Estructuras cristalinas

Física del estado sólido
Estructuras cristalinas
Condición de Bragg en la red recíproca
La condición de Bragg se puede expresar en una forma elegante con ayuda de la red recíproca, transformación muy utilizada en cristalografía de rayos X y en la teoría cuántica de los metales.
En la figura 1 se muestra una interpretación geométrica sencilla de la ecuación de Bragg debida a Paul
P. Ewald. Para construir la figura 1 se considera que hay un vector AO de longitud 1/λ en la dirección de la
radiación de incidencia y cuyo extremo coincide con el origen de la red recíproca.
A
θ θ
1/λ
1/λ
B
O
Plano de
reflexión
Figura 1. Construcción de P. Ewald en la red recíproca.
El método desarrollado por Ewald consiste en construir una esfera de radio 1/λ a partir de un punto A tomado como centro. Existen varias direcciones posibles en donde los rayos difractados provienen del rayo
incidente y están determinadas por las intersecciones de la esfera con los puntos de la red recíproca. En la
figura el vector AB corresponde a una difracción máxima y B es un punto de la red reciproca. La máxima
difracción (reflexiones, puntos de difracción) ocurre solamente cuando las tres ecuaciones de Laue, o la
equivalente ecuación de Bragg, son satisfechas. Estas condiciones se cumplen cuando un punto de la red
recíproca cae exactamente sobre la esfera de Ewald.
El vector OB que une los puntos O y B es normal a los planos (hkl) y de longitud 1/d(hkl); y por otra
parte, su longitud es también igual a (2/ λ) sen θ, donde θ es el ángulo formado por el plano (hkl) y el rayo
incidente y también por el plano (hkl) y el rayo reflejado, situación que se da en la ecuación (b) y en la figura
2 de la formulación de Von Laue, y acá en la figura 1. Igualando las dos longitudes se tiene la ecuación (a)
de Bragg para n = 1:
2d^hklh sen i = m .
(a)
De la figura 1 se puede observar que el vector de reflexión AB es la suma de los vectores AO y OB, por lo
cual se puede escribir la condición Bragg de una forma vectorial más sencilla.
Para una mejor comprensión, todos los vectores de la figura 1 se multiplican por un factor de 2π convirtiéndose el vector AO en el vector de magnitud 2π/ λ, el vector OB en el vector G y el vector AB en el
vector suma de k + G , situación que se muestra en la figura 2.
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Física del estado sólido
B´
K+ G
G
A´
K
O´
Figura 2. Diagrama vectorial de Bragg.
De acuerdo con la figura 2, el triángulo formado es isósceles, por lo que la magnitud del vector del haz
incidente y del haz reflejado debe ser igual para todos los casos en que se satisface la condición de Bragg,
situación que se muestra en la ecuación (b):
^ k + G h2 = ^ k + G h $ ^ k + G h = k $ k = k2 ,
(b)
que al desarrollarse y simplificarse queda como la ecuación (c):
2k $ G + G2 = 0 .
(c)
Si G es un vector de la red recíproca, también lo es - G , y con esta sustitución se encuentra la ecuación
(d). Esta última ecuación se usa como la condición de difracción:
2k $ G = G2 .
(d)
Las condiciones (c) y (d) se utilizan en los temas posteriores conectados con las zonas de Brillouin.
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