Posición: RECTAS Y PLANOS

Posición: RECTAS Y PLANOS
POSICIONES RELATIVAS: DOS RECTAS
FORMA VECTORIAL
2 rectas r ≡ X =P + α ⃗u y s≡ X =Q+ β v⃗
{
{
1 → COINCIDENTES
⃗ ; rg( ⃗
⃗
1 ; Igual dirección. ; Cálculo RS
r ,⃗
s , RS)=
2 →PARALELAS
rg( ⃗
r ,⃗
s )=
2 → son COPLANARIOS → se CORTAN
⃗ ; rg( ⃗
⃗
2 ; Distinta dirección ; Cálculo RS
r ,⃗
s , RS)=
3 → No sonCOPLANARIOS → se CRUZAN
{
R
R
S
S
Si los vectores r, s y RS son coplanarios:
RECTAS se CORTAN en un PUNTO
Si los vectores r, s y RS NO son coplanarios:
RECTAS se CRUZAN
FORMA IMPLÍCITA
Será un sistema de 4 ecuaciones con 3 incógnitas:
Matriz de coeficientes A orden (4x3) 2 ≤ rg(A) ≤ 3
Matriz ampliada A/B orden (4x4)
2 ≤ rg(A/B) ≤ 4
{
{
2 (Igual dirección) ; rg( A/ B)= 3 ; S.I. → Nohay ptoscomunes → PARALELAS
2 ; S.C.I. 1 gr.de lib. → Infinitos ptoscom. → COINCIDENTES
rg( A)= .
3 (Distinta dirección) ; rg( A/ B)= 4 ; S.I. ; No hay ptos comunes → SE CRUZAN
3 ; S.C.D. ; Hay un ptocomún → SE CORTAN
{
POSICIONES RELATIVAS: DOS PLANOS
FORMA VECTORIAL
⃗ ,⃗
⃗,⃗
rg( u
v ,m
n )=
{
⃗ λn
⃗
2 Planos Π≡ X =P+ α ⃗u + β v⃗ y Π ' ≡ X =Q+ γ m+
{
2 ; tienen IGUAL dirección . → ¿ P ∈Π ' ? S Í ; planos COINCIDENTES
NO ; planos PARALELOS
3 ; tienen DISTINTA dirección → los planos se cortan en una RECTA
FORMA IMPLÍCITA
A X + B Y + C Z+ D=0
A' X + B ' Y + C ' Z+ D' =0
}
¿
A
B
C
=
=
?
A'
B'
C'
{
D
? S Í ; Planos COINCIDENTES
D'
NO ; Planos PARALELOS
NO ; planos se CORTAN en una recta
S Í → ¿=
POSICIONES RELATIVAS:TRES PLANOS
FORMA IMPLÍCITA
Será un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas:
{
Matriz de coeficientes A orden (3x3) 1 ≤ rg(A) ≤ 3
Matriz ampliada A/B orden (3x4)
1 ≤ rg(A/B) ≤ 3
{
rg( A/ B)=1 ; S.C.I. 2 gr.de lib. → Forman un plano → 3 PLANOS COINCIDENTES
.
rg( A)=1
rg( A/B)=2 ; S.I. → No hay ptos comunes → 3 PLANOS PARALELOS
2 COINCIDENTES y 1 PARALELO
{
{
{
rg( A /B)=2 ; S.C.. 1 gr.de lib. → Forman una recta → 3 PLANOS 'en LIBRO'
2 COINCIDENTES y 1 CORTA
rg( A)=2 .
rg( A /B)=3 ; S.I. → No hay ptos comunes → 2 PARALELOS Y 1 CORTA
3 PLANOS ' enCABAÑA'
{
rg( A)=3 { rg( A/B)=3 ; S.C.D. 1 solución. →
{3 PLANOS CORTAN EN 1 PUNTO
POSICIONES RELATIVAS: RECTA Y PLANO
FORMA VECTORIAL
⃗ y r ≡ X =Q + λ n
Π≡X =P+ α ⃗
u+ β v
⃗
⃗ )=
⃗,⃗
rg( u
v ,n
{
{
2 ; r tiene IGUAL dirección que Π . → ¿ Q∈ Π? S Í ; rectaCONTENIDA en el plano
NO ; recta PARALELA al plano
3 ; r tiene DISTINTA dirección a Π → la recta CORTA al Plano
FORMA IMPLÍCITA
Será un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas:
Matriz de coeficientes A orden (3x3) 2 ≤ rg(A) ≤ 3 (Al menos 2 indep. por la recta)
Matriz ampliada A/B orden (3x4)
2 ≤ rg(A/B) ≤ 3
Si rg(A)= 2, La recta tiene IGUAL dirección que el plano.
rg( A)=2 rg( A/ B)=2 ; S.C.I. 1 gr. de lib. ; Forman una recta → RECTA CONTENIDA EN EL PLANO
rg( A/ B)=3 ; S.I. No hay ptos comunes → RECTA PARALELA AL PLANO
{
Si rg(A)= 3 , La recta tiene DIFERENTE dirección que el plano.
rg( A)=3 { rg( A/ B)=3 ; S.C.D. → Hay 1 pto común → RECTA CORTA AL PLANO
HAZ DE PLANOS
}
AxByCzD=0
es el conjunto de planos que
A ' xB' yC ' zD '=0
contienen a la recta.  AxByCzD A ' xB ' yC ' z D' =0 ∈R
Nota: Esta última expresión no incluye a todos los planos. Faltaría el A'x + B'y + C'z + D' = 0
Haz de planos determinado por la recta: