Ecuaciones irracionales

ECUACIONES IRRACIONALES
Introducción
La siguiente ecuación de primer grado tiene una única solución, pero si elevamos los dos miembros al cuadrado
aumenta su grado y el número de soluciones.
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Ecuación de primer grado
4 x − 1= 2 x + 5
4 x − 2 x =5 + 1
2x = 6
x=3
Tiene una única solución
Elevando los dos miembros al cuadrado obtenemos
una ecuación de segundo grado
4 x − 1= 2 x + 5
( 4 x − 1)
2
= ( 2 x + 5)
2
16 x 2 − 8 x + 1= 4 x 2 + 20 x + 25
12 x 2 − 28 x − 24 =
0
3x 2 − 7 x − 6 =
0
=
x
7±
( −7 )
− 4 ⋅ 3 ⋅ ( −6 ) 7 ± 11
= =
2⋅3
6
2
 3

 2
−
 3
Tiene dos soluciones
2
Hay una solución nueva, x = − , que no es solución
3
de la ecuación inicial.
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I.E.S. "Miguel de Cervantes" – Departamento de Matemáticas – GBG
1
EJEMPLO 1
Resuelve la ecuación 5 10 − 3 x + 6 x =
8.
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2
EJEMPLO 1
Resuelve la ecuación 5 10 − 3 x + 6 x =
8.
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5 10 − 3 x + 6 x =
8
Aislamos el término de la raíz en uno de los miembros.
5 10 − 3 x =8 − 6 x
Elevamos al cuadrado cada uno de los dos miembros.
(5
10 − 3 x
52 ⋅
(
)
2
10 − 3 x
=
(8 − 6 x )
)
2
2
=
(8 − 6 x )
2
25 ⋅ (10 − 3 x ) = 82 − 2 ⋅ 8 ⋅ 6 x + ( 6 x )
2
250 − 75 x =64 − 96 x + 36 x 2
36 x 2 − 21x − 186 =
0
Simplificamos dividiendo entre 3.
12 x 2 − 7 x − 62 =
0
Resolvemos la ecuación resultante
=
x
7±
( −7 )
 62 31
− 4 ⋅12 ⋅ ( −62 ) 7 ± 49 + 2976 7 ± 3025 7 ± 55  24 = 12
=
=
= = 
2 ⋅12
24
24
24
 −48 = −2
 24
2
Comprobación
5 10 − 3 x + 6 x =
8
31
12
31
31
93 31
27 31
9 31
3 31 15 31 46
5 ⋅ 10 − 3 ⋅ + 6 ⋅ =5 10 −
+ =5
+ =5
+ =5 ⋅ + = + = =23 ≠ 8
12
12
12 2
12 2
4 2
2 2
2 2
2
Solución no válida
• Para x =
• Para x = −2
5 ⋅ 10 − 3 ⋅ ( −2 ) + 6 ⋅ ( −2 ) =5 ⋅ 10 + 6 − 12 =5 16 − 12 =5 16 − 12 =5 ⋅ 4 − 12 =20 − 12 =8
Solución válida
En este caso una de las soluciones no vale
SOLUCIÓN
x = −2
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3
EJEMPLO 2
Resuelve la ecuación
4x + 7 − 6x + 1 =
1.
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4
EJEMPLO 2
Resuelve la ecuación 4 x + 7 − 6 x + 1 =
1.
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4x + 7 − 6x + 1 =
1
Dejamos sola una de las raíces en uno de los dos miembros pasando la otra raíz al otro miembro.
4 x + 7 =1 + 6 x + 1
Elevamos al cuadrado cada uno de los dos miembros.
(
4x + 7
) =(1 +
2
6x + 1
)
2
En el primer miembro eliminamos la raíz con el cuadrado y en el segundo miembro desarrollamos aplicando los
productos notables.
4 x + 7 = 12 + 2 ⋅1 ⋅ 6 x + 1 +
(
6x + 1
)
2
4x + 7 = 1 + 2 6x + 1 + 6x + 1
Aislamos el término de la raíz en uno de los miembros y reducimos los términos del otro miembro.
4 x + 7 − 1 − 6 x=
−1 2 6x + 1
5 − 2 x= 2 6 x + 1
Elevamos nuevamente al cuadrado cada uno de los dos miembros.
(5 − 2x )
2
(5 − 2x )
2
=
(2
=
22 ⋅
6x + 1
(
)
2
6x + 1
)
2
25 − 2 ⋅ 5 ⋅ 2 x + ( 2 x=
) 4 ( 6 x + 1)
2
25 − 20 x + 4 x 2 = 24 x + 4
4 x 2 − 44 x + 21 =
0
Resolvemos la ecuación resultante
=
x
44 ±
( −44 )
− 4 ⋅ 4 ⋅ 21 44 ± 1936 − 336 44 ± 1600 44 ± 40
=
=
= =
2⋅4
8
8
8
2
 84 21
 8 = 2
 4
1

=
 8
2
Comprobación
4x + 7 − 6x + 1 =
1
• Para x =
21
2
21
21
+ 7 − 6 ⋅ + 1 = 42 + 7 − 63 + 1 = 49 − 64 =7 − 8 =−1 ≠ 1
2
2
Solución no válida
4⋅
• Para x =
1
2
1
1
4 ⋅ + 7 − 6 ⋅ +1 = 2 + 7 − 3 +1 = 9 − 4 = 3 − 2 = 1
2
2
Solución válida
En este caso una de las soluciones no vale
SOLUCIÓN
x=
1
2
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5
EJEMPLO 3
Resuelve la ecuación 4 − 3 x + x + 5 =
5.
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6
EJEMPLO 3
Resuelve la ecuación 4 − 3 x + x + 5 =
5.
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4 − 3x + x + 5 =
5
Dejamos sola una de las raíces en uno de los dos miembros pasando la otra raíz al otro miembro.
4 − 3 x =5 − x + 5
Elevamos al cuadrado cada uno de los dos miembros.
(
4 − 3x
) =(5 −
2
x+5
)
2
En el primer miembro eliminamos la raíz con el cuadrado y en el segundo miembro desarrollamos aplicando los
productos notables.
4 − 3 x = 52 − 2 ⋅ 5 ⋅ x + 5 +
(
x+5
)
2
4 − 3 x = 25 − 10 x + 5 + x + 5
Aislamos el término de la raíz en uno de los miembros y reducimos los términos del otro miembro.
10 x + 5 = 25 + x + 5 − 4 + 3 x
10 x + 5 = 26 + 4 x
Simplificamos dividiendo entre dos.
5 x + 5 = 13 + 2 x
Elevamos nuevamente al cuadrado cada uno de los dos miembros.
(5
x+5
52 ⋅
(
)
2
x+5
= (13 + 2 x )
)
2
2
= (13 + 2 x )
2
25 ( x + 5 )= 132 + 2 ⋅13 ⋅ 2 x + ( 2 x )
2
25 x + 125 = 169 + 52 x + 4 x 2
4 x 2 + 27 x + 44 =
0
Resolvemos la ecuación resultante
11
 −22
= −
−27 ± 27 2 − 4 ⋅ 4 ⋅ 44 −27 ± 729 − 704 −27 ± 25 −27 ± 5  8
4
=
=
=
= = 
x
2⋅4
8
8
8
 −32 = −4
 8
Comprobación
11
4
11
 11 
4 − 3⋅ −  + − + 5 =
4
 4
Solución válida
• Para x = −
4+
33
11
+ − +5 =
4
4
49
9 7 3 10
+
= + =
= 5
4
4 2 2 2
• Para x = −4
4 − 3 ⋅ ( −4 ) + −4 + 5 =
4 + 12 + −4 + 5 =
16 + 1 = 4 + 1 = 5
Solución válida
En este caso las dos soluciones son válidas
SOLUCIONES
x = −4 y x = −
11
4
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7
EJERCICIOS
Resuelve las siguientes ecuaciones irracionales:
1.
2 x − 3 + 1 =x
2.
2x − 3 + x + 7 =
4
3.
4.
− 2 x − 3 + 1 =x
2x − 3 − x + 7 =
4
5.
2+ x =
x
6.
2− x =
x
7.
3 x + 3 − 1=
8.
5x + 6 − 2 x =
3
9.
x + 7 − 3x =
1
8 − 2x
10.
2 − 5x + x 3 =
0
11.
2x + 3 + x − 5 =
0
12.
2 x + 5x − 6 =
4
13.
7 x + 1 5x − 7
=
4
6
14.
x − 2 + x +1 =
3
15.
10 − 3 x − 3 x =
10
16.
2x − 4 + x + 5 =
5
17.
4x + 5 = x + 2
18.
2x − 3 − x − 5 =
2
19.
3x + 4 + 2 x − 4 =
0
20.
x − 7 − 3x =
1
21.
x2 + x − x + 1 =
0
22.
x2 + 3 − 3 − x =
0
23.
x − 2 + x +1 =
3
24.
2 x + 3 + 1 =x
25.
26.
27.
x + 3x + 4 = 3x − 9
6 x + 2 + 3x + 3 =
4
x + 3 x +1 =
17
28.
4x + 7 − 6x + 1 =
1
29.
3x − 3 3 − x = x − 8
30.
3 − 3x − 2 x + 5 =
0
31.
9 + 7x + 2x =
−2
32.
3x + 5 x =
10
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8
SOLUCIONES
1.
2
2.
2
3.
No tiene solución
4.
114
5.
4
6.
1
7.
2
8.
−
9.
–3
3
y –1
4
10. –2
11. No tiene solución
12. 2
13. 5
14. 3
15. –2.
16. 4
17. –1 y 1
18. 14 y 6
19.
3
4
20. 2
21. –1 y 1
22. –1 y 0
23. 3
24.
2+ 6
25. 7
26.
1
3
27. 8
28.
1
2
29. –1
30.
2
9
31.
−
32.
20
9
5
4
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9