Razón simple

Facultad de Ciencias Exactas, Ingenierı́a y Agrimensura
Departamento de Matemática - Escuela de Ciencias Exactas y Naturales
Geometrı́a II
Licenciatura y Profesorado en Matemática - Año 2014
Equipo docente: Viviana del Barco y Mariana Cisneros
Razón simple de puntos colineales.
Recordemos primero la definición de la razón simple. Sea VK un espacio vectorial sobre un cuerpo K.
Sean p, q dos puntos distintos en VK . Si x 6= q un punto colineal con p y q, es decir x ∈ hh{p, q}ii, se tiene
que
(1)
x = tq + (1 − t)p
para algún t ∈ K, t 6= 1.
Se define razón simple de x con respecto a p y q como el escalar α = t(1 − t)−1 y lo denotamos α(p, q; x) =
t(t − 1)−1 . Notar que α(p, q; x) es siempre distinto de −1.
Ejemplo 1. Sea V = Z22 como espacio vectorial sobre Z2 . Tomamos p = (0, 1) y q = (1, 1) que son dos
puntos distintos en VK y determinan la recta hh{p, q}ii que se escribe como espacio afı́n
hh{p, q}ii = p + hq − pi = (0, 1) + h (1, 0) i .
Es fácil ver que esta recta tiene exactamente dos puntos y ellos son p y q. Si queremos calcular la razón
simple de algún punto x de la recta hh{p, q}ii con x 6= q, sólo podemos elegir x = p. En tal caso x = 0q + 1p
y por lo tanto α(p, q; p) = 0(1 − 0)−1 = 0.
Ejemplo 2. Sea V = Z23 como espacio vectorial sobre Z3 . Tomamos p = (0, 1) y q = (1, 1) que son dos
puntos distintos en VK y determinan la recta hh{p, q}ii que se escribe como espacio afı́n
hh{p, q}ii = p + hq − pi = (0, 1) + h (1, 0) i .
En este caso el espacio vectorial h (1, 0) i tiene tres elementos:
h (1, 0) i = {(0, 0), (1, 0), (2, 0)}
1
2
por lo tanto la recta hh{p, q}ii tiene tres puntos, a saber:
hh{p, q}ii = {(0, 1), (1, 1), (2, 1)}.
Si tomamos x = p = (0, 1), nuevamente obtenemos x = 0q + 1p y α(p, q; p) = 0. Por otro lado si y = (2, 1),
resulta y = 2q + 2p (¡¡notar que 2 + 2 = 1!!) y la razón simple es α(p, q; y) = 22−1 = 1. En particular y es
el punto medio de p y q.
Queda el lector invitado a probar que q es el punto medio de x y p, y también p es el punto medio de x
y q.
Vemos entonces que dada una recta A en el espacio afı́n VK donde A = hh{p, q}ii, cada punto x 6= q tiene
asociado un escalar α(p, q; x) y por lo tanto queda definida la función
α(p, q; ·) : hh{p, q}ii − {q} −→ K − {−1}
x = tq + (1 − t)p
7→
α(p, q; x) = t(1 − t)−1 .
Además, para cada β ∈ K, β 6= −1, existe un punto x en la recta que determinan p y q, distinto de q, de
manera que la razón simple α(p, q; x) sea igual a β. Esto lo demostramos de la siguiente manera: si β ∈ K,
β 6= −1, entonces podemos definir t = β(β + 1)−1 . Calculamos 1 − t y obtenemos
1 − t = 1 − β(β + 1)−1 = (β + 1)−1 .
Luego tomamos y como el punto de la recta hh{p, q}ii cuyas coordenadas baricéntricas en p y q sean 1 − t
y t respectivamente, es decir, sea y = β(β + 1)−1 q + (β + 1)−1 p. Es claro que y 6= q pues β(β + 1)−1 es
distinto de 1. Además, si calculamos la razón simple α(p, q; y) obtenemos
α(p, q; y) = t(1 − t)−1 = β(β + 1)−1 (β + 1) = β.
Queda demostrado entonces que la siguiente función es la inversa de α(p, q; ·):
K − {−1} −→ hh{p, q}ii − {q}
β
7→
y = β(β + 1)−1 q + (β + 1)−1 p.
El hecho que la función α(p, q; ·) sea una función biyectiva permite concluir que si V es un espacio
vectorial sobre un cuerpo K, entonces toda recta de V tiene |K| (cardinal de K) puntos. Por ejemplo, si
V es un espacio vectorial sobre Z2 , entonces toda recta tiene exactamente dos puntos; si V es un espacio
vectorial sobre Z3 , entonces toda recta tiene exactamente tres puntos; si V es un espacio vectorial sobre
Zp , entonces toda recta tiene exactamente p puntos; si V es un espacio vectorial sobre Q, entonces toda
recta tiene una cantindad infinita numerable de puntos; si V es un espacio vectorial sobre R o C entonces
toda recta tiene una cantidad infinita no numerable de puntos.
Ejemplo 3. Sea V = R3 como espacio vectorial sobre R. Tomamos la recta determinada por los puntos
p = (0, 1, 0) y q = (0, 0, 1). Estos puntos determinan la recta que en ecuaciones paramétricas se tiene


 x=0
y =1−λ


z=λ
λ ∈ R.
3
Tomamos un punto en la recta al azar: x = p. Es claro que x = 0q + 1p y por lo tanto α(p, q; p) = 0 (¿se
está dando cuenta de alguna situación repetitiva?).
Ahora sı́, elegimos un punto genérico en la recta w = (0, 1 − λ, λ) y pedimos λ 6= 1 para que w sea
diferente a q. Para calcular la razón simple α(p, q; w) escribimos:
w = (0, 1 − λ, λ) = λ(0, 0, 1) + (1 − λ) (0, 1, 0) = λq + (1 − λ)p
de donde resulta α(p, q; w) = λ(1 − λ)−1 . Es decir que la razón simple de un punto w en la recta, está relacionado con el parámetro que define la recta.
La razón simple como proporción.
Fijamos V = Rn como espacio vectorial real. Consideramos p y q dos puntos distintos en Rn y x un
punto colineal con ambos tal que x 6= q. Como ya sabemos x = tq + (1 − t)p para algún t ∈ R, t 6= 1. Es
posible reescribir esta ecuación como:
(2)
p − x = t(p − q).
Este procedimiento es posible al considerar la estructura afı́n de Rn .
Si pensamos a Rn como espacio euclı́deo (con una métrica), podemos considerar los segmentos pq, px, y
calcular las longitudes de los mismos obteniendo:
p
| pq | = d(p, q) = hp − q, p − qi
y
| px | = d(p, x) =
p
hp − x, p − xi.
Usando aquı́ la fórmula (2), tenemos que
p
p
| px | = hp − x, p − xi = ht(p − q), t(p − q)i = |t| | pq |
por lo tanto
α(p, q; x) | px |
.
= |t| = | pq |
α(p, q; x) + 1 Por lo tanto la razón simple mide la proporción entre dos segmentos.
Este es el motivo por el cual muchos de los teoremas vistos en Geometrı́a I que relacionan proporciones
entre segmentos (Teorema de Thales, por ejemplo) pueden ser traducidos a teoremas de Geometrı́a Afı́n
que relacionan razones simples de puntos colineales.
Para una mejor comprensión del concepto, se proponen los siguientes ejercicios:
4
1. Sea en R2 la recta x = 2; sean p = (2, 1) y q = (2, −1). Encuentre en esta recta los puntos x que
tienen razón simple α(p, q; x) igual a 0, 1,
5
4
e igual a −π.
2. Pruebe que siempre que A = hh{p, q}ii se tiene α(p, q; p) = 0. Demuestre que si p, q y x son tres
puntos distintos y colineales, y α = α(p, q; x) entonces
α(q, p; x) =
1
,
α
α(x, p; q) = −α−1 (1 + α−1 ).