Soluciones a “Ejercicios y problemas”

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Soluciones a “Ejercicios y problemas”
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Los proveedores de internet miden la velocidad de bajada en Kbps (kilobits
por segundo), pero en los programas de descargas se habla de KB/s (kilobytes por
segundo).
a) He pasado un test de velocidad a mi ordenador y me da 6 180 Kbps. ¿Cuántos
bps y cuántos KB/s baja mi ordenador?
b) Tengo 2 minutos de conexión y quiero descargar un archivo de 4 325 KB y otro
de 20 MB. ¿Tendré tiempo suficiente para hacerlo?
c) Para que un archivo de 20 MB tarde menos de 25 s en bajar, ¿qué velocidad en
Kbps se necesita?
a) 6 180 Kbps = 6 180 · 103 bps = 6,18 · 106 bps
6 180 = 772,5 KB/s
8
b) 2 min = 120 s; 20 MB = 20 000 KB
4 325 + 20 000 = 24 325 KB
Por tanto, el tiempo total de la descarga será:
24 325 = 31,49 s
772,5
Como tengo 2 min, me dará tiempo a realizar la descarga.
c) 20 MB = 20 000 KB
Así:
20 000 = 800 KB/s
25
Ahora:
800 · 8 = 6 400 kbps
Necesitamos más de 6 400 kbps.
■ Problemas “+”
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Durante la década de 1990-2000 se produjo en el mundo una pérdida de superficie forestal neta de 93,9 millones de hectáreas. En la página web donde leo la información dice que esto representa más de 6 millones de campos de fútbol por año.
Comprueba si es cierta esta información (dimensiones máximas de un campo de fútbol: 120 m × 75 m).
La superficie de un campo de fútbol es:
120 · 75 = 9 000 m2
Por tanto, la de 6 millones de campos es:
9 000 · 6 · 106 = 54 · 109 = 5,4 · 1011 m2
Unidad 2. Potencias y raíces. Números aproximados
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Además:
5,4 · 1011 = 5,4 · 107 ha
104
Según el enunciado, la superficie forestal perdida fue:
93,9 · 109 ha = 9,39 · 107 ha
Como 9,39 · 107 > 5,4 · 107, la información es correcta.
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La combustión de un litro de gasolina produce 2 370 g de CO2. El consumo
medio de un coche es 8 l por cada 100 km. En España hay aproximadamente 600
coches por cada 1 000 habitantes, que hacen una media de 15 000 km al año.
a) Calcula la cantidad de CO2 que emite un coche por kilómetro recorrido.
b) ¿Cuántas toneladas de CO2 se emiten en España en un año?
c) La UE quiere limitar las emisiones a 130 g/km para el año 2012. ¿Cuántas toneladas de CO2 se dejarán de emitir en España en un año con esa norma?
a)
8 l · 2 370 g/l = 189,6 g/km es la emisión de CO por cada kilómetro.
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100 km
b) Tomemos la población española como 45 millones. Así, la cantidad total de coches es:
4,5 · 107 · 600 = 2,7 · 107 coches
1 000
El consumo anual de un coche es:
15 000 · 8 = 1 200 l
100
Por tanto, el consumo total en España es:
2,7 · 107 · 1 200 = 3 240 · 107 = 3,24 · 1010 l
Y las emisiones de CO2 totales:
3,24 · 1010 · 2 370 = 7,68 · 1013 g = 7,68 · 107 t
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Una nave espacial sale de la Tierra hacia un planeta situado a 220 km. Después
de recorrer 1/4 de su trayecto, pierde el contacto por radio y lo recupera cuando está a 219 km de su destino. ¿Cuántos kilómetros recorrió sin radio?
Cuando pierde el contacto por radio, ha recorrido:
1 · 220= 220 = 218 km
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22
Cuando vuelve a recuperar la radio le queda 219 km, lo que supone que ha recorrido ya:
220 – 219 = 2 · 219 – 219 = 219(2 – 1) = 219
Es decir, cuando recupera el contacto, está justo en la mitad de su trayecto.
Como perdió el contacto al llegar a un cuarto de su viaje, resulta que estuvo otro cuarto
sin el uso de la radio.
Por tanto, sin radio recorrió 218 km.
Unidad 2. Potencias y raíces. Números aproximados
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■ Reflexiona sobre la teoría
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¿Cuáles de los siguientes números no son racionales? Pon en forma de fracción
los que sea posible:
a) 0,018
b) √10
d) 2π
e) 7,03232…
)
Racionales: 0,018; 7,03232…; 0,23
c) 1,212112111…
)
f ) 0,23
)
)
0,018 = 18 = 9 ; 7,032 = 6 962 = 3 481 ; 0,23 = 23
1 000 500
990
495
99
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La raíz de índice par de un número positivo tiene dos valores. Cuando escribimos – √4 nos referimos a la raíz negativa. Es decir, – √4 = –2.
¿Cuál es el valor de las siguientes expresiones?
a) – √64
b) 4√81
c) – √1
d) 6√1
e) – √9
f ) ³√–8
a) –8
b) 3
c) –1
d) 1
e) –3
f) –2
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¿Por qué no se puede hallar la raíz de índice par de un número negativo?
Calcula, cuando sea posible, estas raíces:
a) 4√256
b) ³√–27
c) 4√–16
d) 5√–1
e) – √36
f ) 6√–1
Porque al elevar un número negativo a un exponente par, obtenemos un número positivo.
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a) 4
b) –3
c) Imposible.
d) –1
e) –6
f) Imposible.
Justifica cuál debe ser el valor de a, en cada caso, para que se verifique la
igualdad:
b) a –1 = 2
c) √a = 4
a) a 3 = 26
5
e) a –2 = 1
f ) a –5 = –1
d) 4√a = 1
4
b) a = 1
a) a = 22
c) a = 16
2
25
d) a = 1
e) a = 2
f) a = –1
Unidad 2. Potencias y raíces. Números aproximados
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■ Piensa y deduce
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¿Cuál es el máx.c.d. y el mín.c.m. de los siguientes números?
3 · 103
4 · 104
5 · 105
6 · 106
máx.c.d. (3 · 103, 4 · 104, 5 · 105, 6 · 106) = 103
mín.c.m. (3 · 103, 4 · 104, 5 · 105, 6 · 106) = 6 · 106
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Halla el valor de x para que se verifique la igualdad:
8668 + 22 005 + 41 003 = 7 · 2x
Pongamos el primer miembro todo en base 2:
8668 + 22005 + 41003 = (23)668 + 22005 + (22)1003 = 22004 + 22005 + 22006 =
= 22004 + 2 · 22004 + 22 · 22004 = (1 + 2 + 4) · 22004 =
= 7 · 22004
Como el segundo miembro es:
7 · 2x
Resulta que:
7 · 22004 = 7 · 2x 8 x = 2004
Unidad 2. Potencias y raíces. Números aproximados