilice el menú Estadísticas  Inferencia basada en dos muestras  Prueba T apareada para
realizar el contraste de las siguientes hipótesis: H0: Polinizadas = NoPolinizadas versus H1: Polinizadas ≠
NoPolinizadas. Interprete los resultados obtenidos.
Nota: en el selector de variable de InfoStat se deberá elegir como variables aquellas que identifican
las dos columnas del archivo.
2) Realice esta prueba con otros problemas del libro “Estadística para las Ciencias Agropecuarias”
(capítulo 7).
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