1) Se pide respuesta a las siguientes cuestiones sobre los bienes

SOLUCIONES DE EXAMEN DE MICROECONOMÍA IV...................................SEPTIEMBRE 2005
1) Se pide respuesta a las siguientes cuestiones sobre los bienes públicos:
a) Identifique dónde se encuentran las diferencias en el funcionamiento de un mercado
competitivo entre el caso de un bien público excluible y el de un bien privado (ej.:autopista de
peaje). Justifíquelo gráficamente suponiendo que sólo existen dos consumidores con funciones
de demanda distintas.
b) Explique brevemente en qué consiste la solución propuesta por Lindahl para solucionar el
problema de los bienes públicos.
c) Explique la debilidad de la propuesta de Lindahl.
Solución
La respuesta completa la pueden encontrar en el libro de J. Segura en las páginas 308-311
2) Sea un mercado que tiene una función de demanda p = a − bx , donde: a, b > 0 , abastecido por n
oligopolistas idénticos que tienen conjeturas à la Cournot. Los costes marginales son constantes (c)
y no tienen costes fijos. Se pide:
a) Derive la expresión del output y el precio de equilibrio de este mercado
b) Explique lo que ocurre en estos mercados cuando el número de empresas es muy grande
(n → ∞)
c) ¿Cambiaría en algo el resultado anterior si existen costes fijos, por ejemplo de cuantía C 0
iguales para todos los oligopolistas? ¿Está en este caso limitado el número de empresas que
caben en un mercado como éste? En caso afirmativo, obtenga el número máximo de
empresas que caben en el mercado.
Solución
a) Cada oligopolista maximizará su función de beneficios:
π i (x, xi ) = pxi − C i (xi ) = F (x )xi − C i ( xi ) i = 1,2....n
Las cpo son: F (x ) + xi F ′(x )
⎡ dx j ⎤
dx
− C ' i (xi ) = F (x ) + xi F ′(x )⎢1 +
⎥ − C ' i (xi ) = 0 i = 1,2....n
dxi
dxi ⎦
⎣
Al tratarse de un oligopolio con conjeturas à la Cournot sabemos que los oligopolistas piensan que
aunque ellos varíen su oferta, el competidor no alterará la suya. Es decir:
dxi
=0
dxj
∀i ≠ j
Por lo que la c.p.o. quedan:
F (x ) + xi F ′(x ) − C ' i (xi ) = 0 i = 1,2....n
De los datos del enunciado sabemos: F (x ) = a − bx; F ′(x ) = b; C 'i (xi ) = c i = 1,2....n
Por tanto las c.p.o. quedan:
a − bx − bxi − c = 0 → a − b∑ xi − bxi − c = 0 → a − bnxi − bxi − c = 0
i = 1,2....n
De donde, despejando se obtiene:
xi =
a−c
(n + 1)b
→
x=
n( a − c )
→
( n + 1)b
p=
a + nc
(n + 1)
b) Es fácil ver lo que ocurre en estos mercados cuando el número de empresas es grande. Basta con
calcular el límite cuando n → ∞ de las expresiones anteriores:
lim
n →∞
x = lim
n →∞
⎡ n( a − c ) ⎤ a − c
⎢
⎥=
b
⎣ (n + 1)b ⎦
lim
n →∞
p = lim
n →∞
⎡ a + nc ⎤
⎢ n +1 ⎥ = c
⎣
⎦
Que son los valores de equilibrio de la competencia perfecta. Es decir, cuando n → ∞ el equilibrio
que se alcanza es el de competencia perfecta.
c) La existencia de costes fijos exige introducir una restricción adicional: que los beneficios fueran no
negativos, esto es:
⎞
⎛ a + nc
( p − c) xi − C 0 > 0 → ⎜⎜
− c ⎟⎟
⎠
⎝ (n + 1)
a−c
− C0 > 0 →
(n + 1)b
(a − c) 2
(n + 1) 2
a−c
a−c
> bC 0 → n* <
−1
n +1
bC 0
> bC 0
El valor que se acaba de obtener para n es el máximo número de empresas que caben en el mercado.
Una respuesta más escueta se encuentra en el libro de J. Segura en las página 371.
3) Sea una economía con dos empresas que producen dos bienes, x e y , de acuerdo con las
siguientes funciones de producción:
x=
Lx
8
1
y = ( L y − 2 x)
5
donde L x y L y son , respectivamente, las cantidades utilizadas en la producción de los bienes x e y
del factor existente en la economía del que hay unas dotaciones iniciales de 600 unidades. El único
consumidor de esta economía tiene unas preferencias representadas por la siguiente función de
utilidad: U = x 2 y . Se pide:
a) Derive la expresión de la Frontera de Posibilidades de Producción (FPP).
b) Calcule las cantidades óptimo paretianas (OP) de esta economía.
c) Calcule las cantidades de Equilibrio General Competitivo (ECG).
d) ¿Coinciden las cantidades OP y ECG de esta economía? ¿Por qué?
Solución
a) Para calcular la FPP se parte del conocimiento de que la cantidad de factor de producción
utilizada debe ser igual al total de las dotaciones iniciales de dicho bien. Esto es: L x + L y = 600 .
Calculamos las cantidades utilizadas del factor despejando de las funciones de producción:
x=
Lx
→ Lx = 8x
8
1
y = ( L y − 2 x) → L y = 5 y + 2 x
5
Sustituyendo estos valores en la expresión anterior:
L x + L y = 600 → 8 x + 5 y + 2 x = 600 → 2 x + y = 120
FPP
b) El problema de optimización a resolver para calcular la asignación OP es el siguiente:
Max x 2 y
⎪⎫
2
⎬ L(.) = x y − λ (2 x + y − 120)
s.a : 2 x + y = 120⎪⎭
Las dos primeras c.p.o. de este problema son:
∂L
⎫
= 2 xy − 2λ = 0⎪
∂x
⎪
2
2
⎬λ = x → 2 xy − 2 x = 0 → y = x
∂L
= x2 − λ = 0 ⎪
⎪⎭
∂y
Sustituyendo este resultado en la restricción del problema (3ª c.p.o.):
OP
∂L
= 2 x + y − 120 = 0 → 2 x + x = 120 → x OP = 40 = y
14
4244
3
∂λ
Solución de OP
c ) Para el bien x el problema a resolver es:
p x x − p L Lx
L
s.a : x = x
8
Max
⎫
⎪
⎬ → Max
⎪⎭
p x x − p L 8x
∂π x
= px − 8 pL = 0 →
∂x
cpo:
px = 8 pL
Para el bien y el problema a resolver es:
p y y − pL Ly ⎫
⎪
1
⎬ → Max
s.a : y = ( L y − 2 x) ⎪
5
⎭
Max
p y y − p L (5 y + 2 x) → cpo :
De las dos c.p.o. nos queda:
px p y
=
→
8
5
∂π y
∂x
px =
= p y − 5 pL = 0 →
p y = 5 pL
8
py
5
Ahora plantemos el problema de optimización del consumidores:
⎫⎪
Max U = x 2 y
2
⎬ → L(⋅) = x y − λ p x x + p y y − 600 p L
s.a : p x x + p y y = 600 p L ⎪⎭
[
]
Las dos primeras c.p.o. son:
2 xy ⎫
∂L
= 2 xy − λp x = 0 → λ =
∂x
p x ⎪⎪
⎬
∂L
x2 ⎪
= x 2 − λp y = 0 → λ =
∂y
p y ⎪⎭
2y 8
= → 10 y − 8 x = 0
x 5
Además, la asignación de equilibrio debe estar en la FPP: 2 x + y = 120 , con los que tenemos un
sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas cuya solución es: x EGC = 42,9; y EGC = 34,3
d) Como no podía ser de otra manera, la asignación de EGC no es una asignación OP ya que
estamos en presencia de un efecto externo en la producción:
∂y
2
=− <0
5
∂x
El efecto externo es negativo, la producción del bien x hace reducir la del bien x, por lo que, sin
resolver el problema sabemos que la cantidad de EGC del bien x será excesiva y la del bien y
insuficiente, en relación al OP.
4) Una empresa monopolística vende su producto en dos mercados separados cuyas funciones de
demanda son:
x1 = 300 − p
x 2 = 180 − p
La curva de costes totales del monopolista es C ( x) = 4 x , donde x = x1 + x 2 . Se pide:
a) Calcule y represente gráficamente la curva de demanda agregada del mercado.
b) Determine el equilibrio si la discriminación de precios está prohibida.
c) Obtenga el equilibrio si se puede discriminar precios. Compare este equilibrio con el del
apartado anterior.
d) ¿Qué relación debe cumplirse entre los precios de equilibrio del apartado c) y las
elasticidades de demanda? Verifíquela con los datos del problema.
Solución
a) La representación de la demanda agregada es:
350
350
300
300
250
250
200
200
150
150
D1
100
Demanda
agregada
100
D2
50
50
0
0
0
100
200
300
0
100
200
300
400
Es decir:
⎧ x = x1 = 300 − p
⎩ x = x1 + x 2 = 480 − 2 p
Función de demanda agregada ⎨
∀p > 180
∀p ≤ 180
b) Si no se le permite al monopolista discriminar: p1 = p 2 = p . El resultado se obtendrá de utilizar
la condición: I ′ = C ′ = 4 . Por tanto, el equilibrio tendrá lugar en el segundo tramo de la curva de
demanda agregada:
p = 240 − 0,5 x → I = 240 x − 0,5 x 2 → I ′ = 240 − x = 4 = C ′ ⇒ x ND = 236 ⇒ p ND = 122
Los beneficios en esta situación son de 27.848 u.m.
c) La condición de equilibrio es: I1′ = I 2′ = C ′ = 4
p1 = 300 − x1 → I 1 = (300 − x1 ) x1 → I 1′ = 300 − 2 x1 = 4 → x1D = 148 → p1D = 152
p 2 = 180 − x 2 → I 2 = (180 − x 2 ) x 2 → I 2′ = 180 − 2 x 2 = 4 → x 2D = 88 → p 2D = 92
Los beneficios en esta situación son de 29.648 u.m. Como se observa, al monopolista le interesará
más discriminar precios.
d) La relación que deben cumplir los precios del apartado c) con las elasticidades de demanda es:
1+
1+
1
ε2
1
ε1
=
p1
p2
Comprobémoslo:
1
4
92
−1
88 = 92 = 152 = p1
1
1
92 p 2
1+
152 152
−1
148
1+
con lo que queda demostrado