Criterios de convergencia de series de tos positivos.

Criterios de convergencia de series de t positivos.
os
(Estos cuatro criterios pueden enunciarse de dos formas)
1) Criterio de la raı́z (Cauchy-Hadamard).
√
P
m

an es convergente
 am ≤ k < 1 =⇒
a) Si ∀m ≥ n0

P
√
m a
an es divergente
m ≥ 1 =⇒

P

l < 1 =⇒
an es convergente

P
√
n
b) Si ∃ lı́m an = l l > 1 =⇒
an es divergente
n→∞

√

l = 1 =⇒ dudoso, salvo si n an → 1+ (D)
P
√
D. a): • ∀m ≥ n0 , m am ≤ k < P
1 =⇒ am ≤ k m , k < 1 =⇒
an es minorante de
una geométrica convergente =⇒
an es convergente.
P
√
• ∀m ≥ n0 , m am ≥ 1 =⇒ am ≥ 1 =⇒
an P
es mayorante de una serie
o
divergente (la de t¯ general constante e igual a 1) =⇒
an es divergente.
2) Criterio del cociente (D’Alembert).
a
P
m+1
≤
k
<
1
=⇒
an es convergente

 am
a) Si ∀m ≥ n0

P
 am+1
an es divergente
am ≥ 1 =⇒
an+1
n→∞ an
b) Si ∃ lı́m

P

l < 1 =⇒ P an es convergente
= l l > 1 =⇒
an es divergente

a

→ 1+ (D)
l = 1 =⇒ dudoso, salvo si an+1
n
D. a): • ∀m ≥ n0 ,
∞
X
n=n0
am+1
am


 an0 +1 ≤ k an0
an0 +2 ≤ k an0 +1 ≤ k 2 an0
≤ k < 1 =⇒

 ...





=⇒
¡
¢
P
an es convergente.
an ≤ an0 1 + k + k 2 + . . . =⇒
|
{z
}
S.G., r < 1
a
≥ 1 =⇒ am+1 ≥ am =⇒ {an } es monótona creciente, a
• ∀m ≥ n0 , am+1
m
P
partir de n = n0 . Al ser an > 0, ∀n ≥ n0 =⇒ lı́m an 6= 0 =⇒
an divergente.
n→∞
3) Criterio de Raabe-Duhamel.
´
 ³
P
am+1

m
1
−
≥
k
>
1
=⇒
an es convergente

am

a) Si ∀m ≥ n0
³
´


m 1 − am+1 ≤ 1 =⇒ P a es divergente
n
am

P

l
>
1
=⇒
an es convergente

µ
¶

P
an+1
an es divergente ³
b) Si ∃ lı́m n 1 −
= l l < 1 =⇒
´
n→∞

an

l = 1 =⇒ dudoso, salvo si n 1 − an+1 → 1− (D)
an
D: (Burgos, pag. 456)
4) Criterio Logarı́tmico.

P
ln (1/am )

≥
k
>
1
=⇒
an es convergente

 ln m
a) Si ∀m ≥ n0


P
 ln (1/am )
≤ 1 =⇒
an es divergente
ln m

P

l
>
1
=⇒
an es convergente


P
ln (1/an )
an es divergente
b) Si ∃ lı́m
= l l < 1 =⇒
n→∞

ln n

l = 1 =⇒ dudoso, salvo si ln (1/an ) → 1− (D)
ln n
ln (1/am )
D. a): • ∀m ≥ n0 ,
≥ k > 1 =⇒ ln (1/am ) ≥ k ln m = ln mk =⇒
ln m
P
1
k
k
, k > 1 =⇒
an es minorante de una serie de
am ≥ m =⇒ am ≤ 1/m
P
Riemann, convergente =⇒
an es convergente.
ln (1/am )
• ∀m ≥ n0 ,
≤ 1 =⇒ ln (1/am ) ≤ ln m =⇒ a1m ≤ m =⇒
ln
m
1 =⇒ P a es mayorante de la serie armónica =⇒ P a es divergente.
am ≥ m
n
n