Cálculo del cortante basal

ANEXO D
Cálculo del cortante basal
ANEXO D
CÁLCULO DEL CORTANTE BASAL
El cálculo del cortante basal permite determinar la fuerza lateral total como
consecuencia de las fuerzas inercia que se induce a un sistema de N–grados de libertad,
distribuyéndolo posteriormente a lo largo de las diferentes alturas de la estructura. El cortante
basal se utiliza de una manera simplificada en el cálculo del parámetro 3, correspondiente a la
resistencia convencional propuesto en el método del índice de vulnerabilidad. Por lo tanto, en
este anexo, se describirá el desarrollo de la ecuación del cortante basal.
Utilizando el método de superposición modal para el análisis de la respuesta dinámica
de un sistema de N–grados de libertad, permitirá calcular el cortante basal o resistencia lateral
de un edificio, así como la distribución de este en cada uno de los entrepisos del edificio. La
posición desplazada de un sistema de N–grados esta definida por las N componentes de vector
y, sin embargo para propósitos dinámicos, se tienen más ventajas al expresar esta posición en
términos de las formas modales de vibración. Estas formas constituyen N patrones de
desplazamientos independiente cuyas amplitudes pueden servir como coordenadas
generalizadas para expresar cualquier grupo de desplazamientos.
La ecuación de movimiento para un sistema de N–grados de libertad esta definida por:
M ⋅ &y& + C ⋅ y& + K ⋅ y = Feq
ec. D-1
Considerando que Feq, esta definida por:
Feq = -M ⋅ J ⋅ &z&o
226
ec. D-2
Cálculo del cortante basal
En donde
M
C
K
y
J
&z&o
Feq
es la matriz de masas de la estructura
es la matriz de amortiguamiento de la estructura
es la matriz de rigideces de la estructura
es vector de desplazamiento
es un vector unitario
es la aceleración del terreno
es la fuerza equivalente provocada por la aceleración del terreno, es
decir:
La forma de cada uno de los N modos de vibración puede ser representado por la
matriz Φ;
Φ = [φ1 ,φ 2 ,...,φ n ]
ec. D-3
Los vectores φi son las formas modales no normalizadas. Utilizando estas formas
modales se pueden definir la masas generalizadas, como;
φ iT ⋅ M ⋅ φ i = m*i
ec. D-4
En donde mi* es la masa generalizada y, además se cumplen las propiedades de
ortogonalidad lineal para i ≠ j , es decir,
φ Tj ⋅ M ⋅ φ i = 0
ec. D-5
De la misma manera se utilizan las formas modales φi para definir la rigidez
generalizada, esto es, se multiplica la ec. D-6 por φiT, y se sustituye la ec. D-4 en E-7.
K ⋅ φ i = ω i2 ⋅ M ⋅ φ i
ec. D-6
φ iT ⋅ K ⋅ φ i = ω i2 ⋅ φ iT ⋅ M ⋅ φ i
ec. D-7
φ iT ⋅ K ⋅ φ i = ω i2 ⋅ m*i
ec. D-8
ω i2 ⋅ m*i = k i*
ec. D-9
Considerando
Y sustituyéndola en la ec. D-8, se obtiene
φ iT ⋅ K ⋅ φ i = k i*
ec. D-10
En donde ki*, es la rigidez generalizada que cumplen las propiedades de ortogonalidad
lineal para i ≠ j , es decir:
227
ANEXO D
φ Tj ⋅ K ⋅ φ i = 0
ec. D-11
Finalmente, el amortiguamiento generalizado esta definido por la ec. D-12,
cumpliéndose las propiedades de ortogonalidad lineal para i ≠ j , de acuerdo a la ec. D-13.
φ iT ⋅ C ⋅ φ i = 2 ⋅ ζ i⋅ω i ⋅ m*i
ec. D-12
φ Tj ⋅ M ⋅ φ i = 0
ec. D-13
Considerando la ec. D-14, como solución de la ecuación de movimiento, se deriva y
sustituye en la ec. D-1.
y = Φ⋅z
ec. D-14
y& = Φ ⋅ z&
ec. D-15
&y& = Φ ⋅ &z&
ec. D-16
M ⋅ Φ ⋅ &z& + C ⋅ Φ ⋅ z& + K ⋅ Φ ⋅ z = Feq
ec. D-17
Multiplicando la ec. D-17, por φ Tj
φ Tj ⋅ M ⋅ Φ ⋅ &z& + φ Tj ⋅ C ⋅ Φ ⋅ z& + φ Tj ⋅ K ⋅ Φ ⋅ z = φ Tj ⋅ Feq
ec. D-18
Utilizando la relación:
φ Tj ⋅ M ⋅ Φ ⋅ z = φ Tj ⋅ M ⋅ φ1 ⋅ &z&1 + φ Tj ⋅ M ⋅ φ 2 ⋅ &z&2 + ... + φ Tj ⋅ M ⋅ φ i ⋅ &z&i
ec. D-19
De acuerdo a la condición de ortogonalidad (ec. D-5), la ec. D-19, se reduce a:
φ Tj ⋅ M ⋅ Φ ⋅ z = φ Tj ⋅ M ⋅ φ i ⋅ &z&i
ec. D-20
Realizando el mismo proceso para φ Tj ⋅ C ⋅ Φ ⋅ z i y φ Tj ⋅ K ⋅ Φ ⋅ zi y sustituyendo las
ecuaciones D-4, D-10 y D-12 en D-18, se obtiene la siguiente ecuación.
m*i ⋅ &z&i + 2 ⋅ ζ i ⋅ ω i ⋅ m*i ⋅ z&i + ki* ⋅ z i = φ iT ⋅ Feq
228
ec. D-21
Cálculo del cortante basal
Dividiendo la ec. D-21 por la masa generalizada, mi*:
φT
&z&i + 2 ⋅ ζ i ⋅ ω i ⋅ z&i + ω i2 ⋅ z i = i ⋅ Feq
m*i
ec. D-22
Se realizan operaciones con el termino de la derecha, de acuerdo a:
φ iT ⋅ Feq = [φ1 φ 2
 m1 


 n

m2 

&
&
m k ⋅ φ ki  ⋅ &z&o
⋅ zo = 
... φ n ] ⋅
 ... 


k =1



m n 
∑
ec. D-23
En donde se obtiene el factor de participación modal o factor de excitación sísmica γi:
n
γi =
∑ m k ⋅ φ ki
ec. D-24
k =1
Sustituyendo en la ec. D-23
&z&i + 2 ⋅ ζ i ⋅ ω i ⋅ z&i + ω i2 ⋅ zi =
−γ i
m*i
&z&o
ec. D-25
De esta manera se ha transformado la ecuación de movimiento dinámico (ec. D-1),
para un sistema lineal amortiguado acoplado de N–grados de libertad, en N sistemas
desacoplados de un grado de libertad.
Resolviendo la ec. D-25, se obtienen los vectores generalizados zi(t), es decir,
n
Y = Φ⋅z =
∑ φ i ⋅ zi
ec. D-26
i =1
ó
n
∑ yi
ec. D-27
yi = φ i ⋅ z i
ec. D-28
Y=
i =1
En donde
229
ANEXO D
Para valores de ωι y γι, se obtendrá un valor máximo de desplazamiento yi,max = Sdi, el
cual esta relacionado con los vectores generalizados de la siguiente forma:
z i,max =
γi
m*i
⋅ Sd i
ec. D-29
Relacionando esta ecuación con el vector de desplazamientos (ec. D-28)
y i = φ i ⋅ z i,max
ec. D-30
Se obtiene, el vector de desplazamientos máximos del sistema
γ
y i,max = φ i ⋅ i ⋅ Sd i
m*i
ec. D-31
Una vez resuelto el problema dinámico, la fuerza necesaria para producir el valor
máximo del desplazamiento ymax = Sd, en un sistema de un grado de libertad es:
F = k ⋅ Sd
ec. D-32
k = m ⋅ ω o2
ec. D-33
F = m ⋅ ω o2 ⋅ Sd = m ⋅ Sa
ec. D-34
Sa = ω o2 ⋅ Sd
ec. D-35
En donde :
Por lo tanto:
Sustituyendo Sa por:
Generalizando este procedimiento para un sistema de N–grados de libertad:
Fi = K ⋅ yi,max
Fi =
γi
m*i
⋅ Sd i ⋅ K ⋅ φ i
K ⋅ φ n = ω n2 ⋅ m⋅ φ n
230
ec. D-36
ec. D-37
ec. D-38
Cálculo del cortante basal
Utilizando la ec. D-38 y sustituyéndola en la ec. D-37, se obtiene:
Fi =
γi
m*i
⋅ ω i2 ⋅ Sd i ⋅ M ⋅ φ i
ec. D-39
Sustituyendo la relación E-35, en la ec. D-39
Fi =
γi
m*i
⋅ Sa i ⋅ M ⋅ φ i
ec. D-40
Ahora se define la fuerza cortante como:
Voi = J T ⋅ Fi
ec. D-41
Sustituyendo la ec. D-40 en E-41
Voi =
γi
m*i
⋅ Sa i ⋅ J T ⋅ M ⋅ φ i
ec. D-42
Desarrollando parte del termino derecho de la ec. D-42
m1 0
 0 m
2
J T ⋅ M ⋅ φ i = [1 1 ... 1] ⋅ 
 ...
...

0
 0
... 0   φ1 
... 0  φ 2  n
⋅
m k ⋅ φ ki
=
... ...   ... 
   i =1
... m n  φ n 
∑
ec. D-43
Y la ecuación de la masa generalizada:
m*i = φ iT ⋅ M ⋅ φ i = [φ1 φ 2
m1
 0
... φ n ] ⋅ 
 ...

 0
0
m2
...
0
0   φ1 
n
... 0  φ 2 
2 ec. D-44
m k ⋅ φ ki
⋅
=



... ...
...
   i =1
... m n  φ n 
...
∑
Se sustituyen las ecuaciones D-43 y D-44 en D-42
 n

 n

 mk ⋅ φ ki  ⋅ Sa i ⋅  mk ⋅ φ ki 




k =1
k =1



=
Voi =
n
∑
∑
∑ mk ⋅ φ ki2
k =1
2
 n

 mk ⋅ φ ki 


k =1
 ⋅ Sa
i
∑
n
ec. D-45
∑ mk ⋅ φ ki2
k =1
231
ANEXO D
Usando la siguiente relación y sustituyéndola en la ec. D-45,
mk =
Wk
g
ec. D-46
2
 n


Wk ⋅ φ ki 

 Sa
k =1

 ⋅ i
Voi =
n
g
2
Wk ⋅ φ ki
∑
ec. D-47
∑
k =1
Simplificando la ec. D-47, mediante la siguiente ecuación
 n


Wk ⋅ φ ki 


k =1

Wi = 
n
2
∑
ec. D-48
∑ Wk ⋅ φ ki2
k =1
Se obtiene el cortante basal de la estructura,
Voi = Wi ⋅
Sa i
g
Donde Wi, es el peso efectivo modal y
ec. D-49
Sa i
es el coeficiente sísmico
g
Sa i
g
ec. D-50
Voi = Wi ⋅ c
ec. D-51
c=
La distribución de las fuerzas en los entrepisos, se realiza de la siguiente manera:
f ji =
γi
m*i
⋅ Sa i ⋅ m j ⋅ φ ji
ec. D-52
Despejando de la ec. D-49, Sai:
Sa i =
232
Voi ⋅ g
Wi
ec. D-52
Cálculo del cortante basal
f ji =
γi
V
⋅ oi ⋅ g ⋅ m j ⋅ φ ji
m*i Wi
ec. D-52
Desarrollando el termino:
n
γi
∑ mk ⋅ φ ki
1
1
1
1
= k =1
⋅
=
=
n
n
n
mk
m*i Wi
2
Wk ⋅ φ ki
mk ⋅ φ ki g
mk ⋅ φ ki
⋅
∑
∑
k =1
∑
k =1
ec. D-52
k =1
g
Con:
g ⋅m j = Wj
ec. D-52
Sustituyendo en la ec. D-51
f ji =
W j ⋅ φ ji
n
∑ Wk φ ki
⋅ Voi
ec. D-52
k =1
Considerando el primer modo con un valor máximo de 1, el ángulo que forma el modo
con la altura del entrepiso, se calcula mediante la tan θ = 1 / H.
φ ji = h j ⋅ tanθ =
fj =
Wj ⋅
n
∑
k =1
hj
ec. D-52
H
hj
H
h
Wk ⋅ k
H
⋅ Vo
ec. D-52
Finalmente se obtiene la fuerza cortante en cada uno de los entrepisos, utilizada en el
cálculo del parámetro 3.
fj =
Wj ⋅h j
n
∑
Wk ⋅ h k
⋅ Vo
ec. D-52
k =1
233
ANEXO D
234