SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES (SEL) Sea L : IRn → IR

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
(SEL)
Sea L : IRn → IR una función lineal y b ∈ IRm . El problema de determinar si b ∈ ImL, i.e.,
si existe x ∈ IRn tal que L(x) = b permite definir un S.E.L.
En efecto, si A es la matriz que representa a L con respecto a las bases canonicas entonces
L(x) = b ssi Ax = b (en esta igualdad x y b se consideran como vectores columnas de n × 1
y m×1, respectivamente) y del producto e igualdad de matrices se obtiene el siguiente S.E.L.
a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn = b2
..
.. ..
.
. .
am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn = bn
Rango de una matriz.
Sea A un matriz de m × n. El rango fila de A es igual al número máximo de filas l.indep.,
y el rango columna de A es igual al número máximo de columnas l.indep.
Propiedad: rango fila de A = rango columna de A.
El rango de A es igual al rango fila (columna) de A, y se denota por r(A)
(r(A) ≤ min{m, n}).
Sea r = r(A). Una base B de A es una submatriz de A formada por r columnas l.indep.
de A.
Propiedad.
¡n¢ Sea A de m × n. Si r = r(A), el número de bases (distintas) de A es a lo mas
igual a r = n!/(n − r)!r!
Sea Ax = b un S.E.L., donde A es de m × n, b de m × 1 y x de n × 1.
• x̄ es solución de Ax = b ssi Ax̄ = b ssi
[b = x̄1 a1 + x̄2 a2 + · · · + x̄n an (aj columna j de A)]
• una solución x̄ de Ax = b se dice que usa la columna j de A ssi x̄j 6= 0.
• una solución x̄ de Ax = b se llama solución básica ssi las columnas de A que usa x̄
son l.indep.
Solución básica asociada a una base.
Sea A de m × n tal que r(A) = m (m ≤ n), y sea B una base de A
(i.e., B está formada por m columnas de A que son l.indep.). Si N denota la matriz formada
por las restantes µ
n − m ¶columnas de A, entonces
xB
= b ⇔ BxB + N xN = b ⇔ xB = B −1 b − B −1 N xN = b̄ − N̄ xN
Ax = b ⇔ [BN ]
x
N
¶ µ ¶ µ
¶
µ
b̄
−N̄
xB
=
+
xN , es solución de Ax = b
⇒x=
xN
0
In−m
1
µ
¶
b̄
Definición. El vector x̄ =
es la solución básica asociada a la base B.
0
El vector
µ xh =
¶ QxN es solución del sistema homogeneo Ax = 0,
−N̄
Q=
y cada columna de Q es también solución de Ax = 0.
In−m
Las columnas de Q son linealmente independienes, y se llaman soluciones básicas
homogeneas
asociadas a B.
µ (s.b.h.)
¶
b̄
El vector
y las n − m columnas de Q determinan la representación puntual
0
del conjunto S de las soluciones del sistema Ax = b, asociadas a la base B, i.e., si S0
es el conjunto de las soluciones de Ax = 0, entonces S = {x̄} + S0 , y para la base B:
µ
¶
µ
¶
solución de
comb. lineal de
= (s.b.) +
Ax = b
las s.b.h.
Obtención de la s.b. y las s.b.h. asociadas a B
Sea B la base de A formada por las columnas aj1 , aj2 , . . . ajm , y sea b̄ = B −1 b. (columna 1
de B = aj1 , columna 2 de B = aj2 , . . . , columna m de B = ajm ).
Las componentes x̄j de la s.b. x̄ asociada a B se determinan como sigue:
x̄jk = b̄k , k = 1, 2, . . . , m, y x̄j = 0 para las restantes componentes j 6= jk
Si N está formada por las columnas al1 , al2 , . . . , alp (p = n − m) de A, entonces las columnas
de Q se obtienen como sigue:
la columna k de Q, qk (k = 1, . . . , n − m), se determina con el vector ālk = B −1 alk y con el
indice lk :
µ
¶
µ
¶ µ
¶
µ
¶
componente jk
componente k
componente
resto de las
=−
; l de q
= +1;
=0
de q
de ā
componente de q
k
lk
k
k
k
Las variables xj1 , xj2 , . . . , xjm son las variables básicas asociadas a B (las restantes son
no-básicas)
La siguiente propiedad resume los casos posibles para el conjunto de las soluciones de Ax = b.
Propiedad. Para un S.E.L. Ax = b, se cumple una y solo una de las siguientes proposiciones:
(1) Si r(Ab) > r(A), entonces el sistema no tiene solución.
(2) Si r(Ab) = r(A) = n, entonces el sistema tiene una única solución.
(3) Si r(Ab) = r(A) < n, entonces el sitema tiene infinitas soluciones.
2
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
(Ejemplo 1)
Problema : Sea Ax = b un S.E.L., donde A es de m × n, b de m × 1 y r(A) = m y sea B una
base de A (formada por m columnas de A l.indep.)
B = (colj1 colj2 . . . coljm ), coljk = ajk = columna jk de A.
Obtenga la representación puntual del conjunto de soluciones del sistema, asociada a
la base dada B de A.
Solución. Se aplica el método de Gauss a la matriz aumentada (Ab), de modo de transformar
cada columna k de B en la columna ek de I, i.e., transformar la base B en la matriz
identidad de orden m mediante (a lo más) m pivotes : si (A(k) b(k) ) denota la matriz
obtenida al término del pivote k (con (A(0) b(0) ) = (Ab)), entonces el pivote k + 1,
transforma la columna jk+1 de A(k) en la columna ek+1 0 ≤ k ≤ m − 1.
Los cálculos se efectuan en “cuadros” que contienen las matrices (A(k) b(k) ) partiendo
con (Ab).
Aplicación al siguiente S.E.L., usando la base B = (col5 col1 col3)
x1 + 3x2 + 2x3 + x4 − 2x5
=3
−x1 + x2 + 2x3 − x4 + x5 + 2x6 = −1
x2 + x3 + x4
− x6 = 0






1 3 2
1 −2
0
3
−2
1 2
1
2  , b =  −1  , B =  1 −1 2 
A =  −1 1 2 −1
0 1 1
1
0 −1
0
0
0 1
Cuadro Inicial
1 3 2 1 -2 0
-1 1 2 -1 1 2
0 1 1 1 0 -1
3 Pivote 1: Transformar col5 en e1 (pivote en(1,5))
-1 (f 1)0 = − 12 (f 1); (f 2)0 = (f 2) + 21 (f 1)
0 (f 3)0 = (f 3)
Cuadro resultante
-1/2 -3/2 -1 -1/2 1 0
-1/2 5/2 3 -1/2 0 2
0
1
1
1
0 1
-3/2
1/2 = [A(1) b(1) ]
0
Pivote 2: Transformar col1 en e2
(pivote en (2, 1) en (A(1) b(1) )
(f 2)0 = −2(f 2); (f 1)0 = (f 1) − (f 2)
(f 3)0 = (f 3)
Cuadro resultante
0 -4 -4 0 1 -2
1 -5 -6 1 0 -4
0 1 1 1 0 -1
3
-2
-1 = (A(2) b(2) )
0
Cuadro resultante
Pivote 3: Transformar col 3 en e3
(pivote en (3,3) en A(2) b(2) )
(f 3)0 = (f 3); (f 1)0 = (f 1) + 4(f 3)
(f 2)0 = (f 2) + 6(f 3)
x5
x1
x3
0 0
1 1
0 1
0
0
1
4
7
1
1
0
0
(final)
-6
-10
-1
-2
-1
0
El cuadro final contiene la información para obtener la correspondiente representación puntual asociada a la base B, junto con los conjuntos JB = {5, 1, 3} y JN = {2, 4, 6}
La solución
a B se determina con b̄ y JB :
µ
¶básica
µ asociada
¶
x̄B
b̄
0 0 0 −2 0 T
x̄ =
=
⇒ x̄ = ( x̄∗1 x̄2 x̄∗3 x̄4 x̄∗5 x̄6 )T = (b̄2 0 b̄3 0 b̄1 0)T = ( −1
)
∗
∗
∗
x̄N
0
(* indica posición de variables básicas)
Las soluciones básicas homogeneas (s.b.h.) del sistema Ax = 0, asociadas a B se obtienen
con las columnas ā2 , ā4 , ā6 del cuadro final y los conjunto JB y JN .
La columna ā2 y JB y JN , determinan la s.b.h. q1 = ( −1
∗
+1
−
−1
∗
La columna ā4 y JB y JN , determinan la s.b.h. q2 = ( −7
∗
0
−1
∗
La columna ā6 y JB y JN , determinan la s.b.h. q3 = ( 10
∗
0
1
∗
0
0
0
∗
0 T
)
+1
−
−4
∗
6
∗
+1 T
)
−
0 T
)
La representación
deS = {x
= b} asociada
a B es:
 puntual

 : Ax 



−1
−1
−7
10
 0 
 +1 
 0 
 0 








 0 
 −1 
 −1 
 1 








S = {x : x = 
 + α1  0  + α2  +1  + α3  0  , α1 , α2 , α3 ∈ IR}
0








 −2 
 0 
 −4 
 6 
0
0
0
0
4
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
(Ejemplo 2)
EJEMPLO. Determinar la representación puntual (conjunto solución) del siguiente sistema:
x1 + 3x2
−x1 + x2
x2
−x1 + 5x2
+
+
+
+
2x3 + x4 − 2x5
=3
2x3 − x4 + x5 + 2x6 = −1
x3 + x4
− x6 = 0
6x3 − x4
+ 4x6 = 1
Solución. Como no se conoce el rango de la matriz del sistema (y por lo tanto, tampoco se sabe
si el sistema tiene solución), se trabaja con la matriz aumentada, aplicando el método
de Gauss.
Cuadro inicial:
1
-1
0
-1
Pivote 1: Se efectúa en la posición
(operaciones elementales)
1 3
(f 1)0 = (f 1)
0 4
(f 2)0 = (f 2) + f (1)
0 1
(f 3)0 = (f 3)
0 8
(f 4)0 = (f 4) + (f 1)
3 2 1
1 2 -1
1 1 1
5 6 -1
-2 0
1 2
0 -1
0 4
3
-1
0
1
(1,1) para transformar la columna 1 en la columna e1 .
2
4
1
8
1 -2 0
0 -1 2
1 0 -1
0 -2 4
3
2
0
4
Pivote 2: Se efectúa en la posición (2,2) para transformar la columna 2 en e2 .
(f 1)0 = (f 1) − 34 (f 2) 1 0 -1 1 -5/4 -3/2 3/2
(f 2)0 = 14 (f 2)
0 1 1 0 -1/4 1/2 1/2
1
0
(f 3) = (f 3) − 4 (f 2) 0 0 0 1 1/4 -3/2 -1/2
(f 4)0 = (f 4) − 2(f 2) 0 0 0 0
0
0
0
Pivote 3: Se efectúa en la posición (3,4) para transformar la columna 4 en e3 .
(f 1)0 = (f 1) − (f 3)
(f 2)0 = (f 2)
(f 3)0 = (f 3)
(f 4)0 = (f 4)
La ecuación 4 es redundante (se elimina la fila
1 0 -1 0 -3/2
0
2
4 del último cuadro) .
0 1 1 0 -1/4 1/2 1/2
⇒ Las columnas básicas corresponden a las que
0 0 0 1 1/4 -3/2 -1/2
ocupan las posiciones de las columnas de I3
0 0 0 0
0
0
0
en el último cuadro,i.e., B = (a1 a2 a4 ).
5
Como B = [a1 a2 a4 ], las componentes
básicas son x1 , x2 y x4 , i.e.,
 

2
x̄1
x̄B = b̄ = B −1 b =  1/2  =  x̄2  y las restantes son no-básicas i.e.,
x̄4

  −1/2

x̄3
0
x̄N =  x̄5  =  0 
x̄6
0
Las columnas no-básicas son: a3 , a5 y a6 , y por lo tanto N = [a3 a5 a6 ] y del último cuadro
se obtiene:


·
¸
−1 −3/2
0
−B −1 N
−1


1 −1/4 1/2
= [ā3 ā5 ā6 ] ⇒ Q =
N̄ = B N =
I3
0 1/4 −3/2

µ
sol.básica
x̄
¶



=



x̄1
x̄2
x̄3
x̄4
x̄5
x̄6


 
 
 
=
 
 
 
2
1/2
0
−1/2
0
0



∗
+1 3/2
0
∗
 ∗
 −1 1/4 −1/2  ∗




 +1
0
0 



 ∗ ; Q =  0 −1/4 3/2  ∗



 0 +1

3/2 
0
0
+1
6
(Indices básicos)
= {1, 2, 4}∗
(Indices no-básicos)
= {3, 5, 6, }