talf, 2004 - Universidad de La Serena

Talf-2004
Dr. Eric Jeltsch F
Ingeniería en Computación
Universidad de La Serena
(basado en libros (1), (2), (3) y (4))
TALF 2004
Ingeniería en Computación, ULS
1
Bibliografía
(1) Dean, Kelley, "Teoria de Autó matas y Lenguajes
Formales", Prentice Hall, 1995.
(2) C. Papadimitriou, H. Lewis, "Elements of the Theory of
Computation", Prentice Hall, 1980.
(3) Hopcroft, Ullman, "Introduction to Automata Theory,
Languages and Computation", Addison Wesley, 1981.
(4) Cohen Daniel,"Introduction to Computer Theory", John
Wiley & Sons, 1997.
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2
Lenguajes Formales
de
String
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3
Un lenguaje es un conjunto de strings
String: Una sucesión de letras/simbolos
Ejemplo: “perro”, “gato”, “casa”, …
definidos sobre un Alfabeto Σ :
Σ = {a, b, c,K, z}
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4
Alfabeto y Strings
Si usamos como alfabeto:
Strings
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a
ab
abba
baba
aaabbbaabab
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Σ = {a, b}
u = ab
v = bbbaaa
w = abba
5
Operaciones con String
w = a1a2 L an
abba
bbbaaa
v = b1b2 Lbm
Concatenación
wv = a1a2 L anb1b2 Lbm
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abbabbbaaa
6
w = a1a2 L an
ababaaabbb
Reverso
R
w = an L a2 a1
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bbbaaababa
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Largo de un String
w = a1a2 L an
Largo:
Ejemplo:
w =n
abba = 4
aa = 2
a =1
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Largo de la Concatenation
Comportamiento logarítmico:
uv = u + v
Ejemplo:
u = aab, u = 3
v = abaab, v = 5
uv = aababaab = 8
uv = u + v = 3 + 5 = 8
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9
String Vacío
Un string sin ninguna letra:
Observaciones:
λ
λ =0
λw = wλ = w
λabba = abbaλ = abba
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Substring
Substring de un string: Una subsucesión de
caracteres consecutivos.
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String
Substring
abbab
abbab
abbab
abbab
ab
abba
b
bbab
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Prefijo y Sufijo
abbab
Prefijos
λ
a
ab
abb
abba
abbab
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Sufijos
abbab
bbab
bab
ab
b
λ
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w = uv
prefijo
sufijo
12
Otras Operaciones
n
w =1
ww
w
L
42
4
3
n
Ejemplo:
Definición:
(abba ) = abbaabba
2
0
w =λ
(abba ) = λ
0
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La Operación *
Σ * : el conjunto de todos los posibles strings
de un alfabeto Σ
Σ = {a, b}
Σ* = {λ , a, b, aa, ab, ba, bb, aaa, aab,K}
Σ = {0,1}
Σ* = {λ ,0,1,00,10,11,01, K}
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14
La Operación +
+ : el conjunto de todos los strings posibles
Σ
desde el alfabeto Σ excepto λ
Σ = {a, b}
Σ* = {λ , a, b, aa, ab, ba, bb, aaa, aab,K}
+
Σ = Σ * −λ
+
Σ = {a, b, aa, ab, ba, bb, aaa, aab,K}
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Lenguajes
Un lenguaje es cualquier subconjunto de
Σ*
Ejemplo:
Σ = {a, b}
Σ* = {λ, a,b, aa, ab, ba,bb, aaa,K}
Lenguajes:
{λ}
{a, aa, aab}
{λ , abba, baba, aa, ab, aaaaaa}
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Observar:
Conjunto
∅ = { } ≠ {λ}
Tamaño del Conjunto
{} = ∅ = 0
Largo String
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{λ} = 1
λ =0
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Otros Ejemplos
Un lenguaje infinito
λ
ab
aabb
aaaaabbbbb
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n n
L = {a b : n ≥ 0}
∈L
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abb ∉ L
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Operaciones sobre Lenguajes
Las operaciones usuales
{a, ab, aaaa} U {bb, ab} = {a, ab, bb, aaaa}
{a, ab, aaaa} I {bb, ab} = {ab}
{a, ab, aaaa} − {bb, ab} = {a, aaaa}
Complemento:
L = Σ * −L
{a, ba} = {λ , b, aa, ab, bb, aaa,K}
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Reverso
Definición:
Ejemplo:
R
R
L = {w : w ∈ L}
{ab, aab, baba} = {ba, baa, abab}
R
n n
L = {a b : n ≥ 0}
R
n n
L = {b a : n ≥ 0}
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Concatenación
Definición:
Ejemplo:
L1L2 = {xy : x ∈ L1, y ∈ L2 }
{a, ab, ba}{b, aa}
= {ab, aaa, abb, abaa, bab, baaa}
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Otra Operación
Definición:
n
L3
L =1
LL2
L
n
{a, b} = {a, b}{a, b}{a, b} =
{aaa, aab, aba, abb, baa, bab, bba, bbb}
3
Caso especial:
0
L = {λ}
0
{a , bba , aaa } = {λ}
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Más Ejemplos
n n
L = {a b : n ≥ 0}
2
n n m m
L = {a b a b : n, m ≥ 0}
2
aabbaaabbb ∈ L
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Clausura de Kleene(*)
Definición:
Ejemplo:
0
1
2
L* = L U L U L L

λ ,

a, bb,


{a, bb}* = 

aa
abb
bba
bbbb
,
,
,
,


aaa, aabb, abba, abbbb,K
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Clausura Positiva
Definición:
+
1
2
L = L U L UL
= L * −{λ}
a, bb,


+ 
{a, bb} = aa, abb, bba, bbbb,

aaa, aabb, abba, abbbb,K


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