x - Cepech

SOLUCIONARIO
STALCES011MT21-A16V1
Taller de Funciones
1
TABLA DE CORRECCIÓN
GUÍA PRÁCTICA
TALLER DE FUNCIONES
Ítem Alternativa
Habilidad
1
D
Aplicación
2
E
ASE
3
C
Aplicación
4
A
ASE
5
D
Aplicación
6
D
ASE
7
B
Comprensión
8
E
Aplicación
9
E
ASE
10
A
ASE
11
B
ASE
12
B
Aplicación
13
A
ASE
14
B
ASE
15
A
ASE
16
C
ASE
17
A
Aplicación
18
E
Aplicación
19
D
ASE
20
B
ASE
21
C
ASE
22
E
ASE
23
C
ASE
24
E
Aplicación
25
D
Aplicación
26
B
Aplicación
27
C
ASE
28
E
ASE
29
D
ASE
30
C
ASE
2
1. La alternativa correcta es D.
Unidad temática
Habilidad
h(x)
=
h(– 2a) =
5
=
5 · (– 2a) =
– 10a =
– 10a + 6a =
– 4a =
a=
a=
Teoría de funciones
Aplicación
3x  2
x
3  (2a)  2
 2a
3  (2a)  2
 2a
– 6a + 2
– 6a + 2
2
2
2
4
1
2
(Reemplazando x con – 2a)
(Reemplazando h(– 2a) por 5)
(Despejando a)
(Simplificando)
Por lo tanto, el valor numérico de a es
1
.
2
2. La alternativa correcta es E.
Unidad temática
Habilidad
Teoría de funciones
ASE
El dominio son los valores que puede tomar x de modo que f(x) resulte un número real. f(x)
es real, si x – 21 ≠ 0, es decir si x ≠ 21.
Luego, el dominio es IR – {21}.
El recorrido son los valores que puede tomar y. Para determinarlo se debe despejar x:
y=
1
x  21
y(x – 21) = 1
xy – 21y = 1
3
xy = 21y + 1
x
21y  1
y
El denominador no puede ser cero. Entonces, el único valor que no puede tomar y es 0.
Luego, el recorrido es IR – {0}.
3. La alternativa correcta es C.
Unidad temática
Habilidad
Función afín y función lineal
Aplicación
- En 2008 tuvo 200.000 suscriptores
- En 2011 tuvo 350.000 suscriptores
 (2008, 200.000) = (x1, y1)
 (2011, 350.000) = (x2, y2)
La ecuación de la recta que pasa por (x1, y1) y (x2, y2) es:
y  y1
y= 2
(x – x1) + y1
x 2  x1
350.000  200.000
(x – 2008) + 200.000
2011  2008
150.000
y=
(x – 2008) + 200.000
3
y = 50.000(x – 2008) + 200.000
y=
Por último, se evalúa el valor de y cuando x = 2015:
y = 50.000(2015 – 2008) + 200.000 = 50.000 ∙ 7 +200.000 = 550.000
Por lo tanto, el número de suscriptores el año 2015 fue 550.000
4
4. La alternativa correcta es A.
Unidad temática
Habilidad
Función afín y función lineal
ASE
f (x) = 2x + 6(1 – x) = 2x + 6 – 6x = – 4x + 6. Luego:
La intersección de la recta con el eje Y está dada en forma directa por el coeficiente de
posición, es decir, corresponde al punto (0, 6).
La intersección de la recta con el eje X corresponde al valor de x cuando la función vale 0,
3
es decir, – 4x + 6 = 0. Dicha igualdad se cumple cuando x = , luego corresponde al punto
2
3 
 , 0 .
2 
Por lo tanto, el gráfico que mejor representa a la función real f (x) se encuentra en la
alternativa A.
5. La alternativa correcta es D.
Unidad temática
Habilidad
Función exponencial, función logarítmica y función raíz cuadrada
Aplicación
Cantidad final = Cantidad inicial · comportamiento
tiempo pedido
ciclo de reproducción
Observación: El tiempo pedido y el ciclo de reproducción deben estar en la misma unidad
de tiempo (ejemplo: ambos en horas o ambos en minutos). El comportamiento se refiere a
si se duplica, triplica, etc.
8 horas = 480 minutos 
tiempo pedido
ciclo de reproducción

480 minutos
 24
20 minutos
Por lo tanto, el número de bacterias al término de 8 horas será: Cantidad final  4.000  2 24
5
6. La alternativa correcta es D.
Unidad temática
Habilidad
Función exponencial, función logarítmica y función raíz cuadrada
ASE
m
5
n
 bn 
5
f (m) = m  5 · bm = m  b m 
f (n) = n
 5 · bn = n
Luego, f (m + n) = 5 · bm + n = 5 · bm · bn = 5 ·
mn
m n
· =
5 5
5
7. La alternativa correcta es B.
Unidad temática
Habilidad
Función exponencial, función logarítmica y función raíz cuadrada
Comprensión
La gráfica de una función f(x) siempre intersecta al eje Y en el punto (0, f(0)), si existe f(0).
Por lo tanto, si f(x) = 3x– 9, entonces f(0) = 30 – 9 = 1 – 9 = – 8
Luego, la gráfica de la función f(x) = 3x– 9 intersecta al eje Y en el punto (0, – 8).
8. La alternativa correcta es E.
Unidad temática
Habilidad
Función exponencial, función logarítmica y función raíz cuadrada
Aplicación
Igualando las bases:
3x – 1 = 92 – x
3x – 1 = (32)2 – x
3x – 1 = 34 – 2x
(Como las bases son iguales, los exponentes deben ser iguales)
Entonces:
x – 1 = 4 – 2x
3x = 5
5
x=
3
5
Luego, el valor de x es .
3
6
9. La alternativa correcta es E.
Unidad temática
Habilidad
I)
Función exponencial, función logarítmica y función raíz cuadrada
ASE
Falsa, ya que los números negativos también se pueden evaluar. Por ejemplo,
f(– 1) = log3 (3·(– 1)²) = log3 (3·1) = log3 3 = 1. El único valor que no se puede evaluar
en f es 0, luego el dominio es IR – {0}.
II) Falsa, ya que si bien la equivalencia algebraica es correcta para los números positivos,
no lo es para los números negativos. Por ejemplo, f(– 1) existe, pero g(– 1) no.
III) Falsa, ya que f(9) = log3 (3·9²) = log3 (3·34) = log3 (35) = 5.
Por lo tanto, ninguna de las afirmaciones es verdadera.
10. La alternativa correcta es A.
Unidad temática
Habilidad
Función exponencial, función logarítmica y función raíz cuadrada
ASE
El gráfico pasa por los puntos (– 1, 0) y (0, 1). Luego, se cumple que:
g(0) = 1  log (a·0 + b) = 1  b = 10
g(– 1) = 0  log (a·(– 1) + b) = 0  – a + b = 1  – a = 1 – 10 = – 9  a = 9
11. La alternativa correcta es B.
Unidad temática
Habilidad
Función exponencial, función logarítmica y función raíz cuadrada
ASE
Si en un cierto momento hay 1.000 gramos del elemento y después de un cierto tiempo
quedan x gramos, de manera que cada diez días se ha desintegrado la mitad de su masa,
t
t
 1  10
entonces se puede plantear x = 1.000·   = 1.000· 2 10 , donde t es la cantidad de días
2
transcurridos.
7
Despejando la expresión en términos del tiempo, resulta:
x = 1.000· 2
x
=2
1.000
t
10
t
10
(Despejando)
(Aplicando logaritmo)
t
 x 
log
 = log 2 10
 1.000 
t
log x – log 1.000 =
· log 2
10
t
log x – 3 =
· log 2
10
log x  3  t
=
10
log 2
(Aplicando propiedades)
(Despejando)
(Multiplicando por – 10)
10  (3  log x)
=t
log 2
Por lo tanto, la función buscada es g(x) =
10  (3  log x)
.
log 2
12. La alternativa correcta es B.
Unidad temática
Habilidad
Función exponencial, función logarítmica y función raíz cuadrada
Aplicación
log5 x + 3 = log5 625
log5 x + log5 125 = log5 625
log5 125x = log5 625
125x = 625
625
x=
125
x=5
(Aplicando log5 125 = 3)
(Aplicando propiedad de logaritmos)
(Bases son iguales  argumentos iguales)
8
13. La alternativa correcta es A.
Unidad temática
Habilidad
I)
Función exponencial, función logarítmica y función raíz cuadrada
ASE
Verdadera, ya que: f (5)  5 2  9  5 2  25  9  5  16  5  4  5  9
II) Falsa, ya que: f (3)  32  9  32  9  9  3  0  3  0  3  3
III) Falsa, ya que: f (5)  (5) 2  9  (5) 2  25  9   5  16  5  4  5  9
Por lo tanto, solo la afirmación I es correcta.
14. La alternativa correcta es B.
Unidad temática
Habilidad
Función exponencial, función logarítmica y función raíz cuadrada
ASE
Para determinar el dominio de una función, debemos analizar x. Para que una raíz con
índice par pertenezca a los reales, la cantidad subradical debe ser mayor o igual a 0.
Entonces, f (x) =
36  x 2
 36 – x² ≥ 0
 x² ≤ 36
Al aplicar raíz cuadrada a la desigualdad anterior, resulta |x| ≤ 6. Según la propiedad de
valor absoluto, resulta – 6 ≤ x ≤ 6. Por lo tanto, el dominio de la función f (x) es [– 6, 6]
15. La alternativa correcta es A.
Unidad temática
Habilidad
Función exponencial, función logarítmica y función raíz cuadrada
ASE
Analizando el dominio de la función se tiene que los valores posibles de x pertenecen al
intervalo 1,  , ya que 2x – 2  0  2x  2  x  1
Además, sabiendo que f(1) = 0, entonces el gráfico que mejor representa a f(x) es el que se
encuentra en la alternativa A.
9
16. La alternativa correcta es C.
Unidad temática
Habilidad
La expresión
Función exponencial, función logarítmica y función raíz cuadrada
ASE
x 2 es equivalente a |x|, es decir:
x 2 = x si x > 0 y
x 2 = – x si x < 0
En este caso, como m > 2, entonces:
–m<–2  1–m<1–2  1–m<–1<0 
3m > 6  3m – 1 > 6 – 1  3m – 1 > 5 > 0 
Luego,
4  (1  m) 2  (3m  1) 2 =
(1  m) 2 = – (1 – m) = m – 1
(3m  1) 2 = 3m – 1
4  (1  m) 2  (3m  1) 2
= 2·(m – 1) + (3m – 1)
= 2m – 2 + 3m – 1
= 5m – 3
17. La alternativa correcta es A.
Unidad temática
Habilidad
Ecuación de segundo grado y función cuadrática
Aplicación
f(x) = – 5x2 + 20x – 8  a = – 5, b = 20, c = – 8
El mayor valor que alcanza la función se refiere a la segunda componente del par ordenado
b
 b  20
 , con
del vértice, es decir, f 

2
2a 2  5
 2a 
b
 = f(2) = – 5∙(2)2 + 20∙2 – 8 = – 5∙4 + 40 – 8 = – 20 + 40 – 8 = 12
 f 
 2a 
Por lo tanto, el mayor valor que alcanza la función es 12.
10
18. La alternativa correcta es E.
Unidad temática
Habilidad
I)
Ecuación de segundo grado y función cuadrática
Aplicación
Verdadera, ya que y 
1
( x  2) 2 
1
( x 2  4 x  4) 
4
4
Luego, la parábola se abre hacia arriba.
II) Verdadera, ya que y 
1
Luego, abscisa del vértice: x 
b

2a
x 2  x  1 a 
4
x2  x  1 a 
4
1
1
0
4
1
,b=1yc=1
4
1
 2
1
2
Ordenada del vértice: y  f (2) 
1
 (2) 2  (2)  1  1  2  1  0
4
Entonces, el vértice es (– 2, 0)
1
1
1
(0  2) 2   2 2   4  1
4
4
4
Luego, intersecta al eje Y en el punto (0, 1)
III) Verdadera, ya que f (0) 
Por lo tanto, las tres afirmaciones son verdaderas.
19. La alternativa correcta es D.
Unidad temática
Habilidad
Ecuación de segundo grado y función cuadrática
ASE
f(x) = – (x – 2)2 = – (x2 – 4x + 4) = – x2 + 4x – 4  a = –1, b = 4, c = – 4
Como a < 0, entonces la parábola es abierta hacia abajo. Quedan descartadas las
alternativas B) y E)
Como c = – 4, entonces la parábola intersecta al eje Y en (0, – 4). Queda descartada la
alternativa C)
11
Entonces, quedan las alternativas A y D. Para discriminar entre ambas se debe analizar el
4
b
eje de simetría: x =
=
= 2. Luego, el eje de simetría corresponde a la recta x = 2.
2  1
2a
Por lo tanto, el gráfico correspondiente a la función dada está en la alternativa D).
20. La alternativa correcta es B.
Unidad temática
Habilidad
Ecuación de segundo grado y función cuadrática
ASE
Si el vértice de la función se encuentra en el segundo cuadrante, significa que la coordenada
x del vértice es negativa y la coordenada y del vértice es positiva. Como la coordenada y del
vértice es positiva, entonces el vértice se encuentra más arriba del eje horizontal. Ya que el
discriminante es positivo, significa que la gráfica corta en dos puntos al eje horizontal.
Dadas esas dos condiciones, es posible concluir que las ramas de la parábola se dirigen
hacia abajo, o sea, la concavidad es negativa. Por lo tanto, el parámetro a es negativo.
b
b
, por lo tanto
 0 , lo que
2a
2a
solamente ocurre si a y b tienen el mismo signo. Luego, como a es negativo, entonces b
también es negativo. Sin embargo, ningún antecedente del enunciado y ninguna propiedad
permiten sacar una conclusión acerca del signo de c. Por lo tanto, no es posible asegurar
que sea siempre negativo.
La coordenada x del vértice es negativa, significa que xv =
Luego, sólo es posible asegurar que a y b son siempre negativos.
21. La alternativa correcta es C.
Unidad temática
Habilidad
Desigualdades, inecuaciones y función potencia
ASE
La función h(x) = (3x + 4)4 + 5 tiene un comportamiento parabólico que alcanza su valor
mínimo cuando (3x + 4) = 0 si x está definido en los reales. En ese caso, el valor de x que
4
produce el valor mínimo es
= – 1,333…
3
12
Sin embargo, como plantea el enunciado, x es un número entero. Luego, dado el
comportamiento parabólico de la función, el valor mínimo de la función se dará para el
entero inmediatamente menor o inmediatamente mayor que – 1,333…, es decir, para
x = – 2 o x = – 1.
Evaluando en ambos valores, resulta:
h(– 2) = (3·(– 2) + 4)4 + 5 = (– 6 + 4)4 + 5 = (– 2)4 + 5 = 16 + 5 = 21
h(– 1) = (3·(– 1) + 4)4 + 5 = (– 3 + 4)4 + 5 = 14 + 5 = 1 + 5 = 6
Por lo tanto, el menor valor que alcanza la función h es 6.
22. La alternativa correcta es E.
Unidad temática
Habilidad
Desigualdades, inecuaciones y función potencia
ASE
Como la función pasa por el punto (2, 4), entonces f(2) = 4. Luego:
f(2) = (a·2)³ = 4  a³·8 = 4  a³ =
4
 a=
8
3
4 34 34


8 38
2
23. La alternativa correcta es C.
Unidad temática
Habilidad
Desigualdades, inecuaciones y función potencia
ASE
y
Al graficar las funciones, resulta el gráfico adjunto.
h
Por lo tanto, el conjunto de todos los valores de x para los
cuales se cumple que g  h es ]– ∞, – 1  [2, +∞[
–1
2
13
g
x
24. La alternativa correcta es E.
Unidad temática
Habilidad
Desigualdades, inecuaciones y función potencia
Aplicación
C = K·(1 + i)n
C: capital total
K: capital inicial ($ 40.000)
i: interés compuesto (10% = 0,1)
n: tiempo (3 años)
Luego, C = 40.000·(1 + 0,1)³ = 40.000·(1,1)³ = 40.000·1,331 = $ 53.240
25. La alternativa correcta es D.
Unidad temática
Habilidad
f(– 2) =
1  (2)
(2)
2
Teoría de funciones
Aplicación

1 2

4
3
4
1
3
1
3
4  4  1  16  4
f(f(– 2)) = f   =
2
9
4 9 9
4 3
 
16
4
26. La alternativa correcta es B.
Unidad temática
Habilidad
Teoría de funciones
Aplicación
h(g(x)) = h(x + 2) = (x + 2)² y g(h(x)) = g(x²) = x² + 2. Luego:
h(g(x)) = g(h(x))
(x + 2)² = x² + 2
x² + 4x + 4 = x² + 2
4x + 4 = 2
4x = – 2
1
x=
2
14
27. La alternativa correcta es C.
Teoría de funciones
ASE
Unidad temática
Habilidad
A) Falsa, porque el para hallar el dominio de f se deben cumplir dos condiciones
x + 4 ≥ 0 entonces x ≥ – 4
x – 1 ≠ 0 entonces x ≠ 1
Por ende, el dominio de f es [- 4, 1[  ]1, +  ].
B) Falsa, pues el recorrido de esta función es IR (con el denominador, x – 1, la función
puede resultar cualquier número real)
C) Verdadera, pues si el conjunto de llegada son los números enteros positivos, entonces
cada elemento de B tiene alguna preimagen.
D) Falsa, ya que si f (m)  f (n)  m  n , para todo m, n ∈ 𝑍 (es decir, ningún elemento
de B tiene dos o más preimágenes), por lo tanto la función sí es inyectiva para B = Z.
E) Falsa, pues si el conjunto de llegada son los números reales, entonces el recorrido de f
y el conjunto de llegada coinciden. Además, cada imagen de f tiene una única
preimagen, por lo tanto f es biyectiva en su dominio.
28. La alternativa correcta es E.
Teoría de funciones
ASE
Unidad temática
Habilidad
I)


Falsa, ya que f  f 1 x   x , pues la composición entre una función y su inversa
resulta la función identidad.
II) Falsa, porque, en general, f 1 ( x)   f ( x) .
III) Falsa, pues f 1 ( x)   f ( x)
1
Por lo tanto, ninguna de ellas es siempre verdadera.
15
29. La alternativa correcta es D.
Unidad temática
Habilidad
Función exponencial, función logarítmica y función raíz cuadrada
ASE
(1) f(3) = 512. Con esta información, sí es posible determinar que la función f(x) = ax es
creciente, ya que implica que a es igual a 8 (83 = 512). Como la base es mayor que 1,
entonces la función exponencial es creciente.
(2) El gráfico de f pasa por el punto (1, 8). Con esta información es posible determinar que
la función f(x) = ax es creciente, ya que a = 8. Como la base es mayor que 1, entonces
la función exponencial es creciente.
Por lo tanto, la respuesta es: Cada una por sí sola.
30. La alternativa correcta es C.
Unidad temática
Habilidad
Ecuación de segundo grado y función cuadrática
ASE
(1) Intersecta al eje X en (– 3, 0) y (– 2, 0). Con esta información, no se puede determinar
la función correspondiente a la parábola, ya que se puede plantear que
c
b
–3+–2=
y – 3 · – 2 = . Como hay tres incógnitas y dos ecuaciones que forman
a
a
un sistema con infinitas soluciones, no se puede resolver.
(2) Intersecta al eje Y en (0, 6). Con esta información, no se puede determinar la función
correspondiente a la parábola, ya que sólo se puede determinar que c = 6.
Con ambas informaciones, sí se puede determinar la función de la parábola, ya que de
c
b
(1)
= – 5 y = 6 y de (2) c = 6, entonces reemplazando (2) en (1) se puede determinar
a
a
que a = 1 y b = 5
Por lo tanto, la respuesta es: Ambas juntas.
16