Intervalos de Confianza 1. Intervalo de confianza para la media

Bases de Estadı́stica
Licenciatura en Ciencias Ambientales
Curso 2oo3/2oo4
Intervalos de Confianza
El objetivo de esta práctica es ilustrar las diferentes técnicas para construir intervalos de confianza mediante el programa SPSS. Comenzaremos con el problema de construir un intervalo de confianza para la media de una población normal (con varianza desconocida), para posteriormente estudiar
algunos ejemplos de comparación de dos muestras. Utilizaremos los datos del fichero practica31
que contiene la esperanza de vida de los hombres y las mujeres de 40 paı́ses y que hemos utilizado
en prácticas anteriores.
1.
Intervalo de confianza para la media
En este apartado estudiamos cómo construir un intervalo de confianza para la esperanza de vida
media de los hombres, basado en los 40 datos de los que disponemos y haciendo la hipótesis de
que la población es normal. Para ello, una vez que hemos abierto el fichero de datos que queremos
analizar y lo tenemos a la vista en el Editor de datos:
Se selecciona Analizar ,→ Comparar medias ,→ Prueba T para una muestra...
En el cuadro Variables a contrastar seleccionamos la variable que contiene las esperanzas
de vida de los hombres.
El nivel de confianza utilizado por defecto es del 95 %. Para cambiarlo, hay que seleccionar el
botón Opciones .
El cuadro Valor de prueba está relacionado con los contrastes de hipótesis. Por defecto
toma el valor cero.
Si pulsamos Aceptar , la salida del SPSS es la siguiente:
1
Prueba para una muestra
Valor de prueba = 0
HOMBRES
t
46,044
gl
39
Sig. (bilateral)
,000
Diferencia
de medias
63,325
95% Intervalo de
confianza para la
diferencia
Inferior
60,543
Superior
66,107
√
La fórmula del intervalo para la media µ que estamos calculando √
es [x̄ ∓ tn−1,α/2 s/ n], donde
1 − α es el nivel de confianza. En la tabla anterior, t = (x̄ − µ0 )/(s/ n), donde µ0 es el valor de
prueba. La columna gl da los grados de libertad. La diferencia de medias es x̄ − µ0 , es decir, el
centro del intervalo para el valor por defecto µ0 = 0. La columna sig(bilateral) da el llamado
“p-valor”. En general, el programa calcula un intervalo de confianza para µ − µ0 , es decir, si µ0 = 0,
calcula un intervalo de confianza para µ.
Ejercicio 1. Construye dos intervalos de confianza (con niveles de confianza del 90 % y del 99 %)
para la esperanza de vida de las mujeres. Compara los márgenes de error de ambos intervalos.
2.
Intervalos de confianza para la diferencia de medias
Cuando se dispone de dos muestras procedentes de poblaciones normales se puede calcular un
intervalo de confianza para la diferencia de medias µ1 − µ2 . Para ello, es importante distinguir si
las dos muestras son independientes o si los datos son emparejados. Veamos cómo llevar a cabo el
análisis en cada uno de estos casos.
2.1.
Datos emparejados
Supongamos que queremos, con los datos disponibles, comparar la esperanza de vida de los
hombres µ1 con la de las mujeres µ2 . Es claro que los datos son emparejados y que las muestras
no son independientes ya que si en un paı́s la esperanza de vida de los hombres es alta, también
tenderá a serlo la de las mujeres. En este caso, la solución es construir un intervalo de confianza
para la media de las diferencias. Hay dos métodos para llevar a cabo los cálculos con el SPSS. Una
posibilidad es la siguiente:
Crear una nueva variable que contenga las diferencias entre las esperanzas de vida de los
hombres y de las mujeres. Para ello se selecciona Transformar ,→ Calcular . En el cuadro
2
Nueva variable se escribe el nombre de la nueva variable que contendrá las diferencias. Por
ejemplo, dif. En el cuadro Expresión numérica se escribe hombres-mujeres.
Para la nueva variable dif se llevan a cabo los cálculos explicados en la sección anterior. Los
resultados se presentan en el cuadro siguiente.
Prueba para una muestra
Valor de prueba = 0
DIF
t
-12,279
gl
39
Sig. (bilateral)
,000
Diferencia
de medias
-4,8000
95% Intervalo de
confianza para la
diferencia
Inferior
-5,5907
Superior
-4,0093
Ejercicio 2. Construye, siguiendo el procedimiento que acabamos de explicar, un intervalo de
confianza al 95 % para µ1 − µ2 , la diferencia entre la esperanza de vida media de los hombres y la
de las mujeres. A la vista de la salida, contesta a las siguientes preguntas:
(a) Si di = xi − yi son las diferencias, ¿cuáles son los valores de d¯ y de sd ?
(b) ¿Qué relación existe entre los valores t, “error tı́pico de la media” y “diferencia de medias”,
que aparecen en la salida?
(c) Según el intervalo obtenido, ¿existen diferencias significativas entre las esperanzas de vida?
Otra posibilidad para llevar a cabo los mismos cálculos es
Se selecciona Analizar ,→ Comparar medias ,→ Prueba T para muestras relacionadas
En el cuadro Variables relacionadas seleccionamos las variables que contienen las esperanzas de vida de los hombres y de las mujeres. Los resultados se presentan en el cuadro
siguiente.
Prueba de muestras relacionadas
Diferencias relacionadas
Par 1
HOMBRES - MUJERES
Media
-4,800
Desviación
típ.
2,472
Error típ. de
la media
,391
3
95% Intervalo de
confianza para la
diferencia
Inferior
-5,591
Superior
-4,009
t
-12,279
gl
39
Sig. (bilateral)
,000
2.2.
Muestras independientes
Se ha realizado un estudio para investigar el efecto del ejercicio fı́sico en el nivel de colesterol
en la sangre. Para ello se midió el nivel de colesterol en 11 personas que no realizan habitualmente
ejercicio fı́sico (grupo 1) y otras 11 personas que sı́ lo realizan (grupo 2). Las mediciones obtenidas,
expresadas en mg/dl, fueron las siguientes:
Grupo 1
182
232
191
200
148
249
276
213
241
480
262
Grupo 2
198
210
194
220
138
220
219
161
210
313
226
Para calcular el intervalo se procede de la siguiente forma:
Las mediciones de ambos grupos se han de incluir en la misma variable, que podemos denominar colest. A continuación hay que definir una variable de agrupación o codificación (a
la que llamaremos grupo) que tenga, por ejemplo, 11 unos en los 11 primeros lugares y 11
doses en los lugares restantes. El papel de esta variable es identificar los datos que pertenecen
a cada una de los dos grupos. Los datos se pueden bajar de la página web de la asignatura
(fichero practica32).
Una vez que tenemos los datos preparados, se selecciona:
Analizar ,→ Comparar medias ,→ Prueba T para muestras independientes
En el cuadro de diálogo que aparece se selecciona la variable a contrastar colest y la variable
de agrupación grupo. En Definir grupos se indica el código asignado a cada muestra (en
nuestro caso, 1 para la primera y 2 para la segunda).
La interpretación de los resultados es totalmente análoga a la de los casos anteriores. Los
resultados se presentan en el cuadro siguiente.
4
Prueba de muestras independientes
Prueba de Levene para
la igualdad de varianzas
F
COLEST
Se han asumido
varianzas iguales
No se han asumido
varianzas iguales
1,396
Sig.
,251
Prueba T para la igualdad de medias
t
gl
Sig. (bilateral)
Diferencia
de medias
Error típ. de la
diferencia
95% Intervalo de
confianza para la
diferencia
Inferior
Superior
1,128
20
,272
33,1818
29,4047
-28,1553
94,5189
1,128
14,736
,277
33,1818
29,4047
-29,5908
95,9545
Ejercicio 3. Construye, siguiendo el procedimiento que acabamos de explicar, un intervalo de
confianza al 95 % para la diferencia entre los niveles medios de colesterol de las personas que no
realizan ejercicio fı́sico habitualmente y de las que sı́ lo hacen, µ1 − µ2 . A la vista de los resultados,
contesta a las siguientes preguntas (suponemos que las varianzas de ambas poblaciones son iguales):
(a) Estima el valor de V(x̄1 ), V(x̄2 ) y V(x̄1 − x̄2 )
(b) ¿Qué valor toma sp , el estimador combinado de la desviación tı́pica poblacional basado en las
observaciones de ambos grupos?
(c) Con los resultados obtenidos, ¿puede determinarse que existen diferencias significativas entre
los dos grupos?
(d) Repite los cálculos pero tomando un nivel de confianza del 99 %. ¿Qué es lo que cambia y
qué permanece constante en la salida respecta al caso anterior? ¿Se mantienen las mismas conclusiones?
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