FUNCIÓN LINEAL - club pilosos 2016

INSTITUCIÓN EDUCATIVA GABRIEL
TRUJILLO
CORREGIMIENTO DE CAIMALITO, PEREIRA
Pobre del estudiante que no aventaje a su maestro.
LA LÍNEA
RECTA
Leonardo
da Vinci
DESEMPEÑOS
Identificar, interpretar, graficar y aplicar ecuaciones con dos incógnitas de primer grado en la
solución de ejercicios y de problemas del entorno.
INDICADORES DE LOGROS



Interpreta adecuadamente ecuaciones lineales con dos incógnitas.
Construye ecuaciones lineales con dos incógnitas a partir de una situación problema.
Esta siempre atento y dispuesto en clase.
CONTENIDOS:
La línea recta.
Interpretación de ecuaciones lineales con dos incógnitas.
Rectas paralelas y perpendiculares
Formas de la ecuación de la recta
LA LINEA RECTA
Es posible calcular el peso esperado (W) en toneladas de una ballena jorobada a partir de su longitud (L)
en pies, mediante la fórmula W = 1,7L - 42,8 para valores de L entre 30 y 50 pies.
Un modelo gráfico de esta situación se muestra en la siguiente figura. Debido a que el peso depende de la
longitud, entonces el eje de abscisas representa la variable L (longitud), y el eje de ordenadas la variable W
(peso). Gracias a esta relación lineal es posible encontrar cualquier valor de W conociendo el valor de la
longitud, siempre y cuando ésta esté entre 30 y 50 pie s.
Esta y muchas otras situaciones se pueden modelar a través de funciones lineales, las cuales vamos a
ver con más profundidad en esta lección.
Una expresión de la forma AX + BY + C = 0 con A, B, C ∈ R, A ≠ 0 ó B ≠ 0, X e Y variables
independiente y dependiente respectivamente se denomina ecuación general de la línea recta.
Al despejar la variable “y” tenemos una función lineal afín:
Se identifican los coeficientes:
Luego la función lineal en forma canónica o afín se puede representar como:
y = mx + b
X: Es la variable independiente y se ubica en el eje x (abscisa).
Y: Es la variable dependiente y se ubica en el eje y (ordenada); también se denota por f(x).
m: Es la pendiente de la recta e indica el grado de inclinación de la recta con respecto al eje
positivo de las x (abscisas).
b: Es el intercepto o punto de corte con el eje y (ordenadas).
La representación gráfica de la función lineal es una línea recta.
INTERPRETACION DE ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS
ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS
Existen muchos problemas que pueden plantearse a través de ecuaciones con más de una
incógnita. Veamos el siguiente ejemplo:
María recorrió 10 Km siempre en la misma dirección, una parte del recorrido lo hizo a pie y el resto
en camión. ¿Cuántos kilómetros caminó y cuántos recorrió en camión?
Es claro que la pregunta anterior da lugar a muchas respuestas. Podríamos decir por ejemplo, que
María recorrió:
• 5 Km a pie y 5 Km en camión, porque 5 + 5 = 10
• 1 Km a pie y 9 Km en camión, porque 1 + 9 = 10
• 2.5 Km a pie y 7.5 Km en camión, porque 2.5 + 7.5 = 10
• 0.8 Km a pie y 9.2 Km en camión, porque 0.8 + 9.2 = 10
Usted puede encontrar otras parejas de números que pueden ser solución del problema. Pero no
cualquier pareja de números es solución del problema. Por ejemplo:
• Los números 3 y 8 no son solución, porque 3 + 8 = 11 ≠ 10
• Los números –1 y 11 tampoco son solución, porque aunque –1 + 11 = 10, María siempre caminó
en la misma dirección y entonces no pudo recorrer –1 Km a pie.
Si llamamos x a la cantidad de kilómetros que María caminó y si llamamos y a la can tidad de
kilómetros recorridos en camión, podemos describir el problema anterior del siguiente modo:
x + y = 10
A expresiones de este estilo se las denomina ecuaciones de primer grado con dos incógnitas o
ecuaciones lineales con dos incógnitas. Ya dijimos que este problema tiene muchísimas
soluciones de las que hemos encontrado sólo algunas. Las soluciones que hemos encontrado:
x = 5, y = 5
x =1, y = 9
x = 2.5, y = 7.5
x = 0.8, y = 9.2
Pueden ser expresadas como parejas ordenadas: (5, 5); (1, 9); (2.5, 7.5); (0.8, 9.2) y estas parejas
ordenadas nos pueden servir para representar gráficamente las soluciones que hemos
encontrado. Para ello consideramos los valores de x como abscisa, y los de y como ordenadas.
Así, las primeras soluciones quedarán representadas por los siguientes puntos.
TALLER 1
1.
Para cada una de las siguientes ecuaciones, trace la recta que representa a todas las
soluciones.
a.
–x + y = 4
Ecuación Canónica:
X
y
b.
x + y = –2
Ecuación Canónica:
X
y
2.
Considere la ecuación x – y = 3.
Complete las siguientes parejas de números para que sean soluciones de la ecuación.
3.
Un terreno rectangular tiene un perímetro de 74m, y se quiere conocer su largo y su ancho.
a.
Encuentre una ecuación que corresponda al enunciado del problema, en la que x sea
el largo del terreno e y sea su ancho.
b.
Trace la gráfica de soluciones de la ecuación.
c.
A partir de la gráfica, encuentre tres parejas de números que sean solución del
problema y dos parejas que sean solución de la ecuación pero no del problema.
INCLINACIÓN Y PENDIENTE DE UNA RECTA EN EL PLANO CARTESIANO
La siguiente figura muestra el ángulo formado por una recta y el semieje positivo de las
abscisas. Este ángulo recibe el nombre de inclinación de la recta.
Recta u:
Recta l
En el caso de la recta u, la inclinación es un ángulo agudo, es decir, menor que 90°. En el caso de
la recta t, la inclinación es un ángulo obtuso, es decir, mayor de 90° y menor de 180°.
Cuando la recta es paralela al eje vertical la inclinación es de 90°, y cuando la recta es paralela al
eje horizontal, la inclinación es de 0°.
La inclinación de una recta en el plano de sistemas rectangulares, está dada por la medida del
ángulo positivo que forma la recta con el semieje positivo de las abscisas. La inclinación de una
recta paralela al eje de abscisas es O.
Consideremos ahora los puntos P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) tomados en la recta de la figura siguiente.
Conforme nos desplazamos en forma creciente, a lo largo de dicha recta, un incremento de
(y2 - y1) unidades en la dirección vertical, genera un incremento de (x2 - x1) unidades en
dirección horizontal.
La razón entre estos dos incrementos recibe el nombre de pendiente, la cual simbolizamos con la
letra m. Es decir:
El valor de m es independiente de la escogencia de los puntos P1 y P2 sobre la recta, ya que como
se muestra en la figura siguiente, las razones entre los incrementos son constantes debido a que
se forman triángulos semejantes.
El concepto de pendiente se relaciona con el concepto de inclinación, ya que la pendiente no es
más que la tangente del ángulo de inclinación.
La pendiente de una recta es la tangente del ángulo de inclinación, es decir, m = tan θ, donde m
es la pendiente y θ es el ángulo de inclinación de la recta.
De acuerdo con lo anterior, se pueden deducir las siguientes propiedades:
Si una recta es horizontal, entonces su inclinación es 0°, y por tanto, su pendiente también, ya que
tan 0° = 0.
Si una recta es vertical, entonces su inclinación es 90°, y por tanto, su pendiente no está definida,
ya que, la tangente de 90° tampoco lo está.
Si una recta tiene como inclinación un ángulo agudo, entonces su pendiente es positiva, ya que la
tangente de un ángulo del primer cuadrante es positiva.
Si una recta tiene como inclinación un ángulo obtuso, entonces su pendiente es negativa, ya que
la tangente de un ángulo entre 90° y 180° es negativa.
Halla la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta
que pasa por los puntos A (- 8, - 2) y B (5, 7).
Remplazando los valores de las coordenadas de los dos puntos en la expresión:
TALLER 2
a.) Determinar la pendiente de la recta que pasa por cada par de puntos.
b.) Determina la pendiente de cada recta.
RECTAS PARALELAS Y RECTAS PERPENDICULARES
RECTAS PARALELAS
Al trazar dos rectas paralelas en el plano cartesiano, los ángulos de inclinación son siempre
iguales por ser correspondientes entre paralelas. Por tanto, las pendientes deben ser iguales por
cuanto las tangentes de ángulos iguales también son iguales. En el único caso en que esta
propiedad no se cumple, es cuando las pendientes no existen, es decir, cuando las rectas son
verticales.
De igual manera, se puede deducir que si dos rectas tienen la misma pendiente, entonces son
paralelas, es decir m1 = m2
Dos rectas son paralelas si y sólo si sus pendientes son iguales o si ninguna de ellas tiene
pendiente.
RECTAS PERPENDICULARES
Supongamos ahora que las rectas u y t, con inclinaciones α y β, respectivamente, son
perpendiculares.
Donde m1 es la pendiente de la recta u y m2 es la pendiente de la recta t.
Dos rectas son perpendiculares si y sólo si el producto de sus pendientes es -1 siempre
que éstas estén definidas.
Es decir m1 = -1/ m2 o m1m2 = -1,
Esta afirmación no incluye las rectas perpendiculares cuando una de ellas es vertical, ya, que su
pendiente no está definida.
Ejemplo
En la figura la recta t contiene los puntos A (1, 3) y
B (4, 6), y la recta u contiene los puntos C (5, 8) y D
(- 2, 1). Determina si t y u son paralelas.
Solución
La pendiente de la recta t es:
La pendiente de la recta u es:
Como las dos pendientes son iguales, entonces las rectas son paralelas.
Ejercicio
La recta s contiene los puntos A (-2,5) y
B (-4, 6), y la recta p contiene a C (-1, 4) y D (3, 12).
Comprueba que s y p son perpendiculares.
EJEMPLO
Utilizando el concepto de pendiente, demuestra que los puntos A (4,1),B (5,-2) y C (6,-5) son
colineales.
Solución
Para que tres puntos sean colíneales la pendiente del segmento AB debe ser igual a la
pendiente del segmento BC.
Hallamos la pendiente del segmento AB:
La pendiente del segmento BC es:
Por tanto los tres puntos son colíneales.
FORMAS DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA
Recordemos que por geometría euclidiana básica, una línea recta queda determinada por dos puntos.
Analíticamente esto significa que dadas dos variables que estén relacionadas en forma lineal, es
posible encontrar una ecuación que describa esta relación conociendo solamente dos puntos de la
misma.
Sabemos que por un punto pasan infinita cantidad de rectas. Sin embargo, una recta t queda
determinada si, además de un punto, se conoce su inclinación. Dado que al conocer la inclinación se
conoce la pendiente, entonces es posible construir la ecuación de dicha re cta.
ECUACION CONOCIDA LA PENDIENTE E INTERSECTO CON LA ORDENADA (b)
Se reemplaza el valor de m y b en la expresión
explicita de la recta.
y = mx + b, así se obtiene la ecuación
EJEMPLO:
Si m = ¾ y b = -2, hallar la ecuación de la recta y
representarla gráficamente.
SOLUCION:
Al remplazar los valores dados, se tiene que la ecuación explicita es:
Para la representación grafica se ubica el intersecto en y, a partir de él se realizan los
desplazamientos vertical y horizontal. Así se determina que el punto A = (4,1), también
pertenece a la recta.
ECUACION CONOCIDA UN PUNTO Y L A PENDIENTE
Para hallar la ecuación de una recta, dados P = (s , t) y el valor de m se deben seguir los
siguientes pasos.
 Se halla el valor del intersecto (b). Para esto, se remplazan s y t por x y y en la
expresión y = mx + b.
 Se remplazan m y b en la ecuación y = mx + b.
EJEMPLO:
Hallar la ecuación explicita de la recta que pasa por P = (-1, -2) y cuya pendiente es
-3. Luego, represéntala gráficamente.
TALLER 3
1. Determinar la pendiente y el intercepto con el eje y de cada una de las siguientes rectas.
a)
b)
c)
d)
2. Completa la siguiente tabla
ECUACION CONOCIDOS DOS PUNTOS
Para hallar la ecuación de la recta, dados los puntos A = (x1 , y1) y B = (x2, y2) se procede
así:
1. Con la formula
se halla la pendiente.
2. Se sustituyen los valores de x y y para hallar el intercecto (b).
3. Se remplazan m y b en la ecuación y = mx + b.
EJEMPLO 1:
Hallar la ecuación de la recta que pasa por
los puntos A = (-1, -2) y B = (4, 2). Luego,
representarla gráficamente.
SOLUCION
 Primero se halla la pendiente. Así,

Luego se halla b.
-2 = 4/5 (-1) + b
se reemplaza el punto A
-2 = - 4/5 + b
despejando b se tiene
b = - 6/5
Finalmente se halla la ecuación de la recta.
Así, Sustituyendo los valores de m y b
EJEMPLO 2:
Hallar la pendiente, el intersecto en y y el intersecto en x de la recta
dada a continuación: -3x + 6y -12 = 0
SOLUCION
ECUACION GENERAL DE LA RECTA
La expresión Ax + By + C = 0, donde A, B, C
llamada ecuación general de la recta.
ϵ R y A y B no son ceros simultáneamente es
EJEMPLO:
Dada la ecuación explicita
Y = 5/3 X -- 1/4
obtener la ecuación general de la recta.
SOLUCION
TALLER 4
Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos dados.
Relacionar cada ecuación con su respectiva grafica.
TALLER 5
1. Determinar la posición relativa de cada par de rectas y graficarlas en el plano cartesiano.
a)
b)
c)
d)
2. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto dado y cumple la condición. Luego,
graficarla en el mismo plano con la recta dada.
a) Pasa por (-2, 4) y es paralela a y = 13x – 6.
b) Pasa por (0, -6) y es perpendicular a y = -5x.
c) Pasa por (-8, 8) y es perpendicular a y = 2x + 11.
d) Pasa por (-1, 6) y es paralela a y = 2/5x – 6.
3. Escribir la ecuación de todas las rectas que forman cada polígono.
a)
b)
4. Completar la siguiente tabla
5. Resolver
6. Resolver
DIEGO ALONSO CASTAÑO ALZATE
DOCENTE DE MATEMÁTICAS