Transformada Inversa:

Universidad Nacional Autónoma de México
Facultad
de Ingeniería
Universidad Nacional
Autónoma
de México
Análisis de
Facultad
de Sistemas
Ingenieríay Señales
Análisis de Sistemas y Señales
Transformada Inversa:
Laplace
Alumnos:
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
Anzures Robles Jorge
García Luciano Laura
Quezada Borja Arnulfo
Rojas Arteaga I. Karina
Fecha de entrega: Abril-2008.
Transformada Inversa: Laplace
ƒ
Transformada 1.- [Ejercicio que se le asignó al equipo para exponer]
Sea X(s) la siguiente función:
, calcular su transformada inversa
Realizamos una división para obtener una ecuación que pueda solucionarse, ya que podemos
ver que el grado de el denominador es mayor, se debe de simplificar a lo máximo para poder
realizar la operación.
s‐4 +4s‐2 +0 +4s‐4 …
Dividiendo tenemos:
‐ ‐4 +2s ‐4 +4s‐4 4 +16s‐8 20s‐12 Sustituyendo nos queda la siguiente expresión:
X(s)=s-4+
, para resolver necesitamos encontrar las raíces de la última expresión:
Resolviendo por la fórmula de resolución de ecuaciones de 2 grado:
√
=
√
√
=
, las raíces de esta ecuación son:
x1= 0.449 y x2=-4.449
Sustituyendo en la ecuación para resolverlas por fracciones parciales: v(s)=
Descomponiendo: v(s)=
a) Si s=0.449
b) Si s=-4.449
v(s)=
.
.
X(s)= s-4+
.
B=20.616
, con esta expresión tenemos la expresión completa,
.
.
A=-0.616
20(-4.449)-12=A(-4.449-0.449)
,
,
; calculando A y B para sustituirlos.
20(0.449)-12=A(0.449+4.449)
.
.
,
.
aplicando la anti-transformada
,
4
4
.
0.616
0.616
.
.
20.616
20.616
.
;
;
0
0
Análisis de Sistemas y Señales
2 Transformada Inversa: Laplace
Ejercicios:
1.- Sea X(s)=
hallar su anti-transformada x(t)
2 +4s+2 2 ‐9s‐35 ‐2 ‐8s‐4 ‐17s‐39 Sustituyendo nos queda la siguiente expresión:
X(s)=2+
, para resolver necesitamos encontrar las raíces de la última expresión:
Dividiendo tenemos:
Resolviendo por la fórmula de resolución de ecuaciones de 2 grado:
√
=
√
=
√
, las raíces de esta ecuación son:
x1= -0.585 y x2=-3.414
Sustituyendo en la ecuación para resolverlas por fracciones parciales: v(s)=
Descomponiendo: v(s)=
.
-17(-0.585)-39=A(0.585-3.414)
A=-10.27
b) Si s=-3.414
-17(-3.414)-39=A(-0.585+3.414)
B=-6.72
X(s)= 2+
.
.
.
;, con esta expresión tenemos la expresión completa,
.
.
.
.
,
aplicando la anti-transformada
9
9
.
; calculando A y B para sustituirlos.
.
a) Si s=-0.585
v(s)=
.
2
2
;
;
0
0
2
2
.
10.27
10.27
.
.
6.72
6.72
.
;
;
0
0 Análisis de Sistemas y Señales
3 Transformada Inversa: Laplace
hallar su anti-transformada x(t)
2.- Sea la siguiente ecuación X(s)=
Vemos que se puede factorizar, se tiene la siguiente expresión:
X(s)=
Comprobando cuáles son sus raíces por división sintética:
1
-2
1
5
8
4
-2
-6
-4
3
S=-2
2
0
-2
0
0
0
-2
0
-2
1
1
S=-2
0
-1
²
0
y resolvemos, para obtener las constantes A, B y C.
3[(-2)²+2(-2)+1] ) = B(-2+1)
B=-9
b) Si s=-1
3[(-1)²+2(-1)+1] ) = C(-1+2)
C=2
1=A(2)+(-9)+2(4)
A=1
Sustituyendo el valor de las constantes nos queda la función así: x(s) =
Aplicando
0
S=-2
y descomponemos en
a) Si s=-2
c) Si s=0
-1
Entonces comprobamos que tenemos la siguiente expresión:
fracciones parciales:
0
1
²
entonces tenemos que la función en términos de t es:
9
9
2
2
;
;
0
0
Análisis de Sistemas y Señales
4 Transformada Inversa: Laplace
3.- Sea la señal X(s)=
s2 + 1
A Bs + C Ds + E
= + 2
+
Obtener su anti-transformada
5
3
s + 18s + 81s s s + 9 ( s 2 + 9)2
s 2 + 1 = A( s 2 + 9) 2 + ( Bs + C )( s )( s 2 + 9) + ( Ds + E ) s
s 2 + 1 = A( s 4 + 18s 2 + 81) + Bs 2 + Cs ( s 2 + 9) + Ds 2 + Es
s 2 + 1 = As 4 + 18 As 2 + 81A + Bs 4 + 9 Bs 2 + Cs 3 + 9Cs + Ds 2 + Es
Agrupando los coeficientes en sistemas de ecuaciones y determinando su valor:
0 = A+ B
⇒ B = −A = −
1
81
0=C
1 = 18 A + 9 B + D
0 = 9C + E
⇒ 1−
18 9
72
+ = D; D =
81 81
81
⇒E=0
1
81
1 = 81A ⇒ A =
Sustituyendo en ecuación de fracciones parciales los valores de A, B, C, D y E:
1
1
72
s
Ds
81 − 81 + 81
s s 2 + 9 ( s 2 + 9) 2
aplicando D −1 :
1
72
⎧1
⎫
⎧1⎫
⎧ 1 ⎫
⎧ 72
⎫
s
Ds ⎪
s ⎪
s ⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
−1
81
D −1 ⎨ 81 − 81
+ 81
= D −1 ⎨ 81 ⎬ − D −1 ⎨ 81
⎬+D ⎨ 2
2
2
2⎬
2
2⎬
+
+
+
s
s
9
(
s
9)
s
s
9
(
s
⎪
⎪
⎪ ⎪
⎪
⎪
⎪ + 9) ⎪
⎩
⎭
⎩ ⎭
⎩
⎭
⎩
⎭
⎧ 72
⎫
s ⎪
⎪
1
1
= e − st − cos(3t ) + D −1 ⎨ 281 2 ⎬
81
81
⎪ ( s + 9) ⎪
⎩
⎭
Por tablas identificamos a qué función se parece y sustituimos:
⎧ 2as ⎫
D −1 ⎨ 2
= tsen(at )
2 2⎬
⎩ (s + a ) ⎭
⎧ 72
⎫
s ⎪
⎪
72
tsen(3t )
⇒ D −1 ⎨ 281 2 ⎬ =
⎪ ( s + 9) ⎪ 486
⎩
⎭
⎧
⎫ 1 − st 1
s2 + 1
72
D −1 ⎨ 5
tsen(3t )
⎬ = e − cos(3t ) +
3
81
486
⎩ s + 18s + 81s ⎭ 81
Análisis de Sistemas y Señales
5 Transformada Inversa: Laplace
4.- Sea la expresión X(S) hallar su transformada inversa. =
X(S) =
=
²
=
²
=
²
=
²
=
²
²
²
Igualando coeficientes A+B=0; A=‐B 18A+9B+D=1; ‐18B+9B+D=1 9B+D=1 D=1‐9B D=1+ (9/81) D=90/81 = 10/9; C=0; 9C+E=0; E= 0 A81=1; A= 1/81 y B=‐1/81 Sustituyendo tenemos: 3
3
−s
1
2e
2
2
Y aplicando la transformada inversa −
+
1 2 3
1 2 3
1 2 3
3
3
(s + ) +
(s + ) +
(s + ) +
2
4
2
4
2
4
s+
1
2
tenemos que la ecuación con su transformada inversa es: 1
t
e 2 cos
1
1
3
1 2t
3
2 2t
3
t−
e sen
t+
e sen
t(u(t + 1)) 2
2
2
3
3
Análisis de Sistemas y Señales
6 Transformada Inversa: Laplace
5.- Tenemos la siguiente función: x(s)=
, calcular su transformada inversa.
²
Para poder resolver aplicando división al primer término de la suma:
Sustituyendo el resultado obtenido en la función
x(s) = 1
²
²
(1)
De (1)
²
²
(2)
; Tenemos:
y
=
1 s+1 s ‐s‐1 ‐1 ²
y tomamos solo
, una vez separadas en fracciones resolvemos el valor de las constantes:
2A+B=1
A+B=0
s= A(s+1)² + B(s+1) Resolviendo el sistema de ecuaciones:
A=1, B=-1
Sustituyendo queda de la siguiente manera:
²
²
= X(s´), y sabemos que
Recordando una propiedad:
=
f(x)h(t-x)dx tenemos entonces que:
Calculando su
F[s]=
H[s]=
1
f(t)=
h(t)=
1 … . 1´
Quedando la transformada inversa de X(t´)= (2-t)
De (2) Tenemos que:
es ahora:
²
0
s´´ y calculando su transformada inversa
queda la ecuación de la siguiente manera aplicando las siguientes propiedades
. A partir de esto calculamos:
y
F[s]=
f(t)=
Calculando su
H[s]=
2
h(t)=
2 … . 2´
Quedando la transformada inversa de X(t´´)= (t-2)
0
Agregando estas transformadas inversas a la ecuación X(s) para obtener x(t) es:
2
2
t
t
1
1
t
t
2
2
2 ;
2 ;
0
0
Análisis de Sistemas y Señales
7 Transformada Inversa: Laplace
Exposiciones
ƒ
3s 2 + 4s + 1
3s 2 + 4s + 1
=
1.- Sea la función x(s)= 3
. Calcular su transformada
s + 2s 2 + s + 2 ( s + 2)( s 2 + 1)
inversa
Factorizando s 3 + 2 s 2 + s + 2 agrupando: ( s 3 + s ) + (2 s 2 + 2) sacando factor común: s ( s 2 + 1) + 2( s 2 + 1) = ( s + 2)( s 2 + 1) por fracciones parciales:
3s 2 + 4s + 1
A
Bs + C
=
+ 2
.....1 Tenemos el sistema de ecuaciones que resolveremos:
2
( s + 2)( s + 1) S + 2 s + 1
3s 2 + 4s + 1 = A( s 2 + 1) + ( Bs + C )( s + 2)
3s 2 + 4s + 1 = As 2 + A + Bs 2 + 2 Bs + Cs + 2C
Agrupando términos e igualando coeficientes:
3s 2 = As 2 + Bs 2 ⇒ 3 = A + B....2
4 s = 2 Bs + Cs ⇒ 4 = 2 B + C....3 Despejando:
1 = A + 2C.....4
de...4 ⇒ A = 1 − 2C...4 '
sust 4 ' en 2 ⇒ 3 = 1 − 2C + B...2 '
despejando B de 2 ⇒ B = 2 + 2C...3'
sust 3' en 3 ⇒ 4 = 4 + 4C + C
0 = 5C ⇒ C = 0
1= A
3 = 1+ B ⇒ B = 2
sust A, B y C en 1:
3s 2 + 4 s + 1
1
2s
=
+ 2
3
2
s + 2s + s + 2 S + 2 s + 1
−1
aplicando D :
2s ⎫
⎧ 1
+ 2 ⎬ = e 2t + 2 cos t.
D −1 ⎨
⎩ S + 2 s + 1⎭
2
2
Análisis de Sistemas y Señales
8 Transformada Inversa: Laplace
ƒ
2.-Sea X(s) la siguiente función:
, calcular su transformada inversa
Realizamos una división para obtener una ecuación que pueda solucionarse, ya que podemos
ver que el grado de el denominador es mayor, se debe de simplificar a lo máximo para poder
realizar la operación.
s‐4 +4s‐2 +0 +4s‐4 …
Dividiendo tenemos:
‐ ‐4 +2s ‐4 +4s‐4 4 +16s‐8 20s‐12 Sustituyendo nos queda la siguiente expresión:
X(s)=s-4+
, para resolver necesitamos encontrar las raíces de la última expresión:
Resolviendo por la fórmula de resolución de ecuaciones de 2 grado:
√
=
√
√
=
, las raíces de esta ecuación son:
x1= 0.449 y x2=-4.449
Sustituyendo en la ecuación para resolverlas por fracciones parciales: v(s)=
Descomponiendo: v(s)=
a) Si s=0.449
b) Si s=-4.449
v(s)=
.
.
X(s)= s-4+
.
B=20.616
, con esta expresión tenemos la expresión completa,
.
.
A=-0.616
20(-4.449)-12=A(-4.449-0.449)
,
,
; calculando A y B para sustituirlos.
20(0.449)-12=A(0.449+4.449)
.
.
,
.
aplicando la anti-transformada
,
4
4
.
0.616
0.616
.
.
20.616
20.616
.
;
;
0
0
Análisis de Sistemas y Señales
9 Transformada Inversa: Laplace
ƒ
calcular su transformada inversa de Laplace.
3.- Sea la función X(s)=
y descomponiendo den
Factorizando el término del denominador tenemos:
y resolviendo el
fracciones parciales tenemos a la ecuación de la siguiente manera:
valor de las constantes A, Bs y C efectuamos las siguientes operaciones.
1 4 8 1 0 0 1 De esta matriz se ve el valor de:
2 A +4As+BA+B +Cs= +2+16 y resolviendo tenemos:
16 0 1 0 A=2; B=-1y C=-6
2
6
4
cos 2
=2-
8
2
4.-Teniendo la siguiente función H(s)=
H(s)=
4
8
2
=2-
H(s)=
6
2
cos 2
2
2
, calcular su transformada inversa de Laplace.
, buscamos sus raíces para poder descomponerla en fracciones parciales que son:
; Descomponiendo tenemos: H(s)=
A=[s{x(s)}]s=0 =
B=[s+{x(s)}]s=-1 =
s=0
Y calculando el valor de A y B.
= A=4
s=-1
= B=-1 Y sustituyendo: H(s)=
Tenemos a la siguiente ecuación a la que hallaremos su transformada inversa.
4
1
1
4
Análisis de Sistemas y Señales
10 Transformada Inversa: Laplace
ƒ
, obteniendo las raíces
5.- Tenemos a la siguiente señal con ecuación x(s)=
de la parte del denominador que le llamaremos D(s) tenemos que son las siguientes:
S1=2.7+1.6i, S2=-2.7-1.6i y S3=0.6
Y como vemos que tuvimos dos raíces complejas separamos de la siguiente manera en fracciones
parciales:
Se obtiene de hacer D(s) = (s+27.1.6i)(s+27+1.6i)(s+0.6)=(
X(s) =
.
+27s)+(8.6)(s+0.6) lo siguiente:
.
Calculando C2 haremos:
C2= [s+0.6
]=
.
s=0.6
0.65
27
8.6)(s+0.6)=(Cs-d)(s-0.6)+0.65(
27
3.3
10.22
5.16 =
C +ds+0.65+0.6d+0.65 +1.76s+5.59=(c+0.65)
8.6)
(
Igualando términos
C+0.65=3.3
C=2.65
Quedando x(s)=
.
+(d+0.6C+1.76)s+0.6d+5.59
d+0.6 (2.65)+1.76=10.22
d=6.88
.
.
.
.
Redondeamos para facilitar cálculos:
… 1 Completamos el trinomio (1) y queda: x(s)=
x(s)=
Y por propiedades resolvemos:
x(s)=
= 3
x´(s)=
x´´(s)=
x´´´(s)=
Entonces:
=
=
Quedando la transformada inversa completa de la siguiente manera:
X(t)= 3
+
+
3
2
3
3
2
X(t)= 3
25
4
+
5
2
3
2
1
1
25
4
+
Análisis de Sistemas y Señales
11 Transformada Inversa: Laplace
ƒ
=
6.- Teniendo la ecuación x(s)=
2 ²
Factorizando
5
Hallar su transformada inversa.
2 este polinomio tenemos:
( +5) + (25² +2)
Agrupando
Sacado el factor común (S +2) (S² +1) Y desarrollado por fracciones:
=
3
+4
1
3
+4
1
+
…..(1)
²
1
2
2
1
2
Calculando sus coeficientes:
3
²
4s = 2Bs + Cs
3 = A+B… (2)
4 = 2B+C…. (3)
1 = A+2i…. (4) Despejando de 4; A = 1-2c… (4)
Substituyendo 4´ en 2
3 = 1-2c+B… (2´) Despejando B de 2´
B =2+2c… (3´) substituyendo 3´en 3
O = 5c
4 = 4+4c+C
C=O ; A = 1 ; B = 2
Substituyendo A, B y C en (1)
=
2
1
2
1
²
1
2
2
²
1
2 cos t 2 cos t Análisis de Sistemas y Señales
12 Transformada Inversa: Laplace
ƒ
7.‐ Sea la señal cuya transformada de Laplace es la siguiente x
su transformada inversa. = ²
Calcular Buscando raíces s²+7s+12 = 0 Factorizando (S+3) (S+4) = 0 Sus raíces son: S1 = ‐3 y S2 = ‐4 Reescribiendo la ecuación x
Calculando A=1 y sustituyendo… x
= = ƒ
8.-Sea x
²
+ + =
= ‐
+2
= ‐
+2
Hallar su transformada inversa de Laplace Obteniendo raíces S (s²+ 5s+7) =0 a partir de la resolución de la ecuación de segundo grado. Aplicando la ecuación cuadrática S1 = 0 √
=
=
√
√
S2 =
β=√3 2
√
S3 =
α=- 5 2
Aplicando las raíces como son complejas realizamos: x
√
√
= 1 7 C 1 C2
C2
√3 ‐
√
+
√
i C2 i x (t) =2(c1) αt cos (β+ < C1) (C2)= 1/√7 ‹ = 180°‐ 79.10 ‹ = 100.89° Sustituyendo tenemos que es: = 1/7 + 2(1√7 ) 2.5 cos √
100.89 ; t >, 0 = 1/7 + 2(1√7 ) 2.5 cos √
100.89 ; t >, 0 Análisis de Sistemas y Señales
13 Transformada Inversa: Laplace
ƒ
‐2 1 1 =
9.- X(s) =
3 ‐2 1 3 ‐2 1 2 ‐2 0 , determinando raíces por división sintética
acomodando
y resolviendo el valor de las constantes:
en fracciones parciales:
3
4
1= C1(s+2)
3
4
1= C1 (
Agrupando... 3
y
Tenemos entonces que es: x(s)=
1)+(c2s(
3
4
3
2 +(C2
1=(C1+C2+C3)
C1+C2+C3=0…(1)
3C1+C2+2C3+C4=3…(2)
3C1+C2+2C4=4…(3)
2C1=1…(4)
1))+(c3s+c4)(s(s+2))
))+C3(
+(3C1+C2+2C3+C4)
2 )+C4(
2 )
+(3C1+C2+2C4)s+2C1
De (4)
C1=1/2 y sustituyendo C1 en (1,2 y 3)
C2+C3=-1/2
C2+2C3+C4=3/2
C2+2C4=5/2
Despejando C3 y C4 de (1) y (3)
C3=-1/2-C2…(5)
2C4=5/2-C2 C4=5/4-1/2C2…(6)
Sustituyendo (5) y (6)
C2+2(-1/2-C2)+(5/4-1/2C2)=3/2
Análisis de Sistemas y Señales
14 Transformada Inversa: Laplace
10.- Sea la señal X(s)= 2s² + 12s + 20 Hallar su transformada inversa de Laplace:
S3 + 6s2 + 10s + 8
X3 + 6x2 + 10x + 8
F(-x) = (-x )3 + 6 (-x ) + 10 (-x ) + 8
= x3 + 6x – 10 ( -x ) + 8
= 8 = 4(2)(1)
-4
-1/4 -1/5 -1/2
1 6 10 8
-4 -8 -8
(x+4) (x2 +2x +2)
-1
1 2 2 0
1 6 10 8
-1 -5 -5
1 5 5 3
2s2 + 8
A
S+4
+
Bs + D
s2 + 2s +2
…….(A)
2s2 + 8s + 10 (s+4) (s2 + 2s +2 )
(s+4) (s2 + 2s + 2)
Determinando el valor de las constantes tenemos:
2(s2 +8+10) = A(s2 + 2s + 2) + ( 8s + D) (s+4)
A+B = 2…………………(1) Resolviendo el sistema de ecuaciones...
2A +2B+16 = 16 ……….(2)
2(A + 2) = 20…………….(3)
8
S2+4
+
2s +24
s2 + 25 + 2
Transformando a partir de las tablas nos queda de la siguiente manera:
8
S+4
=
2s + 24
s2 + 2s + 2
2(s+1)
(s+1)2 +1
8 e -4j
=
+
2s+2+22
(s+1) 2 + 1
22
=
= 2 e-j cos j + 22 e-j sen j
(s+1) 2 + 1
Análisis de Sistemas y Señales
15 Transformada Inversa: Laplace
ƒ
11.- Sea la función X(s)=
²
Calculando las raíces de el denominador y vemos que contiene raíces complejas
r1= 5/2 + √3/2 j
r2 = 5/2 - √3/2 j
( s2 – r1) ( s + r2) y sustituyendo en la ecuación
α = 5/2 β= √3/2 p= α + pj
x(s) = c1 + c2 Calculando el valor de las constantes
(S-r 1) (S- r 2)
C1 = -3 / 2/√3 j
C2 = C1
C2= (3 / 2/√3) j
+ ½
+½
X(t) = 2 (C1) e2t cos (β + α c1) + c3 e β3t
tan-1 (ln C1/ R2 C1 ) cuando Re C1 > 0 }
α C1
180º + tan -1 (ln C1/ R2 C1) cuando Re C1 < 0
α C1 = 180º + tan -1 ( -3 ( 2√3) / ½ ) = 120º
Entonces tenemos que la transformada inversa de esta función es:
x(t) = 2 e-2t cos (√3/2 t +120º)
Análisis de Sistemas y Señales
16 Transformada Inversa: Laplace
ƒ
=
12.- Teniendo la ecuación x(s)=
2 ²
Factorizando
5
Hallar su transformada inversa.
2 este polinomio tenemos:
( +5) + (25² +2)
Agrupando
Sacado el factor común (S +2) (S² +1) Y desarrollado por fracciones:
=
3
+4
1
3
+4
1
+
…..(1)
²
1
2
2
1
2
Calculando sus coeficientes:
3
²
4s = 2Bs + Cs
3 = A+B… (2)
4 = 2B+C…. (3)
1 = A+2i…. (4) Despejando de 4; A = 1-2c… (4)
Substituyendo 4´ en 2
3 = 1-2c+B… (2´) Despejando B de 2´
B =2+2c… (3´) substituyendo 3´en 3
O = 5c
4 = 4+4c+C
C=O ; A = 1 ; B = 2
Substituyendo A, B y C en (1)
=
2
1
2
1
²
1
2
2
²
1
2 cos t 2 cos t Análisis de Sistemas y Señales
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