Ejercicios resueltos sobre multiplicación de polinomios.

Multiplicación de Polinomios
Ejercicios de multiplicación de polinomios
www.math.com.mx
José de Jesús Angel Angel
[email protected]
c 2007-2008
MathCon ⃝
Contenido
1. Antecedentes
2
2. Multiplicación de monomios
4
3. Multiplicación de un monomio por un polinomio
11
4. Multiplicación de Polinomios
14
Antecedentes
La multiplicación de polinomios se lleva a cabo usando las reglas de los números reales de campo (aún
si los coeficientes son complejos). Entonces lo más importante al realizar multiplicación de polinomios
es tener en mente las reglas de campo de los números reales.
Propiedades de grupo abeliano de los R con la suma (R, +).
1. Para todo reales a, b, entonces a + b ∈ R, (cerradura).
2. Pata todo reales a, b, entonces a + b = b + a, (conmutatividad).
3. Para todo reales a, b, c, tenemos que a + (b + c) = (a + b) + c, (asociatividad).
∨
4. Existe un elemento 0 ∈ R, llamado cero, tal que a + 0 = 0 + a = a, a ∈ R, (existencia del
neutro aditivo).
5. Para todo a ∈ R, existe un real llamado inverso aditivo (−a), tal que a+(−a) = 0, (existencia
del inverso aditivo).
Propiedades de grupo abeliano de los R con el producto (R∗ , ·), R∗ = R − {0}.
6 Para todo reales a, b, entonces a · b ∈ R, (cerradura).
7 Pata todo reales a, b, entonces a · b = b · a, (conmutatividad).
8 Para todo reales a, b, c, tenemos que a · (b · c) = (a · b) · c, (asociatividad).
∨
9 Existe un elemento 1 ∈ R, llamado uno, tal que a · 1 = 1 · a = a, a ∈ R, (existencia del
neutro multiplicativo).
10 Para todo a ∈ R∗ , existe un real llamado inverso multiplicativo (a−1 ), tal que a · (a−1 ) = 1,
(existencia del inverso multiplicativo).
Propiedades distributiva del producto respecto a la suma en los R.
11 Para todo reales a, b, c, tenemos que a · (b + c) = a · b + a · c, (distributividad).
1
1. Antecedentes
3
A las propiedades anteriores las haremos referencia por el número del 1 al 11.
Otras de las propiedades que se derivan de las anteriores pero que son usadas frecuentemente con un
nombre especial se listan a continuación:
1. Ley de los signos:
a) + por + da +
b) − por + da −
c) + por − da −
d) − por − da +
2. Ley de los exponentes:
a) Al multiplicar potencias con la misma base, las potencias se suman: an · am = an+m
Haremos uso también de la siguiente notación:
1. Un monomio es un término como ax, donde a representa una constante y se llama coeficiente y
x representa una variable y se llama indeterminada. En general un monomio es un producto de
constantes y potencias de indeterminadas, como ax5
2. Un binomio tiene la forma de la suma de dos monomios: por ejemplo ax3 + bx6 .
3. Polinomio se usa para denotar a la suma de más de dos monomios, por ejemplo ax + bx2 + cx3 .
Multiplicación de monomios
1. ab por −ab
Paso 1 Usando la propiedad conmutativa, asociativa, ley de signos y la ley de los exponentes, obtenemos:
(ab)(−ab) =
−(abab)
= −aabb
= −a1+1 b1+1
= −a2 b2
Paso 2 Por lo tanto
(ab)(−ab) = −a2 b2
2. −3x3 y por xy
Paso 1 Usando la propiedad conmutativa, asociativa, ley de signos y la ley de los exponentes, obtenemos:
(−3x3 y)(xy) = −(3x3 yxy)
= −3x3 xyy
= −3x3+1 y 1+1
= −3x4 y 2
Paso 2 Por lo tanto
(−3x3 y)(xy) = −3x4 y 2
3. abc por c2 d
Paso 1 Usando la propiedad conmutativa, asociativa y la ley de los exponentes, obtenemos:
(abc)(c2 d) = (abcc2 d)
= abc3 d
2
2. Multiplicación de monomios
5
Paso 2 Por lo tanto
(abc)(c2 d) = abc3 d
4. abc por c2 d
Paso 1 Usando la propiedad conmutativa, asociativa y la ley de los exponentes, obtenemos:
(abc)(c2 d) =
(abcc2 d)
= abc1+2 d
= abc3 d
Paso 2 Por lo tanto
(abc)(c2 d) = abc3 d
5. −8m2 n4 por −9a2 mx3
Paso 1 Usando la propiedad conmutativa, asociativa, ley de signos y la ley de los exponentes, obtenemos:
(−8m2 n4 )(−9a2 mx3 ) = +(8m2 n4 9a2 mx3 )
= 8 · 9m2 mn4 a2 x3
= 72m2+1 n4 a2 x3
Paso 2 Por lo tanto
(−8m2 n4 )(−9a2 mx3 ) = 72m3 n4 a2 x3
6. −5am bn por −6a2 b3 x
Paso 1 Usando la propiedad conmutativa, asociativa, ley de signos y la ley de los exponentes, obtenemos:
(−5am bn )(−6a2 b3 x) = +(5am bn )(6a2 b3 x)
=
=
5 · 6am a2 bn b3 x
30am+2 bn+3 x
Paso 2 Por lo tanto
(−5am bn )(−6a2 b3 x) = 30am+2 bn+3 x
7. xm y n c por −xm y n cx
2. Multiplicación de monomios
6
Paso 1 Usando la propiedad conmutativa, asociativa, ley de signos y la ley de los exponentes, obtenemos:
(xm y n c)(−xm y n cx )
= −(xm y n c)(xm y n cx )
= −xm xm y n y n ccx
= −xm+m y n+n c1+x
= −x2m y 2n c1+x
Paso 2 Por lo tanto
(xm y n c)(−xm y n cx ) = −x2m y 2n c1+x
8. 4an bx por −abx+1
Paso 1 Usando la propiedad conmutativa, asociativa, ley de signos y la ley de los exponentes, obtenemos:
(4an bx )(−abx+1 ) = −(4an bx )(abx+1 )
= −4an abx bx+1
= −4an+1 bx+x+1
= −4an+1 b2x+1
Paso 2 Por lo tanto
(4an bx )(−abx+1 ) = −4an+1 b2x+1
9. 3xn+2 bn+5 por −5xn+5 bn+1
Paso 1 Usando la propiedad conmutativa, asociativa, ley de signos y la ley de los exponentes, obtenemos:
(3xn+2 bn+5 )(−5xn+5 bn+1 ) = −(3xn+2 bn+5 )(5xn+5 bn+1 )
= −3 · 5xn+2 xn+5 bn+5 bn+1
= −15xn+2+n+5 bn+5+n+1
= −15x2n+7 b2n+6
Paso 2 Por lo tanto
(3xn+2 bn+5 )(−5xn+5 bn+1 ) = −15x2n+7 b2n+6
10. −5ma nb−1 c−3 por −7m2a−3 nb−4 cd−1
Paso 1 Usando la propiedad conmutativa, asociativa, ley de signos y la ley de los exponentes, obtenemos:
(−5ma nb−1 c−3 )(−7m2a−3 nb−4 cd−1 ) =
+(5ma nb−1 c−3 )(7m2a−3 nb−4 cd−1 )
= 5 · 7ma m2a−3 nb−1 nb−4 c−3 cd−1
= 35ma+2a−3 nb−1+b−4 c−3+d−1
=
35m3a−3 n2b−5 cd−4
2. Multiplicación de monomios
7
Paso 2 Por lo tanto
(−5ma nb−1 c−3 )(−7m2a−3 nb−4 cd−1 ) = 35m3a−3 n2b−5 cd−4
11. am bn c por a2m−1 b3n+7 c−1
Paso 1 Usando la propiedad conmutativa, asociativa, ley de signos y la ley de los exponentes (a0 =
1), obtenemos:
(am bn c)(a2m−1 b3n+7 c−1 ) =
(am bn c)(a2m−1 b3n+7 c−1 )
= am+2m−1 bn+3n+7 c1−1
= a3m−1 b4n+7 c0
= a3m−1 b4n+7
Paso 2 Por lo tanto
12.
(am bn c)(a2m−1 b3n+7 c−1 ) = a3m−1 b4n+7
2
2
abc por a3 bn c1−s
3
7
Paso 1 Usando la propiedad conmutativa, asociativa, ley de signos y la ley de los exponentes (a0 =
1), obtenemos:
2
2
( abc)( a3 bn c1−s ) =
3
7
=
=
=
Paso 2 Por lo tanto
4
(abc)(a3 bn c1−s )
21
4 3 n 1−s
aa bb cc
21
4 4 n+1 1+1−s
a b
c
21
4 4 n+1 2−s
a b
c
21
2
4 4 n+1 2−s
2
a b
c
( abc)( a3 bn c1−s ) =
3
7
21
3
5
13. − x3 y 4 z a por − xn−3 y m−4 z b
5
6
Paso 1 Usando la propiedad conmutativa, asociativa, ley de signos y la ley de los exponentes (a0 =
1), obtenemos:
3
5
(− x3 y 4 z a )(− xn−3 y m−4 z b ) =
5
6
=
=
=
=
1
+ (x3 y 4 z a )(xn−3 y m−4 z b )
2
1 3 4 a n−3 m−4 b
(x y z )(x
y
z )
2
1 3 n−3 4 m−4 a b
x x
y y
z z
2
1 3+n−3 4+m−4 a+b
x
y
z
2
1 n m a+b
x y z
2
2. Multiplicación de monomios
Paso 2 Por lo tanto
14. −
8
3
5
1
(− x3 y 4 z a )(− xn−3 y m−4 z b ) = xn y m z a+b
5
6
2
2 x+1 x−3 2
44
a
b
c por − ax−3 b2 cy−2
11
7
Paso 1 Usando la propiedad conmutativa, asociativa, ley de signos y la ley de los exponentes (a0 =
1), obtenemos:
(−
2 x+1 x−3 2
44
a
b
c )(− ax−3 b2 cy−2 )
11
7
Paso 2 Por lo tanto
(−
8
+ (ax+1 bx−3 c2 )(ax−3 b2 cy−2 )
7
8 x+1 x−3 x−3 2 2 y−2
=
a
a
b
b c c
7
8 x+1+x−3 x−3+2 2+y−2
=
a
b
c
7
8 2x−2 x−1 y
=
a
b
c
7
=
2 x+1 x−3 2
44
8
a
b
c )(− ax−3 b2 cy−2 ) = a2x−2 bx−1 cy
11
7
7
15. (2a)(−a2 )(−3a3 )(4a)
Paso 1 Usando la propiedad conmutativa, asociativa, ley de signos y la ley de los exponentes (a0 =
1), obtenemos:
(2a)(−a2 )(−3a3 )(4a) =
(−)(−)(2)(3)(4)aa2 a3 a
=
=
(+)(24)a1+2 a3+1
(+)(24)a3 a4
=
=
24a3+4
24a7
Paso 2 Por lo tanto
(2a)(−a2 )(−3a3 )(4a) = 24a7
16. (4a2 )(−5a3 x2 )(−ax3 y)
Paso 1 Usando la propiedad conmutativa, asociativa, ley de signos y la ley de los exponentes (a0 =
1), obtenemos:
(4a2 )(−5a3 x2 )(−ax3 y) = (−)(−)(4)(5)a2 a3 x2 ax3 y)
= (−)(−)(4)(5)a2 a3 ax2 x3 y
= (+)(20)a2+3 ax2+3 y
= 20a5+1 x5 y
= 20a6 x5 y
2. Multiplicación de monomios
9
Paso 2 Por lo tanto
(4a2 )(−5a3 x2 )(−ax3 y) = 20a6 x5 y
17. (−am )(−2ab)(−3a2 bx )(by )
Paso 1 Usando la propiedad conmutativa, asociativa, ley de signos y la ley de los exponentes (a0 =
1), obtenemos:
(−am )(−2ab)(−3a2 bx )(by ) = (−)(−)(−)(2)(3)(am )(ab)(a2 bx )(by )
= (−)(−)(−)(2)(3)am aba2 bx by
= (−)(6)am aa2 bbx by
= −6am+1 a2 b1+x by
= −6am+1+2 b1+x+y
= −6am+3 b1+x+y
Paso 2 Por lo tanto
(−am )(−2ab)(−3a2 bx )(by ) = −6am+3 b1+x+y
18. (−am bx )(−2a2 b3 )(−2ab)(−3a2 x)
Paso 1 Usando la propiedad conmutativa, asociativa, ley de signos, y la ley de los exponentes (a0 =
1), obtenemos:
(−am bx )(−2a2 b3 )(−2ab)(−3a2 x)
= (−)(−)(−)(−)(2)(2)(3)(am bx )(a2 b3 )(ab)(a2 x)
= (+)(12)(am bx )(a2 b3 )(ab)(a2 x)
= 12am a2 aa2 bx b3 bx
= 12am+2+1+2 bx+3+1 x
= 12am+5 bx+4 x
Paso 2 Por lo tanto
(−am bx )(−2a2 b3 )(−2ab)(−3a2 x) = 12am+5 bx+4 x
1
2
3
19. ( an x3 )(− a2 x)(− am x2 ) .
2
3
5
Paso 1 Usando la propiedad conmutativa, asociativa, ley de signos y la ley de los exponentes (a0 =
1), obtenemos:
2
3
1 2 3
1
( an x3 )(− a2 x)(− am x2 ) = (−)(−)( )( )( )(an x3 )(a2 x)(am x2 )
2
3
5
2 3 5
1 n 3 2
= (+)( )(a x )(a x)(am x2 )
5
1 n 2 m 3 2
=
a a a x xx
5
1 n+2+m 3+1+2
=
a
x
5
1 2+n+m 6
=
a
x
5
2. Multiplicación de monomios
Paso 2 Por lo tanto
10
1
2
3
1
( an x3 )(− a2 x)(− am x2 ) = a2+n+m x6
2
3
5
5
1
3
10
3
20. (− x2 y 3 z)(− xyz −n )(− x−3 y −2 z m )(− x2 y) .
2
5
3
4
Paso 1 Usando la propiedad conmutativa, asociativa, ley de signos y la ley de los exponentes (a0 =
1), obtenemos:
1
3
10
3
(− x2 y 3 z)(− xyz −n )(− x−3 y −2 z m )(− x2 y) =
2
5
3
4
1 3 10 3
(−)(−)(−)(−)( )( )( )( )
2 5 3 4
(x2 y 3 z)(xyz −n )(x−3 y −2 z m )(x2 y)
3
= (+)( )(x2 y 3 z)(xyz −n )(x−3 y − 2z m )(x2 y)
4
3 2+1−3+2 3+1−2+1 1−n+m+1
x
y
z
=
4
3 2 3 m−n+2
=
x y z
4
Paso 2 Por lo tanto
1
3
10
3
3
(− x2 y 3 z)(− xyz −n )(− x−3 y −2 z m )(− x2 y) = x2 y 3 z m−n+2
2
5
3
4
4
Algunos errores comúnmente hechos:
Observación 1: Multiplicar (−a)(bc), no es igual a (−ab)(−ac).
Multiplicación de un monomio por un
polinomio
3
Observación 2: Al multiplicar un monomio por un polinomio se hace uso de la ley distributiva del
producto respecto a la suma a(b + c) = ab + ac.
Observación 3: De hecho la multiplicación de un monomio por un polinomio, es lo mismo que multiplicar el monomio por cada término del polinomio que son monomios. Es decir, esta operación es varias
veces la operación de la sección anterior.
1. (a3 − 4a2 + 6a) por (−ab)
Paso 1 Usando la propiedad conmutativa, asociativa, ley de signos, la ley de los exponentes (a0 = 1)
y la ley distributiva, obtenemos:
(a3 − 4a2 + 6a)(−ab) =
[(a3 )(−ab)] + [(−4a2 )(−ab)] + [(6a)(−ab)]
= −a3 ab − 4a2 ab − 6aab
= −a4 b + 4a3 b − 6a2 b
Paso 2 Por lo tanto
(a3 − 4a2 + 6a)(−ab) = −a4 b + 4a3 b − 6a2 b
2. (am bn + am−1 bn+1 − am−2 bn+2 ) por (3a2 b)
Paso 1 Usando la propiedad conmutativa, asociativa, ley de signos, la ley de los exponentes (a0 = 1)
y la ley distributiva, obtenemos:
(am bn + am−1 bn+1 − am−2 bn+2 )(3a2 b) =
[(am bn )(3a2 b)] + [(am−1 bn+1 )(3a2 b)]
−[(am−2 bn+2 )(3a2 b)]
= [3am+2 bn+1 ] + [3am−1+2 bn+1+1 ] − [3am−2+2 bn+2+1 ]
= 3am+2 bn+1 + 3am+1 bn+2 − 3am bn+3
3. Multiplicación de un monomio por un polinomio
12
Paso 2 Por lo tanto
(am bn + am−1 bn+1 − am−2 bn+2 )(3a2 b) = 3am+2 bn+1 + 3am+1 bn+2 − 3am bn+3
3. (x3 − 4x2 y + 6xy 2 ) por (ax3 y)
Paso 1 Usando la propiedad conmutativa, asociativa, ley de signos, la ley de los exponentes (a0 = 1)
y la ley distributiva, obtenemos:
(x3 − 4x2 y + 6xy 2 )(ax3 y) =
[(x3 )(ax3 y)] − [(4x2 y)(ax3 y)] + [(6xy 2 )(ax3 y)]
= [ax3+3 y] − [4ax2+3 y 1+1 ] + [6ax1+3 y 2+1 ]
= ax6 y − 4ax5 y 2 + 6ax4 y 3
Paso 2 Por lo tanto
(x3 − 4x2 y + 6xy 2 )(ax3 y) = ax6 y − 4ax5 y 2 + 6ax4 y 3
4. (xa+5 − 3xa+4 + xa+3 − 5xa+1 ) por (−2x2 )
Paso 1 Usando la propiedad conmutativa, asociativa, ley de signos, la ley de los exponentes (a0 = 1)
y la ley distributiva, obtenemos:
(xa+5 − 3xa+4 + xa+3 − 5xa+1 )(−2x2 )
=
[(xa+5 )(−2x2 )] + [(−3xa+4 )(−2x2 )]
+[(xa+3 )(−2x2 )] + [(−5xa+1 )(−2x2 )]
= [−2xa+5+2 ] + [(−)(−)6xa+4+2 ]
−[2xa+3+2 ] + [(−)(−)10xa+1+2 ]
= [−2xa+7 ] + [6xa+6 ] − [2xa+5 ] + [10xa+3 ]
= −2xa+7 + 6xa+6 − 2xa+5 + 10xa+3
Paso 2 Por lo tanto
(xa+5 − 3xa+4 + xa+3 − 5xa+1 )(−2x2 ) = −2xa+7 + 6xa+6 − 2xa+5 + 10xa+3
3
2
2
5. ( a − b) por (− a3 b)
3
4
3
Paso 1 Usando la propiedad conmutativa, asociativa, ley de signos, la ley de los exponentes (a0 = 1)
y la ley distributiva, obtenemos:
3
2
2
2
3
2
2
( a − b)(− a3 b) = [( a)(− a3 b)] + [(− b)(− a3 b)]
3
4
3
3
3
4
3
4 4
1 3 2
= −( a b) + ( a b )
9
2
Paso 2 Por lo tanto
2
3
2
4
1
( a − b)(− a3 b) = − a4 b + a3 b2
3
4
3
9
2
3. Multiplicación de un monomio por un polinomio
13
3
1
2
5
6. ( a − b + c) por (− ac2 ) .
5
6
5
3
Paso 1 Usando la propiedad conmutativa, asociativa, ley de signos, la ley de los exponentes (a0 = 1)
y la ley distributiva, obtenemos:
3
1
2
5
( a − b + c)(− ac2 ) =
5
6
5
3
3
5
1
5
[( a)(− ac2 )] + [(− b)(− ac2 )]
5
3
6
3
2
5 2
+[( c)(− ac )]
5
3
5
2
2 2
= [−a c ] + [ abc2 ] − [ ac3 ]
18
3
2 3
5
2
2 2
= −a c + abc − ac
18
3
Paso 2 Por lo tanto
3
1
2
5
5
2
( a − b + c)(− ac2 ) = −a2 c2 + abc2 − ac3
5
6
5
3
18
3
2
1
5
1
3
7. ( m3 + m2 n − mn2 − n3 ) por ( m2 n3 )
3
2
6
9
4
Paso 1 Usando la propiedad conmutativa, asociativa, ley de signos, la ley de los exponentes (a0 = 1)
y la ley distributiva, obtenemos:
2
1
5
1
3
( m3 + m2 n − mn2 − n3 )( m2 n3 ) =
3
2
6
9
4
2
3
1
3
[( m3 )( m2 n3 )] + [( m2 n)( m2 n3 )]
3
4
2
4
5
1 3 3 2 3
2 3 2 3
−[( mn )( m n )] − [( n )( m n )]
6
4
9
4
1 5 3
3 4 4
=
m n + m n
2
12
5 3 5
1
− m n − n6 m 2
8
12
Paso 2 Por lo tanto
2
1
5
1
3
1
3
5
1
( m3 + m2 n − mn2 − n3 )( m2 n3 ) = m5 n3 + m4 n4 − m3 n5 − n6 m2
3
2
6
9
4
2
12
8
12
Multiplicación de Polinomios
La multiplicación de polinomios se lleva a cabo de manera similar que las anteriores, multiplicando
cada término del primer polinomio por cada uno del segundo polinomio.
Observación 4: Al multiplicar polinomios hay que tener mucho cuidado al eliminar paréntesis ya que
los signos pueden ser afectados. Un signo fuera de un paréntesis afecta a todos los términos dentro del
paréntesis.
Observación 5: El procedimiento general es multiplicar cada término de un polinomio por todos los
términos del otro y posteriormente A6ucir términos semejantes.
Observación 6: Se sugiere que primero se practique ejemplos de dos o tres términos a lo más de manera
amplia y después se realicen ejemplos más grandes, que de esta manera NO deben de ofrecer obstáculo
alguno.
1. (a − 3) por (a + 1)
Paso 1 Usando la propiedad conmutativa, asociativa, ley de signos, la ley distributiva y la ley de los
exponentes (a0 = 1), obtenemos:
(a − 3)(a + 1)
= (a − 3)a + (a − 3)(1)
= (aa − 3a) + (a − 3)
= (a2 − 3a) + (a − 3)
= a2 − 3a + a − 3
= a2 − 2a − 3
Paso 2 Por lo tanto
(a − 3)(a + 1) = a2 − 2a − 3
4
4. Multiplicación de Polinomios
15
2. (5a − 7b) por (a + 3b)
Paso 1 Usando la propiedad conmutativa, asociativa, ley de signos, la ley distributiva y la ley de los
exponentes (a0 = 1), obtenemos:
(5a − 7b)(a + 3b) = (5a − 7b)a + (5a − 7b)(3b)
= (5a2 − 7ab) + (15ab − 21b2 )
= 5a2 − 7ab + 15ab − 21b2
= 5a2 + 8ab − 21b2
Paso 2 Por lo tanto
(5a − 7b)(a + 3b) = 5a2 + 8ab − 21b2
3. (−4y + 5x) por (−3x + 2y)
Paso 1 Usando la propiedad conmutativa, asociativa, ley de signos, la ley distributiva y la ley de los
exponentes (a0 = 1), obtenemos:
(−4y + 5x)(−3x + 2y) =
(−4y + 5x)(−3x) + (−4y + 5x)(2y)
= 12xy − 15x2 − 8y 2 + 10xy
= 22xy − 15x2 − 8y 2
Paso 2 Por lo tanto
(−4y + 5x)(−3x + 2y) = 22xy − 15x2 − 8y 2
4. (6m − 5n) por (−n + m)
Paso 1 Usando la propiedad conmutativa, asociativa, ley de signos, la ley distributiva y la ley de los
exponentes (a0 = 1), obtenemos:
(6m − 5n)(−n + m) = (6m − 5n)(−n) + (6m − 5n)(m)
= −6mn + 5n2 + 6m2 − 5nm
= 6m2 + 5n2 − 11mn
Paso 2 Por lo tanto
(6m − 5n)(−n + m) = 6m2 + 5n2 − 11mn
5. (x2 + xy + y 2 ) por (x − y)
Paso 1 Usando la propiedad conmutativa, asociativa, ley de signos, la ley distributiva y la ley de los
exponentes (a0 = 1), obtenemos:
(x2 + xy + y 2 )(x − y) =
(x2 + xy + y 2 )(x) + (x2 + xy + y 2 )(−y)
= x3 + x2 y + xy 2 − x2 y − xy 2 − y 3
= x3 − y 3
4. Multiplicación de Polinomios
16
Paso 2 Por lo tanto
(x2 + xy + y 2 )(x − y) = x3 − y 3
6. (m3 − m2 + m − 2) por (am + a)
Paso 1 Usando la propiedad conmutativa, asociativa, ley de signos, la ley distributiva y la ley de los
exponentes (a0 = 1), obtenemos:
(m3 − m2 + m − 2)(am + a) = (m3 − m2 + m − 2)(am) + (m3 − m2 + m − 2)(a)
= am4 − am3 + am2 − 2am + am3 − am2 + am − 2a
= am4 − am − 2a
Paso 2 Por lo tanto
(m3 − m2 + m − 2)(am + a) = am4 − am − 2a
7. (a2 + a + 1) por (a2 − a − 1)
Paso 1 Usando la propiedad conmutativa, asociativa, ley de signos, la ley distributiva y la ley de los
exponentes (a0 = 1), obtenemos:
(a2 + a + 1)(a2 − a − 1) = (a2 + a + 1)(a2 ) + (a2 + a + 1)(−a) + (a2 + a + 1)(−1)
= a4 + a3 + a2 − a3 − a2 − a − a2 − a − 1
= a4 − 2a − a2 − 1
Paso 2 Por lo tanto
(a2 + a + 1)(a2 − a − 1) = a4 − 2a − a2 − 1
8. (x2 + y 2 + z 2 − xy − xz − yz) por (x + y + z)
Paso 1 Usando la propiedad conmutativa, asociativa, ley de signos, la ley distributiva y la ley de los
exponentes (a0 = 1), obtenemos:
(x2 + y 2 + z 2 − xy − xz − yz)(x + y + z)
=
(x2 + y 2 + z 2 − xy − xz − yz)(x)
+(x2 + y 2 + z 2 − xy − xz − yz)(y)
+(x2 + y 2 + z 2 − xy − xz − yz)(z)
= x3 + xy 2 + xz 2 − x2 y − x2 z − xyz
+yx2 + y 3 + yz 2 − xy 2 − xyz − y 2 z
+x2 z + y 2 z + z 3 − xyz − xz 2 − yz 2
= x3 + +y 3 + z 3 − 3xyz
Paso 2 Por lo tanto
(x2 + y 2 + z 2 − xy − xz − yz)(x + y + z) = x3 + +y 3 + z 3 − 3xyz
9. (an b − an−1 b2 + 2an−2 b3 − an−3 b4 ) por (an b2 − an−2 b4 )
4. Multiplicación de Polinomios
17
Paso 1 Usando la propiedad conmutativa, asociativa, ley de signos, la ley distributiva y la ley de los
exponentes (a0 = 1), obtenemos:
(an b − an−1 b2 + 2an−2 b3 − an−3 b4 )
(an b2 − an−2 b4 ) =
(an b − an−1 b2 + 2an−2 b3 − an−3 b4 )(an b2 )
(an b − an−1 b2 + 2an−2 b3 − an−3 b4 )(−an−2 b4 )
= a2n b3 − a2n−1 b4 + 2a2n−2 b5 − a2n−3 b6
−a2n−2 b5 + a2n−3 b6 − 2a2n−4 b7 + a2n−5 b8 )
= a2n b3 − a2n−1 b4 + a2n−2 b5 − 2a2n−4 b7 + a2n−5 b8
Paso 2 Por lo tanto
(an b−an−1 b2 +2an−2 b3 −an−3 b4 )(an b2 −an−2 b4 ) = a2n b3 −a2n−1 b4 +a2n−2 b5 −2a2n−4 b7 +a2n−5 b8
10. (a2m+1 − 5a2m+2 + 3a2m ) por (a3m−3 + 63m−1 − 8a3m−2 )
Paso 1 Usando la propiedad conmutativa, asociativa, ley de signos, la ley distributiva y la ley de los
exponentes (a0 = 1), obtenemos:
(a2m+1 − 5a2m+2 + 3a2m )
(a3m−3 + 6a3m−1 − 8a3m−2 )
= (a2m+1 − 5a2m+2 + 3a2m )(a3m−3 )
(a2m+1 − 5a2m+2 + 3a2m )(6a3m−1 )
(a2m+1 − 5a2m+2 + 3a2m )(−8a3m−2 )
= a5m−2 − 5a5m−1 + 3a5m−3
6a5m − 30a5m+1 + 18a5m−1
−8a5m−1 + 40a5m − 24a5m−2
= −23a5m−2 + 5a5m−1 + 3a5m−3 + 46a5m − 30a5m+1
Paso 2 Por lo tanto
(a2m+1 −5a2m+2 +3a2m )(a3m−3 +63m−1 −8a3m−2 ) = −23a5m−2 +5a5m−1 +3a5m−3 +46a5m −30a5m+1