Ejercicio 1

Consejería de Educación,
Ciencia y Cultura
CALIFICACIÓN: ___________________
PRUEBAS DE ACCESO A CICLOS FORMATIVOS DE GRADO SUPERIOR DE
FORMACIÓN PROFESIONAL
JUNIO 2015
Apellidos_________________________________________________Nombre___________________
DNI / NIE _____________________
Centro de examen__________________________________________________________________
PARTE COMÚN
MATERIA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS
Instrucciones Generales
-
Duración del ejercicio: Hora y media.
Mantenga su DNI en lugar visible durante la realización de la prueba.
Realice el ejercicio en las hojas de respuestas entregadas al final de este documento y
entregue este cuadernillo completo al finalizar la prueba.
Lea detenidamente los textos, cuestiones o enunciados.
Cuide la presentación y la ortografía.
Revise la prueba antes de entregarla.
Criterios de calificación
Esta materia de la prueba se calificará numéricamente entre 0 y 10 puntos, en función de los
siguientes criterios:
-
El aspirante debe realizar cuatro ejercicios de los seis propuestos.
Si un aspirante realiza más de cuatro ejercicios, sólo se calificarán los cuatro primeros
realizados.
Trabajar con dos decimales, redondeando en los ejercicios donde sea necesario.
Todos los ejercicios tienen una puntuación de 2´5 puntos, distribuidos de la siguiente manera:
-
-
Ejercicio 1 ….. a) 1 punto. b) 1´5 puntos
Ejercicio 2 ….. 2´5 puntos.
Ejercicio 3 ….. 2´5 puntos.
Ejercicio 4 ….. a) 0,5 puntos. b) 1 punto c) 1 punto
Ejercicio 5 ….. Cada apartado 0,5 puntos.
Ejercicio 6 ….. a) 1,5 puntos b) 1 punto
Se valorará el orden, la limpieza y la claridad en la presentación.
Se valorará el orden y el rigor en el planteamiento y el uso correcto del lenguaje matemático.
Se valorará la discusión de las soluciones si fuera preciso.
Se valorarán negativamente los errores conceptuales.
Se puede utilizar cualquier tipo de calculadora científica no programable.
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La nota de la parte común será la media aritmética de las calificaciones obtenidas en cada
una de las materias de las que consta, siempre que se obtenga, al menos, una calificación
de cuatro puntos en cada una de ellas. Esta nota media deberá ser igual o superior a cuatro
puntos para que haga media con la parte específica.
EJERCICIOS
Ejercicio 1
En una reunión hay 60 personas entre altas, medianas y bajas. Se sabe que entre las
bajas y las medianas duplican el número de altas. También se sabe que las altas y el
doble de las medianas son el doble de las bajas.
a) Escribir un sistema de ecuaciones para determinar el número de personas altas,
medianas y bajas que hay en la reunión.
b) Resolver el sistema.
Ejercicio 2
Al repartir cierta cantidad de dinero en partes proporcionales a la edades de los tres
hermanos que tienen 15, 20 y 25 años respectivamente, le correspondió al mediano 650 €
más que al pequeño. ¿Cuánto le correspondió a cada hermano?
Ejercicio 3
Un barco B pide socorro y se reciben las señales en dos estaciones de radio, A y C, que
distan entre si 50 km. Desde las estaciones se miden los siguientes ángulos: A = 46º
y C = 53º. ¿A qué distancia de cada estación se encuentra el barco?
Ejercicio 4
La producción en kilogramos de calabacín en un invernadero depende de la temperatura
t, en grados centígrados de éste, y viene dada por la expresión,
𝑃(𝑡) = (𝑡 + 1)2 · (32 − 𝑡) (𝑠𝑢𝑝𝑜𝑛𝑒𝑟 𝑡 > 0)
a) ¿Qué producción se obtiene si la temperatura es de 18º?
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b) ¿A qué temperatura se produce la máxima producción? Determinar la producción
máxima.
¿Hasta qué temperatura la producción aumenta?, ¿cuánto disminuye?
Ejercicio 5
Se ha realizado una encuesta sociológica acerca de la actitud política progresista o
conservadora a 334 universitarios de los que 196 son varones. Un total de 187 han
manifestado ser progresistas, de los cuales 42 son mujeres. Se elige al azar un
universitario. Calcular las siguientes probabilidades:
a) Que sea mujer.
b) Que tenga una actitud conservadora.
c) Que sea varón y progresista.
d) Que sea conservadora sabiendo que ha sido mujer.
e) Construir la tabla de contingencia.
Ejercicio 6
Dos jugadores de baloncesto A y B consiguen encestar tiros de tres puntos por partidos
según la distribución siguiente:
Encestes\ Partido
Jugador A
1
1
2
3
3
13
4
2
5
1
Jugador B
8
1
0
1
10
a) Calcular el coeficiente de variación de cada uno de los jugadores.
b) Comparar ambos, interpretando el resultado.
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SOLUCIONES
Ejercicio 1
En una reunión hay 60 personas entre altas, medianas y bajas. Se sabe que entre
las bajas y las medianas duplican el número de altas. También se sabe que las altas
y el doble de las medianas son el doble de las bajas.
a) Escribir un sistema de ecuaciones para determinar el número de personas
altas, medianas y bajas que hay en la reunión.
b) Resolver el sistema.
Solución.
a) Escribir un sistema de ecuaciones para determinar el número de personas
altas, medianas y bajas que hay en la reunión.
Designamos con las siguientes letras “x” al número de personas altas; “y” al número
de personas medianas; y “z” al número de personas pequeñas.
En virtud de lo expuesto en el enunciado, las ecuaciones que describen el problema
son las siguientes,
hay 60 personas entre altas, medianas y bajas
⇔
x + y + z = 60
entre las bajas y las medianas duplican el número de altas
⇔
z + y = 2x
las altas y el doble de las medianas son el doble de las bajas
⇔
x + 2y = 2z
Por tanto, el sistema es,
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 60
𝑧 + 𝑦 = 2𝑥 } ⇔
𝑥 + 2𝑦 = 2𝑧
4
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 60
−2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0 }
𝑥 + 2𝑦 − 2𝑧 = 0
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b) Resolver el sistema.
Resolvemos por el método de Gauss.
x + y + z = 60
1 1 1 60
1 1 1
60
F =F +2·F1
−2x + y + z = 0 } ⇔ ( −2 1 1 | 0 ) → 2 2
( 0 3 3 | 120 )
F3 =F3 −F1
x + 2y − 2z = 0
1 2 −2 0
0 1 −3 −60
→
F3 =3·F3 −F2
→
1
(0
0
x + y + z = 60
y + z = 40
} ⇔
300
z=
= 25
12
x + y + 25 = 60
y + 25 = 40
z = 25
⇔
x + y + z = 60
3y + 3z = 120 }
−12z = −300
1
1
60
|
3
3
120 ) ⇔
0 −12 −300
x + 15 = 35
y = 15
z = 25
} ⇔
x + y + 25 = 60
y + 25 = 40
z = 25
x + y = 60 − 25
y = 40 − 25
z = 25
x = 35 − 15
y = 15
z = 25
} ⇔
𝑥 = 20
𝑦 = 15
𝑧 = 25
} ⇔
} ⇔
} ⇔
}
Por tanto, habrá 20 personas altas, 15 personas medianas y 25 personas bajas.
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Ejercicio 2
Al repartir cierta cantidad de dinero en partes proporcionales a la edades de los tres
hermanos que tienen 15, 20 y 25 años respectivamente, le correspondió al mediano
650 € más que al pequeño. ¿Cuánto le correspondió a cada hermano?
Solución. Puesto que entre el mediano y el pequeño hay 5 años de diferencia y,
según dice el problema, hay una diferencia de dinero de 650 €, entonces podemos
calcular proporcionalmente de manera sencilla las cantidades que les corresponden a
cada uno.
 Al hermano menor le corresponderán,
Años
Dinero
5
⇔
650 €
15
⇔
x
x =
650 · 15
= 1 950 € para el hermano con 15 años.
5
 Al hermano mediano le corresponderán

Años
Dinero
650 · 20
5
⇔ 650 €
x =
= 2 600 € para el hermano con 20 años.
5
20
⇔
x
 Al hermano mayor le corresponderán,
Años
Dinero
5
⇔
650 €
25
⇔
x
x =
650 · 25
= 3 250 € para el hermano con 30 años.
5
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Ejercicio 3
Un barco B pide socorro y se reciben las señales en dos estaciones de radio, A y C,
que distan entre si 50 km. Desde las estaciones se miden los siguientes ángulos:
A = 46º y C = 53º. ¿A qué distancia de cada estación se encuentra el barco?
Solución. La situación descrita se puede representar mediante el siguiente dibujo.
El ángulo que forman las estaciones C y A con
el barco mide,
180º – 53º – 46º = 78º
Aplicamos el teorema del seno para calcular la
distancia entre la estación C y el barco B, y
que denotamos mediante x.
sen 78º sen 46º
=
⇔
50
x
x=
50 · sen 46º
= 36´77 km
sen 78º
Por lo tanto, la distancia entre el barco B y la estación de radio A es 36´77 km.
Para calcular la distancia “y” entre el barco B y la estación de radio C volvemos a
aplicar el teorema del seno (se podría también aplicar el teorema del coseno).
sen 78º sen 53º
=
⇔
50
y
y=
50 · sen 53º
= 40´82 km
sen 78º
Por lo tanto, la distancia entre el barco B y la estación de radio C es 40´82 km.
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Ejercicio 4
La producción en kilogramos de calabacín en un invernadero depende de la
temperatura t, en grados centígrados de éste, y viene dada por la expresión,
𝐏(𝐭) = (𝐭 + 𝟏)𝟐 · (𝟑𝟐 − 𝐭) (𝐬𝐮𝐩𝐨𝐧𝐞𝐫 𝐭 > 𝟎)
a) ¿Qué producción se obtiene si la temperatura es de 18º?
b) ¿A qué temperatura se produce la máxima producción? Determinar la
producción máxima.
c) ¿Hasta qué temperatura la producción aumenta?, ¿cuánto disminuye?
Solución.
a) ¿Qué producción se obtiene si la temperatura es de 18º?
Sustituimos el valor t = 18º en la expresión analítica de la función y obtenemos la
producción a 18º.
P(18) = (18 + 1)2 · (32 − 18) = 192 · 14 = 5 054 kg
Por lo tanto, a 18º se obtiene una producción de 5 054 kg.
b) ¿A qué temperatura se produce la máxima producción? Determinar la
producción máxima.
Calculamos el máximo de la producción acudiendo a la primera derivada de la
función.
P´(t) = 2 · (t + 1) · 1 · (32 − t) + (t + 1)2 · (−1) = (2t + 2) · (32 − t) − t 2 − 2t − 1 =
= 64t − 2t 2 + 64 − 2t − t 2 − 2t − 1 = −3t 2 + 60t + 63
Igualamos a cero la primera derivada para calcular los extremos relativos de
la función.
−20 ± √ 202 − 4 · (−1) · 21
−3t 2 + 60t + 63 = 0 ⇔ −t 2 + 20t + 21 = 0 ⇔ t =
=
2 · (−1)
−20 ± √ 400 + 84
−20 ± √ 484
−20 ± 22
=
=
=
−2
−2
−2
{
8
−20 + 22
= −1
−2
−20 − 22
t2 =
= 21
−2
t1 =
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Calculamos la segunda derivada para saber cuál de los dos valores es el máximo
relativo pedido,
P´(t) = −3t 2 + 60t + 63 ⇒ P´´(t) = −6t + 60
Sustituimos los valores de extremo relativo en la segunda derivada y decidimos cuál
es el máximo relativo,
 Si t = – 1º, entonces
P´´(−1) = −6 · (−1) + 60 = 66 > 0
Por tanto, t= – 1º es un mínimo relativo.
 Si t = –21º, entonces
P´´(21) = −6 · (21) + 60 = −66 < 0
Por tanto, t= 21º es un Máximo relativo.
Puesto que sólo contemplamos t > 0 entonces la función, al ser continua por ser un
polinomio, va a ser decreciente a partir de t = 21º. En ese caso, para t = 21º
tendremos la temperatura que produce la máxima producción.
Esa producción máxima es,
P(21) = (21 + 1)2 · (32 − 21) = 222 · 11 = 484 · 11 = 5 324 kg
Por lo tanto, la producción máxima es 5 324 kg.
c) ¿Hasta qué temperatura la producción aumenta?, ¿cuánto disminuye?
Dado el estudio efectuado sobre la primera derivada, el cálculo de los máximos y
mínimos relativos de la función y, teniendo en cuenta que la función es continua,
tendremos que,


La función crece desde la temperatura 0º hasta la temperatura 21º.
La función decrece desde la temperatura 21º en adelante.
Por ello, tendremos que la producción aumenta hasta la temperatura 21º y a partir
de esa temperatura disminuye.
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Ejercicio 5
Se ha realizado una encuesta sociológica acerca de la actitud política progresista o
conservadora a 334 universitarios de los que 196 son varones. Un total de 187 han
manifestado ser progresistas, de los cuales 42 son mujeres. Se elige al azar un
universitario. Calcular las siguientes probabilidades:
a) Que sea mujer.
b) Que tenga una actitud conservadora.
c) Que sea varón y progresista.
d) Que sea conservadora sabiendo que ha sido mujer.
e) Construir la tabla de contingencia.
Solución.
a) Que sea mujer.
Puesto que hay 334 universitarios de los cuales 196 son varones, entonces hay un
total de mujeres de,
334 – 196 = 138
En ese caso, la probabilidad de que, elegida una persona al azar entre los 334
universitarios es,
Casos favorables
138
P(Ser mujer) =
=
≈ 0´4132
Casos posibles
334
b) Que tenga una actitud conservadora.
Puesto que hay 334 universitarios de los cuales 187 manifiestan una actitud
progresista, entonces hay un total de personas con actitud conservadora de,
334 – 187 = 147
En ese caso, la probabilidad de que, elegida una persona al azar entre los 334
universitarios, tenga actitud conservadora es,
P(Tener actitud conservadora) =
10
Casos favorables
147
=
≈ 0´4401
Casos posibles
334
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c) Que sea varón y progresista.
Puesto que hay 187 manifiestan una actitud progresistas y, de ellos, 42 son mujeres,
entonces hay un total de hombres con actitud progresista de,
187 – 42 = 145
En ese caso, la probabilidad de que, elegida una persona al azar entre los 334
universitarios, sea varón y tenga actitud progresista es,
P(Tener actitud conservadora) =
Casos favorables
145
=
≈ 0´4341
Casos posibles
334
d) Que sea conservadora sabiendo que ha sido mujer.
Se trata de una probabilidad condicionada. Si denotamos del siguiente modo a los
sucesos,
C = “Actitud conservadora” y M = “Ser mujer”
Entonces la probabilidad pedida será,
P(T ener actitud conservadora⁄Mujer ) =
P(Actitud conservadora y ser mujer)
P(Ser mujer)
Puesto que hay 196 varones entonces hay 138 mujeres. De esas mujeres 42 son
progresistas por lo que, el número de mujeres con actitud conservadora es,
138 – 42 = 96
Por lo tanto, la probabilidad de tener actitud conservadora y ser mujer será,
P(Tener actitud conservadora y ser mujer) =
Casos favorables
96
=
≈ 0´2874
Casos posibles
334
Y la probabilidad pedida es,
P(T ener actitud conservadora⁄Mujer ) =
96
P(Actitud conservadora y ser mujer)
96
334
=
=
≈ 0´6956
138
P(Ser mujer)
138
334
11
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DNI / NIE _____________________
e) Construir la tabla de contingencia.
La tabla de contingencia con la que se puede resolver todo el ejercicio desde
el principio es,
Varón
Mujer
Total
Actitud conservadora
51
96
147
Actitud progresista
145
42
187
196
138
334
Total
Ejercicio 6
Dos jugadores de baloncesto A y B consiguen encestar tiros de tres puntos por
partidos según la distribución siguiente:
Encestes\ Partido
1
2
3
4
5
Jugador A
1
3
13
2
1
Jugador B
8
1
0
1
10
a) Calcular el coeficiente de variación de cada uno de los jugadores.
b) Comparar ambos, interpretando el resultado.
Solución.
a) Calcular el coeficiente de variación de cada uno de los jugadores.
El coeficiente de variación viene determinado por el cociente de la desviación típica
de la muestra entre la media muestral,
C. V. =
σ
̅
X
Calculamos para cada muestra su media muestral y su desviación típica.
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Apellidos_______________________________________________Nombre_____________________
DNI / NIE _____________________
 Muestra Jugador A.
̅A =
X
1 + 3 + 13 + 2 + 1
20
=
= 4 triples
5
5
σ2A = ∑
=
(1 − 4)2 + (3 − 4)2 + (13 − 4)2 + (2 − 4)2 + (1 − 4)2
( xi − ̅
X )2
=
=
N
5
(−3)2 + (−1)2 + (+9)2 + (−2)2 + (−3)2
9 + 1 + 81 + 4 + 9
104
=
=
= 20´8
5
5
5
σA = √ σ2A = √20´8 ≈ 4´56
Por tanto, el Coeficiente de Variación del Jugador A es,
C. V. (Jugador A) =
σA
4´56
≈
≈ 1´14
̅
4
XA
 Muestra Jugador B.
̅
XB =
σ2B
8 + 1 + 0 + 1 + 10
20
=
= 4 triples
5
5
̅ )2
(8 − 4)2 + (1 − 4)2 + (0 − 4)2 + (1 − 4)2 + (10 − 4)2
( xi − X
=∑
=
=
N
5
=
(+4)2 + (−3)2 + (−4)2 + (−3)2 + (+6)2
16 + 9 + 16 + 9 + 36
=
=
5
5
86
=
= 17´2
5
σB = √ σ2B = √17´2 ≈ 4´15
Por tanto, el Coeficiente de Variación del Jugador B es,
C. V. (Jugador B) =
σB
4´2
≈
≈ 1´04
̅
4
XB
b) Comparar ambos, interpretando el resultado.
Puesto que C. V. (Jugador B) ≈ 1´04 y C. V. (Jugador A) ≈ 1´14, podemos decir que el
Jugador B presenta menos dispersión en el tiro triple que el jugador A aún cuando
ambos tienen la misma media aritmética de tiro.
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