unidad 13

Universidad Tecnológica Nacional
Facultad Regional Rosario
Cátedra de Física I
UNIDAD Nº 13
DINÁMICA DE FLUIDOS
Física I
Ingeniería Mecánica
CONTENIDOS
Introducción. Líneas de corriente. Ecuación de continuidad. Teorema de Bernoulli. Aplicaciones del
teorema de Bernoulli. Teorema de la cantidad de movimiento. Viscosidad. Ley de Stokes. Movimiento de
fluidos viscosos a través de tubos. Deducción de la ley de Poiseuille. Problemas
DINÁMICA DE FLUIDOS EN RÉGIMEN DE BERNOULLI
El camino de una partícula individual en un fluido en movimiento se llama línea de flujo Si el patrón global
de flujo no cambia con el tiempo, entonces tenemos un flujo estable. En un flujo estable, cada elemento
que pasa por un punto dado sigue la misma línea de flujo. Una línea de corriente es una curva cuya
tangente en cualquier punto tiene la dirección de la velocidad del fluido en ese punto. Si el patrón de flujo
cambia con el tiempo, las líneas de corriente no coinciden con las de flujo. Consideraremos sólo
situaciones de flujo estable, en las que las líneas de flujo y las de
corriente son idénticas.
Las líneas de flujo que pasan por el borde de un elemento de área
imaginario, como A en la figura, forman un llamado tubo de flujo. Por
definición de líneas de flujo, si el flujo es estable el fluido no puede
cruzar las paredes laterales de un tubo de flujo; los fluidos de diferentes
tubos no pueden mezclarse.
Consideraremos en general a los líquidos como incompresibles, es decir, su densidad permanecerá
constante en todas sus partes; mientras que los gases pueden considerarse incompresibles si las
diferencias de presión de una región a otra no es muy grande.
El movimiento de los fluidos puede ser de dos tipos ROTACIONAL e IRROTACIONAL. El movimiento es
irrotacional si no existe un momento angular neto de las partículas del fluido en ninguno de los puntos
que ocupa (una pequeña rueda de paletas colocada en cualquier lugar del fluido no rotaría); en caso
contrario el movimiento sería rotacional.
Finalmente, decir que el estudio que realizamos de la dinámica de fluidos quedará reducido en su mayor
parte al movimiento de los mismos en régimen laminar estacionario e irrotacional con las condiciones de
incompresibilidad y la no existencia de viscosidad; a tal fluido ideal que se mueve con tales restricciones
diremos que circula en RÉGIMEN DE BERNOUILLI y a pesar de todas las simplificaciones que hacemos en
su análisis, tiene una amplia aplicación en la práctica, como veremos a continuación.
Ing. Stoppani Fernando
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Física I
Ingeniería Mecánica
Caudal o Gasto (Q)
Llamamos Gasto o Caudal o Flujo volumétrico (Q) de una tubería al volumen de fluido que pasa por la
sección transversal en la unidad de tiempo:
Q=
como dV = Adl
dV
dt
v = dl dt queda:
y
Q = Av
o
Q=
 m3 
 
 s 
V
t
l 
s
 
 pie3 


 s 
Ecuación o Ley de continuidad
Supongamos una masa M de fluido de densidad ρ , limitado por las secciones A1, A2 y el tubo de corriente
(ver Fig.); en un tiempo dt por la sección A1 penetra una masa M1 de fluido cuyo volumen (sombreado en
la figura) es A1 dl1; mientras que otra masa M2 que ocupa el volumen A2 dl2 sale por la sección A2, y como
la masa M permanece invariable, por considerar al fluido como incompresible, todo el fluido que en ese
tiempo ha entrado por A1 sale por A2, es decir:
M1 = M 2
⇒
ρA1dl1 = ρA2 dl2
A1v1 = A2 v2
A1v1 = A2 v2
⇒
⇒
A1
dl1
dl
= A2 2
dt
dt
Ecuación de continuidad
Q1 = Q2
El nombre " continuidad "significa algo así como que el caudal siempre es continuo, no se interrumpe.
Igualdad que demuestra la ley de continuidad puesto que esta relación se cumple para dos secciones
cualesquiera del tubo de corriente. En los lugares en que la tubería es de mayor diámetro el fluido se
desplaza con más lentitud que en los lugares de menor diámetro.
Teorema de Bernoulli
El teorema de Bernouilli fue presentado por primera vez por Daniel Bernouilli (1700-1782) en su obra
Hydrodynamica (1738) enunciándose de la siguiente manera:
«En un fluido incompresible y no viscoso en movimiento en régimen estacionario bajo la acción
de la gravedad, la suma de las alturas geométricas, piezométrica y cinética es constante para
los diversos puntos de una línea de corriente».
Ing. Stoppani Fernando
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Física I
Ingeniería Mecánica
Consideraremos un elemento de fluido que inicialmente esta entre dos secciones trasversales a y c. En un
determinado dt el fluido que esta en (a) se mueve hasta (b), la masa desplazada es la misma.
dm1 = dm2
ρA1dl1 = ρA2 dl2
⇒
⇒
dV1 = dV2 = dV
V1
La fuerza exterior F1 que actúa sobre la sección A1 habrá realizado un
trabajo, en el tiempo dt, de valor: P1 A1 dl1, siendo dl1 el camino que se
ha trasladado la sección A1. También la fuerza exterior que actúa sobre
la sección A2, habrá realizado un trabajo, en el mismo tiempo, igual a: .
V2
F1
a b
P2A2 dl2 , el signo menos nos indica que la fuerza y el camino recorrido
c
son de sentido contrario.
d
F2
Calcularemos el trabajo neto efectuado sobre el elemento de fluido
durante el intervalo dt.
dWneto = F1dl1 − F2 dl2 = P1 A1dl1 − P2 A2 dl2 = ( P1 − P2 )dV
(1)
En trabajo neto es igual al cambio de energía mecánica total (cinética y
potencial gravitatoria).
dWneto = dEC + dEP =
dWneto =
1
1
dm2 v22 − dm1v12 + dm2 gh2 − dm1 gh1
2
2
1
1
1
1
ρA2 dl2 v22 − ρA1dl1v12 + ρA2 dl2 gh2 − ρA1dl1 gh1 = ρdVv22 − ρdVv12 + ρdVgh2 − ρdVgh1
2
2
2
2
igualando con (1)
( P1 − P2 )dV =
1
1
ρdVv22 − ρdVv12 + ρdVgh2 − ρdVgh1
2
2
⇒
( P1 − P2 ) =
1 2 1 2
ρv2 − ρv1 + ρgh2 − ρgh1
2
2
quedando
P1 +
1 2
1
ρv1 + ρgh1 = P2 + ρv22 + ρgh2
2
2
La ecuación es valida solo para estado estacionario, fluido incompresible y sin viscosidad (fluido ideal).
Los subindices 1 y 2 se refieren a dos puntos cualesquiera del tubo de flujo; por lo que se puede escribir:
P+
1 2
ρv + ρgh = cte
2
ecuación de Bernoulli
Dividiendo por ρg
P 1 v2
+
+ h = cte
ρg 2 g
Fijese que esta forma de la ecuación de Bernoulli esta expresada en términos de altura. Definiendo
ALTURA GEOMÉTRICA (h): es la altura del punto sobre un plano horizontal arbitrario (X).
Ing. Stoppani Fernando
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Física I
Ingeniería Mecánica
ALTURA PIEZOMÉTRICA (h*) es la altura de fluido que sería necesaria para producir la presión hidrostática
(P). Por el teorema general de hidrostática P y h* vienen ligados por la ecuación:
P
ρg
ALTURA CINÉTICA (h”) es la altura que sería necesaria para producir, en caída libre, la velocidad
P = h * gρ
v. Por consiguiente:
v = 2 gh"
⇒
⇒
h* =
h" =
1 v2
2 g
La suma de las tres alturas es llamada en ingeniería «CARGA DEL FLUIDO» que se mide en unidades
de longitud como lo indica la ecuación dimensional de cada término.
h + h * + h" = h +
P 1 v2
+
= cte
ρg 2 g
Esta fórmula es la ecuación de la conservación de la energía para el líquido que va dentro del tubo. Al
plantear este choclazo, lo que uno plantea es la conservación de la energía. Conclusión: Bernoulli no se
puede plantear si el líquido tiene viscosidad. En los líquidos, al rozamiento se lo llama viscosidad.
Conclusiones: A MAYOR SECCIÓN, MENOR VELOCIDAD (SI EL TUBO ES HORIZONTAL)
A MAYOR VELOCIDAD, MENOR PRESIÓN (SI EL TUBO ES HORIZONTAL)
A MAYOR SECCIÓN, MAYOR PRESIÓN (SI EL TUBO ES HORIZONTAL)
EJEMPLOS DE APLICACIÓN DEL TEOREMA DE BERNOULLI
TEOREMA DE TORRICELLI:
«La velocidad de salida de un líquido en un deposito abierto, por un orificio practicado en pared
delgada, es la que tendría un cuerpo cualquiera cayendo libremente en el vacío desde el nivel del
líquido hasta el centro de gravedad del orificio».
Consideremos un deposito con un orificio de sección muy pequeña (el agujero puede estar en las paredes
o en el fondo del tanque) en comparación con la superficie libre del líquido que contiene. Al salir líquido
por el orificio, podremos considerar con suficiente aproximación, que la superficie libre está en reposo
(v2=0). Aplicando el teorema de Bernouilli, a los puntos 1 y 2 obtendremos:
Como P1=P2=Patm , z2-z1=h
P1 + ρgz1 +
v1 = 2 g ( z 2 − z1 ) M
1 2
1
ρv1 = P2 + ρgz 2 + ρv22
2
2
⇒
v1 = 2 gh
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Física I
Ingeniería Mecánica
NOTA: La velocidad con que la que sale el agua no depende de la densidad del líquido ni del tamaño del
agujerito.
Si A es el área de la abertura:
Q = Av1 = A 2 gh
A causa de las líneas de corriente, cuando se aproximan al orificio, la sección transversal de la corriente
continua disminuyendo durante un pequeño recorrido fuera del deposito y por lo tanto la ecuación del
caudal debe utilizarse el área de sección mínima llamada sección contraída (vena contracta).
Para una abertura circular de bordes finos, el área de la sección contraída es aproximadamente del 61%
del área del orificio. Por lo que el caudal practico es: Q p = 0,61. A. 2 gh
EL MEDIDOR DE VENTURI
Se utiliza para medir la velocidad (rapidez) de flujo en un tubo. Esta constituido por dos partes distintas,
cada una con una función diferente. La primera conocida por elemento primario, es la parte del sistema
que esta en contacto directo con el agua y proporciona algún tipo de interacción con el flujo. La segunda,
el elemento secundario, es la parte del sistema que transforma estas interacciones en lecturas o registros
deseados.
En la figura anterior se observa la sección transversal de un tubo venturi, donde se anotan las partes
principales que lo integran. La parte más angosta se llama garganta.
La diferencia de altura se produce como resultado de la presión reducida en la garganta. La disminución
como así el aumento de la sección deben ser graduales para evitar remolinos y asegurar el régimen
estacionario.
P1 +
1 2
1
ρv1 + ρgh1 = P2 + ρv22 + ρgh2
2
2
Como h1 = h2 la ecuación queda:
P1 +
1 2
1
ρv1 = P2 + ρv22
2
2
si en la igualdad anterior es v1 < v2, para que persista la igualdad se ha de verificar que p1 > p2.
Ing. Stoppani Fernando
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Física I
Ingeniería Mecánica
A todo aumento de velocidad en una línea de corriente horizontal de un fluido en movimiento,
corresponde una disminución de presión. (EFECTO VENTURI).
El manómetro diferencial de la figura nos indica una diferencia de presiones ∆P , entre la parte ancha y
estrecha del tubo horizontal, por el que circula un líquido de densidad ρ . Conocidas las secciones del
tubo (A1 y A2) se puede determinar el gasto de líquido en la tubería. En efecto:
A1v1 = A2 v2
⇒
v2 =
A1
v1
A2 , reemplazando en la anterior:
2
1
1 A 
P1 + ρv12 = P2 + ρ  1  v12
2
2  A2 
⇒
Como P1 = P2 + ρ Hg gh − ρgh
( ρ Hg
⇒
2

1 2  A1 
− ρ ) gh = ρv1   − 1
2
 A2 

⇒
2

1 2  A1 



P1 − P2 = ρv1   − 1
2
 A2 

P1 − P2 = gh( ρ Hg − ρ ) , igualando queda:
v1 =
2( ρ Hg − ρ ) gh
y
 A 

ρ  1  − 1
 A2 

2
Q = A1 v1 = A1
2( ρ Hg − ρ ) gh
 A  2 
ρ  1  − 1
 A2 

Esta ecuaciones son para fluidos incompresibles y sin fricción (viscosidad cero). Esta ecuación se puede
multiplicar por un coeficiente CV (coeficiente de venturi) para tener en cuenta un pequeño rozamiento.
CV=0,98 para tuberías de 2 a 8 pulgadas de diámetro y CV=0,99 para tuberías con diámetros menores a 3
pulgadas.
Otra disposición de un tubo venturi es como la que se muestra en la figura. Quedando,
P1 +
1 2
1
ρv1 = P2 + ρv22
2
2
A1v1 = A2 v2
⇒
v2 =
A1
v1
A2
2
1
1 A 
P1 + ρv12 = P2 + ρ  1  v12
2
2  A2 
Como P1 = P2 + ρgh`
2

1 2  A1 
gh´= v1   − 1
2  A2 


⇒
⇒
2

1 2  A1 
P1 − P2 = ρv1   − 1
2
 A2 

P1 − P2 = ρgh´ , igualando queda:
⇒
v1 =
2 gh´
 A 

 1  − 1
 A2 

2
y
Q = A1 v1 = A1
2 gh´
 A  2 
 1  − 1
 A2 

Observar que el liquido manométrico ahora es el mismo fluido circulante.
Ing. Stoppani Fernando
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Física I
Ingeniería Mecánica
TUBO DE PITOT:
Para la medida de la velocidad de la corriente de un líquido, basta
introducir en él un tubo de vidrio doblado como en la en el que
podamos efectuar una medida de las distancias entre los niveles
superiores del líquido en sus dos ramas. Una vez que está en
equilibrio el líquido del interior del tubo, queda en la disposición de la
figura, aplicando el teorema de Bernouilli a los puntos 1 y 2 situados
al mismo nivel y teniendo en cuenta que el punto 1 no tiene velocidad
con respecto al tubo, la ecuación de Bernouilli se transforma en:
P1 +
1 2
1
ρv1 + ρgh1 = P2 + ρv22 + ρgh2
2
2
Como,
P1 = P2 + ρgh
⇒
P1 = P2 +
⇒
1 2
ρv2
2
v2 = 2 gh
Para la medida de la velocidad de gases, el tubo tiene la forma de la figura.
P1 +
1 2
1
ρv1 + ρgh1 = P2 + ρv22 + ρgh2
2
2
Como P1 = P2 + ρ Hg gh
⇒
v2 =
P1 = P2 +
⇒
1 2
ρv2
2
2 ρ Hg gh
ρ
Puede emplearse el tubo de Pitot en la medida de velocidades de canoas,
aviones, etc. ya que la velocidad obtenida es la «relativa» entre el tubo y el fluido en cuyo seno está.
El tubo Venturi mide la velocidad media de toda la corriente del fluido mientras que el tubo Pitot mide
solamente la velocidad en un punto.
SIFÓN
Para la física, un sifón es un cañito que se usa para pasar líquidos de un lado a
otro. Lo que uno puede calcular aplicando Bernoulli es la velocidad con que va a
salir el agua. Al igual que pasa en el teorema de Torriccelli, acá también la
velocidad es:
v1 = 2 gh
Atención: Acá h es la distancia que va desde la parte de abajo del tubo hasta la superficie del agua. ( Ver
dibujo ). NOTA: La velocidad de salida no depende de la densidad del líquido ni del tamaño o forma del
tubo.
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Física I
Ingeniería Mecánica
DINÁMICA DE LOS FLUIDOS REALES
VISCOSIDAD
La viscosidad es el rozamiento interno entre las capas de fluido. A causa de la viscosidad, es necesario
ejercer una fuerza para obligar a una capa de fluido a deslizar sobre otra. Tanto los líquidos como los
gases presentan viscosidad, aunque los líquidos son muchos más viscosos que los gases.
Por el fenómeno de viscosidad la velocidad de los fluidos por los tubos crece desde las paredes al centro
del tubo, ya que en los puntos de contacto con la pared, el fluido se adhiere a ella y las restantes capas
son frenadas, unas con otras, por su viscosidad o frotamiento interno.
Fluido real (con viscosidad)
Fluido Ideal (sin viscosidad)
Cuando tiro agua a la pared, la pared queda mojada. Si el agua no tuviera viscosidad la pared quedaría
seca. El agua no se pegaría porque no tiene viscosidad. La adherencia de un líquido a las paredes depende
de la viscosidad.
Coeficiente de viscosidad. Hipótesis de Navier
El gradiente de velocidad entre dos láminas de fluido en
movimiento es la relación entre la diferencia de velocidades de las
láminas y la distancia entre ellas. Si ∆v es la diferencia de velocidad
(
y ∆e la distancia entre las láminas del fluido; ∆v
∆e
) es el gradiente
de velocidad.
Para hacer que una capa líquida se deslice sobre otra, o que una superficie se deslice sobre otra cuando
entre ellas hay una capa de líquido (régimen laminar), tendremos que ejercer una fuerza F que venza el
rozamiento debido a la viscosidad entre ellas. Esta fuerza tiende a arrastrar al fluido y también a la lámina
inferior hacia la derecha, luego para mantenerla en reposo o con la misma velocidad que tenía antes de
aplicarle a la lámina superior la fuerza F, será necesario aplicar una fuerza igual hacia la izquierda a la
lámina inferior, este efecto es similar al de producción de una deformación de cizalladura en un sólido (ver
elasticidad). El valor de la fuerza F que tenemos que hacer sobre la superficie de área A para vencer a los
rozamientos por viscosidad y que provoca un gradiente de velocidad, es según cuantificó Henri Navier
(1785-1836):
F = ηA
∆v
dv
= ηA
∆e
de
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Física I
Ingeniería Mecánica
η es el coeficiente de viscosidad o simplemente viscosidad, cuyo concepto físico lo deducimos haciendo
A, ∆v y ∆e , iguales a la unidad, y podremos, así, definir: coeficiente de viscosidad es la fuerza necesaria
para comunicar a la unidad de superficie del líquido la velocidad constante unidad, estando tal superficie a
la distancia unidad de otra, en reposo, del mismo líquido. Este coeficiente da una idea de la fuerza que hay
que hacer para " deformar " al fluido, me daría algo así como la resistencia que opone un líquido a fluir.
Vendría a ser una medida de cuánto se frena el líquido cuando circula por un conducto. Cuanto más
grande sea, mayor será el rozamiento con las paredes. O sea, este coeficiente es un número que da una
idea de la tendencia que tiene el líquido a pegarse a las paredes de un conducto.
La unidad CGS de viscosidad es el CENTIPOISE (cp =dina.s/cm2) o viscosidad de un fluido tal que para
comunicar a una capa de 1 cm2 de él, la velocidad constante de 1 cm/s, con relación a otra capa distante
de la primera 1 cm hay que aplicarse la fuerza de una dina. La viscosidad del agua es, aproximadamente (1
centipoise).
La unidad en el sistema internacional es el Pascal por segundo POISE (1 P = 0,1 Pa · s).
Al coeficiente η se le llama en ocasiones COEFICIENTE DE VISCOSIDAD DINÁMICA, para distinguirlo del
llamado COEFICIENTE DE VISCOSIDAD CINEMÁTICA µ , que se define como
µ=
η
ρ
, donde ρ es la densidad
del fluido, y que se mide en m2/s.
Una cosa que tenes que saber es que la viscosidad de los líquidos
depende mucho de la temperatura. A mayor temperatura, el líquido es
más fluido. Es decir, la viscosidad disminuye.
Una aclaración: Viscosidad no es densidad. Un líquido puede ser muy
denso pero poco viscoso. (El mercurio, por ejemplo).
Otra aclaración: Si bien la unidad de viscosidad es el Poise, no uses esta
unidad para resolver los problemas. Usa Pa x Seg. (1 Poise = 0,1 Pa x Seg)
Fluido ideal
Un fluido ideal sale por la tubería con una velocidad, v = 2 gH ,
de acuerdo con el teorema de Torricelli. Toda la energía potencial
disponible (debido a la altura H) se transforma en energía cinética.
H
Aplicando la ecuación de Bernoulli podemos fácilmente comprobar
que la altura del líquido en los manómetros debe ser cero.
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Física I
Ingeniería Mecánica
Fluido viscoso
Por efecto del rozamiento interno o viscosidad hay una pérdida de
carga a lo largo del tubo, por lo que el balance de energía es muy
diferente. Al abrir el extremo del tubo, sale fluido con una
velocidad bastante más pequeña. Los tubos manométricos marcan
alturas decrecientes, informándonos de las pérdidas de energía
por rozamiento viscoso. En la salida, una parte de la energía
potencial que tiene cualquier elemento de fluido al iniciar el movimiento se ha transformado
íntegramente en calor. El hecho de que los manómetros marquen presiones sucesivamente decrecientes
nos indica que la pérdida de energía en forma de calor es uniforme a lo largo del tubo
Por esta razón introducimos en la ecuación de Bernoulli, que está expresada en términos de alturas o
cargas, un nuevo término en el segundo miembro que llamaremos hf y es la pérdida de carga debida al
frotamiento, quedándonos la ecuación de la forma:
h1 +
P1
v2
P
v2
+ 1 = h2 + 2 + 2 + h f
ρg 2 g
ρg 2 g
Ley de Poiseuille
Como veremos a continuación, Jean León Poiseuille (1799-1869), demostró la siguiente ley que lleva su
nombre:
El caudal de fluido (volumen por unidad de tiempo) que circula por un tubo cilíndrico en
régimen laminar, es directamente proporcional a la cuarta potencia del radio (R) y a la
diferencia de presiones entre la parte anterior y posterior del tubo ( ∆p ), e inversamente
proporcional a la longitud de éste (l) y al coeficiente de viscosidad del líquido ( η )
Q=
π . R 4 ∆p
8η l
Consideremos ahora un fluido viscoso que circula en
régimen laminar por una tubería de radio interior R, y de
longitud L, bajo la acción de una fuerza debida a la
diferencia de presión existente en los extremos del tubo.
El movimiento del fluido es accionado por la fuerza debida a la diferencia de presión entre sus extremos,
menos la fuerza retardadora de viscosidad que actúa en su superficie exterior. La primera de las fuerza
vale:
F=(p1-p2)π r2
La fuerza de viscosidad, en virtud es: F = −ηA
dv
dr
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Física I
Ingeniería Mecánica
Sustituyendo F en la fórmula y teniendo en cuenta que el área A de la capa es ahora el área lateral de un
cilindro de longitud L y radio r.
( p1 − p2 ).π .r 2 = −η .2π .r.l
dv
dr
∫
⇒
( p1 − p2 ).r
dr = − dv
2.η .l
∫
El signo negativo se debe a que v disminuye al aumentar r.
Integrando esta ecuación, obtenemos el perfil de velocidades en función de la distancia radial, al eje del
tubo.
−v =
( p1 − p2 ).r 2
+⊄
4.η .l
Las condiciones son: r=R v=0
⊄= −
( p1 − p2 ).R 2
4.η .l
v=
⇒
( p1 − p2 ) 2 2
(R − r )
4.η .l
ecuación de una parábola
El flujo tiene por tanto un perfil de velocidades parabólico, siendo la velocidad máxima en el centro del
tubo.
Gasto
El volumen de fluido que atraviesa cualquier sección normal del tubo
en la unidad de tiempo se denomina gasto
El volumen de fluido que atraviesa el área del anillo comprendido
entre r y r+dr en la unidad de tiempo es: v(2π rdr). Donde v es la
velocidad del fluido a una distancia r del eje del tubo y 2π rdr es el
área del anillo
El gasto se hallará integrando
q
dQ = vdA
⇒
R
∫
dQ = 2.π .r.
∫
0
0
( p1 − p2 ) 2
( R − r 2 ).dr
4.η.l
Quedando:
Q=
π .R 4 ∆p
8η l
El gasto se puede expresar Q=πR2<v>, donde <v> es la velocidad media del fluido
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RESISTENCIA HIDRODINÁMICA
Supongamos que tenés un tubo por donde circula un líquido. Te dicen que el líquido es viscoso y tiene
coeficiente η. Al líquido le cuesta avanzar por el caño. Hay que empujarlo para que se mueva. Es decir, el
líquido quiere avanzar y el caño lo frena. Entonces inventamos una cosa que se llama resistencia
hidrodinámica. A esta magnitud se la indica con la letra RH . Esta resistencia me da una idea de “cuánto le
cuesta” al fluido moverse dentro del tubo.
La fórmula para calcular la resistencia hidrodinámica es esta:
RH =
8η.l
π .R 4
RESISTENCIA
HIDRODINÁMICA
Fijate una cosa: la resistencia hidrodinámica cambia si cambian las medidas del tubo. (Es decir, si cambian
la longitud l o el radio R). Pero ojo, porque aunque el caño sea siempre el mismo, la Resistencia
hidrodinámica cambia según el líquido que vos pongas. Esto pasa porque RH depende también del
coeficiente de viscosidad, y cada líquido tiene uno distinto.
Remplazando en la ecuación de Poiseuille, queda:
Q=
∆p
RH
RESISTENCIAS EN SERIE
Fijate lo que pasa cuando tengo dos tubos uno detrás del otro. A esto se lo llama conexión "en serie”. Los
tubos pueden tener distinto largo y distinto diámetro. Dentro de los tubos hay un fluido que tiene
viscosidad. La pregunta es:
¿Qué resistencia hidrodinámica tiene el conjunto de los 2 tubos? ¿Puedo reemplazar a los 2 tubos por
uno solo que tenga una resistencia hidrodinámica equivalente?
O sea, la idea es buscar la resistencia equivalente de los dos tubos. Se la llama resistencia equivalente o
resistencia total. ( RHT ). Supongamos que el tubo 1 tiene una resistencia RH1 y el tubo 2 tiene una
resistencia RH2.
RHT = RH 1 + RH 2
RH2
RH1
RHT
Para dos tubos en serie, la resistencia equivalente sería la suma de las resistencias. Es decir el caudal que
fluye por estos dos tubos es equivalente al que fluiría por un solo tubo con una resistencia igual a la suma
de las 2 resistencias. Este mismo razonamiento se aplica para cualquier cantidad de tubos conectados en
serie (se suman las R).
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Física I
Ingeniería Mecánica
POTENCIA
A veces piden calcular la potencia que se gasta para hacer circular un líquido viscoso. Se habla de potencia
gastada, potencia consumida o de potencia que hay que entregar.
Esta potencia es la energía disipada por el rozamiento por unidad de tiempo. Es energía que se libera en
forma de calor.
En hidrodinámica la fórmula para calcular la potencia es:
Potencia
(en watts)
Pot = Q.∆P
En esta fórmula Q es el caudal que circula. Va en m3/seg. ∆P es la diferencia de presión entre la entrada y
la salida. Va en Pascales. Pot es la potencia en Watts. (1 Watt = 1 Joule/seg)
RÉGIMEN TURBULENTO - MÓDULO DE REYNOLDS
Hemos visto que en régimen laminar el fluido se desplaza por láminas paralelas entre sí y al eje de
conducción; el vector velocidad de una partícula en un punto determinado es paralelo al eje de la tubería
y por tanto no tiene componentes normales a dicho eje, siendo además constante con el tiempo para
todas las partículas que pasan por el mismo punto.
Decimos que un fluido se mueve por un tubo con régimen turbulento cuando aparecen componentes de la
velocidad normales a la dirección de propagación, que originan movimientos de rotación en forma de
torbellinos. Además, el vector velocidad, no permanece constante para un mismo punto del espacio,
considerando tiempos distintos, sino que varía.
Osborne Reynolds, definió un número adimensional que se lo conoce como número de Reynolds:
N Re =
2.v.ρ .R
η
ρ : densidad
η : viscosidad
R : radio del tubo
Se comprueba experimentalmente que, salvo pequeñas variaciones debidas al pulimiento de las paredes
del tubo, para cualquier fluido el flujo es laminar si R < 2000; para valores entre 2000 y 4000 el régimen es
de transición, y para R > 4000 el flujo es claramente turbulento. Es una buena aproximación considerar
como valor crítico del número de Reynolds el de 2400.
Fórmula de Stokes
Cuando un fluido viscoso se mueve alrededor de una esfera con régimen laminar, o cuando una esfera se
desplaza en el interior de un fluido en reposo, se ejerce una fuerza resistente sobre la esfera.
Supongamos el caso de la esfera que cae en un líquido en reposo, la esfera se mueve bajo la acción de las
siguientes fuerzas: el peso, el empuje (se supone que el cuerpo está completamente sumergido en el seno
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Física I
Ingeniería Mecánica
de un fluido), y una fuerza de rozamiento que es proporcional a la velocidad de la esfera (suponemos que
el flujo se mantiene en régimen laminar).
La fuerza de rozamiento es proporcional a la velocidad de la esfera respecto al fluido, y su expresión se
Fr = 6.π .R.η .v
denomina ley de Stokes:
La ecuación del movimiento será, por tanto:
∑ F = ma
⇒
mg − E − Fr = ma
la velocidad límite, se alcanza cuando la aceleración sea cero, es decir, cuando
la resultante de las fuerzas que actúan sobre la esfera es cero.
ρ e .V .g − ρ l .V .g − 6.π .R.η .vlim = 0
4
3
4
3
ρ e . π .R 3 .g − ρ l . π .R 3 .g − 6.π .R.η .vlim = 0
Despejamos la velocidad límite vlim, queda:
vlim =
2 g ( ρe − ρl ) R 2
9η
La relación anterior se cumple siempre que la velocidad no sea tan grande que se origine un régimen
turbulento. Cuando esto ocurre, la resistencia es mucho mayor que la dada por la fórmula de Stokes.
La ecuación del movimiento es:
m
dv
= (mg − E ) − (6πRη )v
dt
Integramos la ecuación del movimiento para obtener la velocidad
de la esfera en función del tiempo:
v = vlim
6πRη

−
t
− 1 − e m 


Esta ecuación nos dice que se alcanza la velocidad límite vlim después de un tiempo teóricamente infinito.
Si representamos v en función del tiempo la gráfica tienen una asíntota horizontal en v=vlim.
Las diferencias entre el movimiento de un cuerpo en caída libre y cuando cae en el seno de un fluido
viscoso se pueden resumir en el siguiente cuadro:
Caída libre
En el seno de un fluido viscoso
La velocidad es proporcional al tiempo
La velocidad tiende hacia un valor constante
El desplazamiento es proporcional al cuadrado del tiempo.
El desplazamiento es proporcional al tiempo.
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