E-tema2

COMPLEMENTOS DE MATEMÁTICAS( 2o ITT Telemática).
Hoja de PROBLEMAS del Tema 2
1. Se quiere construir una tabla que aproxime los valores de la función f (x) = sen x en el intervalo
[0, π/2] con un error menor que 5 · 10−6 utilizando un polinomio de Taylor en x0 = π/4.
¿De qué grado hay que tomar el polinomio?
2. Demuestra que la función f (x) = cos x es la suma de su serie de Taylor en x0 = 0.
3. Usa la interpolación lineal para calcular un valor aproximado de f (c) en los siguientes casos:
a) f (x) = cos x, x0 = 0, x1 = 0,1, c = 0,04.
b) f (x) = log (1 + x), x0 = 1, x1 = 1,1, c = 1,04.
c) f (x) = (1 + x)6 , x0 = 0,01, x1 = 0,03, c = 0,02.
Obten en cada caso una cota del error cometido.
4. El censo de una población P en diferentes años t viene dado por la siguiente tabla:
t (años)
0
5
10
20
3
0.8
1.2
1.5
1.7
P (10 ind.)
a) Aproximar el tamaño de la población en t = 15 utilizando la interpolación cúbica.
b) ¿Cuándo se alcanzará una población de 1000 individuos?
5. Dados los nodos x0 = 0, x1 = 1 y x2 = 2, construye los polinomios base de Lagrange asociados
L0 (x), L1 (x) y L2 (x) y comprueba que L0 (x) + L1 (x) + L2 (x) = 1 para todo x ∈ R. Con la
ayuda de la función f (x) ≡ 1 demuestra que esto ocurre en general, es decir, que dado un conjunto
cualquiera de n + 1 nodos x0 , x1 , .∑
. . , xn y sus correspondientes polinomios base de Lagrange Li (x)
n
con i = 0, 1, . . . , n se verifica que k=0 Lk (x) = 1 para todo x ∈ R.
6. La ecuación x − 9−x = 0 tiene una solución en [0, 1]. Estima dicha solución utilizando el polinomio
que interpola a f (x) = x − 9−x en x0 = 0, x1 = 0,5 y x2 = 1.
7. Dada la siguiente tabla de logaritmos:
x
log(x)
1.0
0.0
1.5
0.17609
2.0
0.30103
3.0
0.47712
3.5
0.54407
4.0
0.60206
a) Forma una tabla de diferencias divididas basada en estos valores.
b) ¿Cuántas formas distintas del polinomio interpolador de grado 5 podemos deducir de la tabla
construida en el apartado anterior?
c) Estima log 2,5, log 1,25 y log 3,25 usando un polinomio de grado 3 y calcular una cota del error
cometido.
8. Se quiere construir una tabla de la función f (x) = ex en [0, 1] utilizando valores de x equiespaciados
con un tamaño de paso h. Si el cálculo de f (x) para valores no incluı́dos en la tabla se realiza
mediante interpolación lineal en los dos nodos entre los que se encuentra x, calcula el valor de h
que asegura un error absoluto menor que 10−6 .
9. Determina un tamaño de paso apropiado para usar en la construcción de la tabla de f (x) = sen x
en [0, π/4] si el error al utilizar interpolación cuadrática tiene que ser menor que 10−6 .
10. Construye un polinomio de Hermite para la función sen x en 0, π/4, π/2, π/2. ¿Cúal es el error
cometido?
11. Para f (x) = sh(x) se sabe que f (0) = 0, f ′ (0) = 1, f (1) = 1,1752 y f ′ (1) = 1,5431. Forma una
tabla de diferencias divididas y calcula sh(0,5) utilizando interpolación cúbica de Hermite. Estima
una cota del error cometido.
12. Considera el intervalo [−1, 1]. Compara la cota del error del polinomio de interpolación de Lagrange
en los nodos -1, -1/3, 1/3, 1 con la cota del error del polinomio de interpolación de Hermite estricto
en los nodos -1, 1.
13. Dada la función f (x) = 1/x y los nodos x0 = 1, x1 = 1,5 y x2 = 2, estudia las posibilidades de
hacer una interpolación segmentaria cuadrática y que el resultado sea una función lo más regular
posible.