Teoremas que hay que saber demostrar

Teoremas que hay que saber demostrar
Teorema 1 (Equivalencia de las normas en Rn ) Sea X un espacio vectorial de dimensión finita. Entonces cualquier norma k · k en X es equivalente a cualquier otra norma
en X.
Teorema 2 (Acotación de las aplicaciones lineales) Toda aplicación lineal T : X 7→
Y de un espacio normado de dimensión finita X en otro espacio normado cualquiera Y es
acotada.
Teorema 3 (Regla de la cadena) Sean f : A ⊂ Rn → Rm y g : B ⊂ Rm → Rk , A, B
abiertos tales que f (A) ⊂ B. Supongamos que f es diferenciable en a y g es diferenciable
en f (a). Entonces la función compuesta g ◦ f : A ⊂ Rn → Rk es diferenciable en a
y D(g ◦ f )(a) = Dg(f (a)) ◦ Df (a). Lo anterior se puede escribir en coordenadas de la
siguiente forma:
Dj (g ◦ f )i (a) =
m
X
∂(g ◦ f )i (a) X ∂gi (f (a)) ∂fl (a)
=
∂xj
∂xl
∂xj
l=1
m
Dk gi (f (a))Dj fk (a),
k=1
donde i = 1, . . . , n, j = 1, · · · , k. Matricialmente lo anterior se escribe como: D(g◦f )(a) =
Dg(f (a)) · Df (a) o Jg◦f (a) = Jg (f (a)) · Jf (a).
Teorema 4 (Condición suficiente de diferenciabilidad I) Sea f : A ⊂ Rn → Rm ,
con A abierto y sea a ∈ A. Supongamos que existen las derivadas parciales de cada una
de las componentes de f en a con respecto a cada una de las variables y son continuas en
a, entonces f es diferenciable en a.
Teorema 5 (del valor medio) Sea f : A ⊂ Rn → Rm , diferenciable en A abierto y
convexo. Sean a, b ∈ A y sea s el segmento que los une (s = {(1 − t)a + tb : t ∈ [0, 1]}).
Entonces, para cada vector v ∈ Rm existe un punto z en el interior del segmento s tal que
hv, f (b) − f (a)i = hv, Df (z)(b − a)i,
donde h·, ·i denota el producto escalar en Rm .
Teorema 6 (Schwarz) Sea f : A ⊂ Rn → Rm con A abierto, y sea x0 ∈ A. Si en A
∂f (x) ∂f (x) ∂ 2 f (x)
∂ 2 f (x)
existen las derivadas parciales
,
y
y la derivada
es continua
∂xi
∂xj
∂xj ∂xi
∂xj ∂xi
∂ 2 f (x0 )
∂ 2 f (x0 ) ∂ 2 f (x0 )
y
=
.
en x0 , entonces en x0 ∈ A existe la derivada
∂xi ∂xj
∂xj ∂xi
∂xi ∂xj
Teorema 7 (Heffter-Young) Sea f : A ⊂ Rn → Rm , A abierto y sea a ∈ A. Su∂f (x)
∂f (x)
pongamos que existen las derivadas parciales
,y
en un entorno de a y son
∂xi
∂xj
∂ 2 f (a)
∂ 2 f (a)
=
.
diferenciables en a. Entonces
∂xj ∂xi
∂xi ∂xj
Teorema 8 (de Taylor con resto de Lagrange) Supongamos que f : A ⊂ Rn →
7 Rm ,
f ∈ C k (A). Sea a ∈ A y asumamos que el intervalo [a, a + h] ⊂ A para cierto h 6= 0.
Entonces
k−1
X
1 l
D f (a)(h) + rk (a, h),
f (a + h) = f (a) +
l!
l=1
donde
rk (a, h) =
1 k
D f (a + ξh)(h),
k!
ξ ∈ (0, 1).
Teorema 9 (de la función implı́cita) Sea F : A ⊂ Rn × R 7→ R definida en un entorno del punto (x0 , y0 ) ∈ A, A abierto de Rn × R. Supongamos que:
1. F (x, y) := F (x1 , x2 , . . . , xn , y) ∈ C (p) (A), p ≥ 1,
2. F (x0 , y0 ) := F (x01 , x02 , . . . , x0n , y0 ) = 0,
3. Fy′ (x0 , y0 ) =
∂F (x01 , x02 , . . . , x0n , y0 )
6= 0.
∂y
Entonces existe un abierto I = Ix × Iy = (x0 − h, x0 + h) × (y0 − k, y0 + k)8 alrededor del
punto (x0 , y0 ), I ⊂ A, y una función f : Ix ⊂ Rn 7→ Iy ⊂ R tal que:
1. F (x, y) = 0 en I si y sólo si f (x) = y,
2. f (x) ∈ C (p) (Ix ).
3. Para todo x ∈ Ix , las derivadas parciales de f (x) se calculan por la fórmula
∂f (x)
∂f (x1 , . . . xn )
:=
= −[Fy′ (x, f (x))]−1 · [Fx′ i (x, f (x))],
∂xi
∂xi
donde por Fx′ i denotamos la derivada parcial
i = 1, 2, . . . , n, (4.7)
∂F
.
∂xi
Teorema 10 (de la función inversa) Sea f : A ⊂ Rn 7→ Rn definida en un entorno
del punto x0 ∈ A tal que
1. f (x) ∈ C (p) (A), p ≥ 1,
2. f (x0 ) = y0 , en x0 ,
3. f ′ (x0 ) es una aplicación invertible.
Entonces existe un entorno abierto U (x0 ) ⊂ A de x0 ∈ A y otro V (y0 ) ⊂ f (A) de
y0 ∈ f (A) tal que f es invertible en U (x0 ), i.e., existe su inversa f −1 : V (y0 ) 7→ U (x0 ), f ∈
C (p) (V (y0 )), además, para todo x ∈ U (x0 ) e y = f (x) ∈ V (y0 ) se tiene que (f −1 (y))′ :=
Df −1 (y) = [f ′ (x)]−1 := [Df (x)]−1 .
8
Análogamente al caso de los intervalos definidos justo antes del Teorema 8, definiremos el abierto
(x0 − h, x0 + h) como (x01 − h2 , x01 + h1 ) × (x02 + −h2 , x02 + h2 ) × · · · × (x0n − hn , x0n + hn ).
Teorema 11 (Condición necesaria de extremo relativo) Sea f : A ⊂ Rn → R, A
abierto, a ∈ A. Supongamos que f tiene en a un extremo relativo. Entonces, si existen
∂f
∂f
, k = 1, . . . , n éstas son iguales a cero en a, i.e., ∂x
(a) = 0,
las derivadas parciales ∂x
k
k
k = 1, . . . , n. En particular si f es diferenciable en a, entonces Df (a) = 0.
Teorema 12 (Condición suficiente de extremo) Sea f : A ⊂ Rn → R dos veces
diferenciable en a ∈ A, A abierto, y sea x = a un punto crı́tico de f , i.e., Df (a) = 0.
Entonces
1. Si la segunda diferencial D2 f (a)(x) es definida positiva en a, entonces f tiene un
mı́nimo relativo en a.
2. Si la segunda diferencial D2 f (a)(x) es definida negativa, entonces f tiene un máximo
relativo en a.
3. Si la segunda diferencial D2 f (a)(x) es indefinida, i.e., si existen x, y ∈ Rn tales que
D2 f (a)(x) > 0 > D2 f (a)(y), entonces f tiene un punto de silla en a.