4 polinomios - Cardenal Spínola

4 POLINOMIOS
PA R A
1
E M P E Z A R
Un cuadrado tiene de lado x centímetros. Escribe la expresión algebraica correspondiente a su área.
Expresión algebraica: A x2
2
3
¿Cuáles de las siguientes expresiones algebraicas son monomios y cuáles polinomios?
1
a) x2
3
b) abc
1
c) x
d) x2 y2
a) Monomio
b) Monomio
c) Monomio
d) Polinomio
Indica los coeficientes y los grados de los siguientes monomios.
a) 2a2 bc
c) 3x2 y2
b) x5
d) ac
Monomio
Coeficiente
Grado
2a2bc
2
4
x
1
5
3x y
3
4
ac
1
2
5
2 2
4
Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones para x 5 e y 4.
1
a) x2 2xy y2
b) (x xy) 3y3
2
1
a) 52 25 4 42 141
b) (5 5 4) 3 43 184,5
2
5
Gustave Eiffel relacionó la presión del viento (w) con la altura de la torre (x) mediante la siguiente expresión polinómica.
w(x) 0,69 1,53 103x 3,9 105 x2 9,22 10 8 x3
¿Cuál será la presión del viento ejercida a 50 metros de altura?
w(50) 0,69 1,53 103 50 3,9 105 502 9,22 108 503 0,699
Operaciones con polinomios
PA R A
P R A C T I C A R
4.1 Realiza las siguientes operaciones.
a) 5x2 3x2 x2
d) (2yz yz 4yz2 yz2)
b) 4xy 10xy 2xy
70
e) 79x (9y 7x)
c) 30xy 9xy 4x y
f) 5x2z 3 (2x2zt x2z
a) 5x2 3x2 x2 7x2
d) (2yz yz 4yz2 yz2) (yz 4yz2 yz2) yz 4yz2 yz2
b) 4xy 10xy 2xy 4xy
e) 79x (9y 7x) 86x 9y
c) 30xy3 9xy3 4x3y 39xy3 4x3y
f) 5x2z 3 (2x2zt x2z) 2x2z 6x2zt
3
3
3
4.2 Realiza los siguientes productos.
a) 2x3 3xy3 6x2y3
b) 3x2y 5x3y3 4y4
1
d) 7x3y4 10xy6 xy
2
3
5
e) 6xy4 y3 x4
2
12
c) 2x3 x2 x
1
2
f) x 6x4 x5
2
3
a) 2x3 3xy2 6x2y3 36x6y5
b) 3x2y 5x3y3 4y4 60x5y8
1
d) 7x3y4 10xy6 xy 35 x5y11
2
5 4
5
4
3
e) 6xy y x x5y7
12
2
1
c) 2x3 x2 x x6
2
1
2
f) x 6x4 x5 2 x10
2
3
4.3 Calcula las siguientes operaciones.
a) 6x4 : 2x3
b) (8x5 : 2x2)4
d) 40xy4z2 : 10y3z
e) (5x2 yz2 3xy) : yz2
2
1
c) 4x2 y : xy
2
2
f) x2 y
3
a) 6x4 : 2x3 3x
d) 40xy4z2 : 10y3z 4xyz
b) (8x5 : 2x2)4 4x12
e) (5x2yz2 3xy) : yz2 15x3y
1
c) 4x2y : xy 8x
2
f)
23x y
2
2
1
: xy
2
1
8
: xy x3y
2
9
4.4 Dados los polinomios: P(x) x2 5x 4, Q(x) 3x2 6x 4 y R(x) 2x2 x 1, realiza las operaciones indicadas.
a) P(x) Q(x)
d) P(x) Q(x) R(x)
b) P(x) Q(x)
e) P(x) Q(x) R(x)
c) Q(x) P(x)
f) P(x) [Q(x) R(x)]
a) P(x) Q(x) 4x2 x
d) P(x) Q(x) R(x) 2x2 2x 1
b) P(x) Q(x) 2x2 11x 8
e) P(x) Q(x) R(x) 4x2 10x 7
c) Q(x) P(x) 2x2 11x 8
f) P(x) [Q(x) R(x)] = 12x 9
4.5 Realiza las siguientes operaciones.
a) 4xy2 x (y2 5xy)
c) (20x3y2 15x5y4 10x4y) : 5xy
b) 5z3 (z4 3z2)
1
d) (4x 2x2 y xy2 ) : 2x
2
a) 4xy2 x (y2 5xy) 4xy 2 xy 2 5x 2y 3xy2 5x2y
c) (20x3y2 15x5y4 10x4y) 5xy 4x2y 3x4y3 2x3
b) 5z3 (z4 3z2) 5z7 15z5
1
d) (4x 2x2y xy 2) 2x 2x3y3
2
Ejercicio resuelto
4.6 Saca factor común en esta expresión.
6x3y2 9x2y 12xy2
Se busca el término común en todos los términos del polinomio y se expresa como producto de un monomio por un polinomio:
6x3y 2 9x2y 12xy 2 3xy (2x2y 3x 4y)
71
4.7 Saca factor común en las siguientes expresiones.
a) 49y2 35y4
c) 2x5y x2y2 3x4y
b) 8x5 4x2 12x4
d) x3y2t x2yt xy2t3
Se busca el término común en todos los términos del polinomio y se expresa como producto de un monomio por un polinomio.
a) 49y2 35y4 7y2 (7 5y2)
c) 2x5y x2y2 3x4y x2y (2x3 y 3x2)
b) 8x5 4x2 12x4 4x2(2x3 1 3x2)
d) x3y2t x2yt xy 2t 3 xyt (x2y x yt2)
4.8 Dados: P(x) 3x2 x 6 y Q(x) 2x2 x 1, realiza las siguientes operaciones.
a) 2 P(x)
c) 2 P(x) 3 Q(x)
b) 3 Q(x)
3
5
d) P(x) Q(x)
4
6
a) 2 P(x) 6x2 2x 12
b) 3 Q(x) 6x2 3x 3
c) 2 P(x) 3 Q(x) 6x2 2x 12 6x2 3x 3 12x2 5x 9
3
5
9
3
18
10
5
5
17
19
44
d) P(x) Q(x) x2 x x2 x x2 4
6
4
4
4
6
6
6
12
12
12
4.9 Calcula los siguientes productos de polinomios.
a) (x 6y)(x 6y)
e) (x2 2y 1)(2x 3y)
b) (2x 1)(3x2 5)
f) (5x3y 3x)(4xy2 xy3 y)
c) (3xy 2x)(3x2 5)
g) (abc 2b2 3a)(a2b 3c3)
d) (a2 bc)(a b bc)
h) 2x (4x2y 3x)(5xy3 x2y)
a) (x 6y)(x 6y) x2 36y2
b) (2x 1) (3x2 5) 6x2 10x 6
c) (3xy 2x) (3x2 5) 9x3y 15xy 6x2 10x
d) (a2 bc)(a b bc) a3 a2b a2bc abc b2c b2c2
e) (x2 2y 1) (2x 3y) 2x3 3x2 y 4xy 6y2 2x 3y
f) (5x3y 3x) (4xy2 xy3 y) 20x4y3 5x4y4 5x3y2 12x2 y2 3x2 y3 3xy
g) (abc 2b2 3a) (a2b 3c3) a3bc 3abc4 2ab3 6b2c3 3a3b 3ac3
h) 2x (4x2y 3x) (5xy3 x2y) 40x4y4 8x5y2 30x3y3 6x4y
4.10 Dados los polinomios: P(x) 4x2 6x 1, Q(x) 2x2 2x 7 y R(x) 2x 5, realiza las siguientes
operaciones.
a) P(x) Q(x)
b) P(x) [R(x)]2
a) P(x) Q(x) 8x4 4x3 42x2 40x 7
b) P(x) [R(x)]2 (4x2 6x 1) (4x2 10x 25) 16x4 64x3 154x2 140x 25
4.11 Dados los polinomios: P(x) x2 x 1, Q(x) 2x2 3x 7 y R(x) 2x2 5x, realiza las siguientes
operaciones.
a) [P(x) Q(x)] R(x)
c) [2P(x) Q(x)] R(x)
b) 2P(x) 5Q(x)
d) [P(x) Q(x)] R(x)
a) [P(x) Q(x)] R(x) (3x 2x 8) (2x 5x) 6x 11x3 26x2 30x
2
2
4
b) 2P(x) 5Q(x) (2x2 2x 2) (2x2 3x 7) 4x4 2x3 24x2 8x 14
c) [2P(x) Q(x)] R(x) (5x 5) (2x2 5x) 10x3 35x2 25x
d) [P(x) Q(x)] R(x) (x2 4x 6) (2x2 5x) 2x4 3x3 32x2 30x
72
PA R A
A P L I C A R
4.12 La diferencia de los cuadrados de dos números consecutivos, ¿es un número par o impar? Razona tu respuesta.
Números consecutivos: x, x 1
Expresión o diferencia de cuadrados:
(x 1)2 x2 x2 2x 1 x2 2x 1
Por tanto, la diferencia de los cuadrados es un número impar.
4.13 Dos números naturales consecutivos se elevan al cuadrado. ¿A qué es igual su diferencia? Aplícalo para
calcular la diferencia de los cuadrados de 9 y 8.
Números naturales consecutivos: x, x 1
Diferencia de cuadrados: (x 1)2 x2 x2 2x 1 x2 2x 1
La diferencia de los cuadrados de dos números consecutivos es igual a la suma de ambos.
Aplicación: 92 82 (9 8)(9 8) 17
4.14 El Parque del Canal es cuadrado y tiene 100 metros de lado. Está rodeado por un paseo pavimentado
de x metros de ancho, para poder andar y correr. ¿Cuál es la superficie del paseo en función de la anchura?
Diferencia de cuadrados: (100 x)2 1002
Se opera: 1002 200x x2 1002
Se opera: 200x x2 metros cuadrados.
O también: x(200 x)
4.15 Un cuadrado tiene de lado 2x. Se aumenta 2 unidades y se reduce la altura a la mitad. Determina la expresión algebraica que da el área de la figura resultante.
Lado del cuadrado: 2x
Valor del lado si se incrementa 2 unidades: 2x 2.
Altura si se reduce el lado a la mitad: x.
Área de la figura resultante: (2x 2)x 2x2 2x.
4.16 Escribe la expresión que da el número de diagonales de un polígono regular. ¿Qué polígono regular tiene 119 diagonales?
Número de lados del polígono: x
x(x 3)
Número de diagonales del polígono: 119
2
2
Expresión polinómica: x 3x 238
Ecuación de segundo grado asociada: x2 3x 238 0
Soluciones de la ecuación: 17, 14
Solución válida: polígono convexo de 17 lados
4.17 Un centro escolar tiene 350 alumnos. El primer día de clase cada alumno saluda a todos los demás.
a) ¿Cuál es la fórmula general si el número de alumnos es x?
b) ¿Cuál sería el número de saludos para 350 alumnos?
a) Sea x es el número de alumnos.
Cada alumno saluda a los demás menos a sí mismo: x 1.
Como se saludan todos los alumnos: x(x 1).
x(x 1)
Para no contar dos veces el saludo entre dos niños: 2
350(350 1)
b) Saludos: 61 075
2
73
Potencia de polinomios. Identidades notables
PA R A
P R A C T I C A R
4.18 Calcula las siguientes potencias.
a) (m 2n)2
d) (4x 5y)2
b) (5 9b)2
e) (a b c)2
c) (2a 3b)2
f) (3x y 2z)2
a) (m 2n)2 m2 4n2 4mn
b) (5 9b)2 25 81b2 90b
c) (2a 3b)2 4a2 9b2 12ab
d) (4x 5y)2 16x2 25y2 40xy
e) (a b c)2 a2 b2 c2 2ab 2ac 2bc
f) (3x y 2z)2 9x2 y2 4z2 6xy 12xz 4yz
4.19 Calcula las siguientes potencias de polinomios.
a) (2x y)3
d) (3x y)3
b) (y2 z2)3
e) (4a 5)3
c) (2a b)3
f) (3x y)3
a) (2x y)3 8x3 y3 12x2y 6xy2
d) (–3x y)3 27x3 y3 27x2y 9y2
b) (y2 z2)3 y6 z6 3y4z2 3y2z4
e) (4a 5)3 64a3 125 240a2 300a
c) (2a b)3 8a3 b3 12a2b 6ab2
f) (3x y)3 9x3 y3 27x2y 27xy2
4.20 Realiza las siguientes operaciones utilizando las identidades notables.
a) (x 4)2
e) (4 8y)2
b) (9a 5b)2
f) (3a 5b)2
c) (4x 5y)2
g) (2m 3n)2
1
d) x y
3
2
h) (3x 2y)2
a) (x 4)2 x2 8x 16
e) (4 8y)2 16 64y2 64y
b) (9a 5b)2 81a2 25b2 90ab
f) (3a 5b)2 9a2 25b2 30ab
c) (4x 5y)2 16x2 25y2 40xy
g) (2m 3n)2 4m2 9n2 12mn
x 13y 23x y
1
d) x y
3
2
2
2
2y)2 9x2 2y2 32xy
h) (3x 4.21 Realiza las siguientes operaciones utilizando las igualdades notables.
a) (2x2 3y)2
d) (2x5 6x3)2
b) (5a3 2b5)2
3
1
e) x2 x6
2
3
3
c) a b
4
2
2y3
2
a) (2x2 3y)2 4x4 12x2y 9y2
d) (2x5 3x3)2 4x10 24x8 36x6
b) (5a3 2b5)2 25a6 20a3b5 4b10
3
1
e) x2 x6
2
3
c)
74
f) 3
x
2
2
a 32ab b
3
a b
4
2
2
2
f) (3x2 94x x 19x
2
4
8
6
2y3)2 3x4 232x5 36y9
4.22 Realiza las siguientes operaciones utilizando las identidades notables.
2)(x
2)
a) (5x 8)(5x 8)
c) (x b) (2x2 5x)(2x2 5x)
2
2
d) a b2 a b2
3
3
a) (5x 8)(5x 8) 25x2 64
c) (x b) (2x2 5x)(2x2 5x) 4x4 25x2
2
d) a b2
3
2)(x 2) x2 2
23a b 49a b
2
2
4
4.23 Completa el término que falta para obtener el desarrollo del cuadrado de un binomio.
a) x2 16
d) x2 10x b) x4 6x2 e)
c) 4a2 b2
f) 2x2 24x 9
22
xy
a) x2 8x 16
d) x2 10x 25
b) x 6x 9
e) 4x2 24x 9
c) 4a2 b2 8ab
f) 2x2 y2 22xy
4
2
4.24 Expresa cada polinomio como producto de dos factores utilizando las identidades notables.
1
16
d) x2 9
25
1
2
e) 81x 2x 81
f) 20x x2 100
a) x2 6x 9
b) 16x4 1
c) 25x6 4 20x3
b) 16x4 1 (4x2 1) (4x2 1)
1
16
1
4 1
4
d) x2 x x 9
25
3
5 3
5
2
1
1
e) 81x2 2x 9x 81
9
c) 25x6 4 20x3 (5x3 2)2
f) 20x x2 100 (x 10)2
a) x2 6x 9 (x2 9x)2
4.25 Utiliza las identidades notables para expresar de otra forma los siguientes polinomios.
2x 2
b) 3
x 7x 3x
2
c) 2x2 26
x 3
a)
5
a) (2x 4
5
7x4
d) 3x4 16x2
2)2 2x2 4x 2
3x 7x 3x 7x 3x 221x 7x
c) 2x 26x 3 2x 3
d) 3x 16x 3 x 4x 3 x 4x
5
b)
4
5
4
10
9
8
2
2
4
2
2
2
PA R A
A P L I C A R
4.26 Halla el valor numérico para a 6 y b 4, de las expresiones algebraicas siguientes utilizando las identidades notables.
a) a2 2ab b2
b) a2 2ab b2
a) a2 2ab b2 (a b)2, luego el valor numérico es 102 100.
b) a2 2ab b2 (a b)2, luego el valor numérico es 22 4.
75
4.27 Los lados de dos salas cuadradas se diferencian en 8 metros, ¿en cuánto se diferencian sus áreas? Utiliza la fórmula de la diferencia de cuadrados.
Medidas de los lados: x 8 metros y x metros
Diferencia de áreas: (x 8)2 x2 (2x 8) 8 16x + 64 m2
4.28 Estíbaliz tiene un truco para calcular rápidamente la diferencia de los cuadrados de dos números consecutivos. Averigua cuál es aplicándolo a la expresión: 1012 1002.
Números consecutivos: x, x 1
Diferencia de cuadrados: (x 1)2 x2
(x 1)2 x2 x2 2x 1 x2 2x 1 x (x 1)
Como se ve, la diferencia de los cuadrados es igual a la suma de sus bases.
Por tanto: 1012 1002 101 100 201
4.29 Utiliza la propiedad de los cuadrados consecutivos de la actividad anterior para calcular estas diferencias.
a) 112 102
d) 1002 992
b) 232 222
e) 712 702
c) 5012 5002
f) 60012 60002
a) 112 102 (11 10) 1 21
b) 232 222 (23 22) 1 45
c) 5012 5002 (501 500) 1 1001
d) 1002 992 (100 99) 1 199
e) 712 702 (71 70) 1 141
f) 60012 60002 (6001 6000) 1 12 001
4.30 Utilizando la fórmula (a b)(a b) a2 b2, indica si la diferencia de los cuadrados de dos números
consecutivos es par o impar. Razona tu respuesta.
Sean A y B dos números consecutivos: A B 1.
Diferencia de cuadrados:
A2 B2 (A B)(A B)2 2A 1 A B
Luego la diferencia es impar.
4.31 Demuestra que para cualquier pareja de números pares consecutivos la diferencia de sus cuadrados es
igual al cuádruple del número impar intermedio.
Sean A y B dos números pares consecutivos, donde A B: A B 2.
El cuádruple del número impar intermedio será: 4 (B 1).
Diferencia de cuadrados:
A2 B2 (A B)(A B)2 (B B 2)(B 2 b) 2(B 1)2 4(B 1)
4.32 Un arquitecto diseña una plaza cuadrada de 40 metros de lado. ¿Cuánto aumentaría su área si el lado
crece x metros?
Utiliza este resultado para conocer su incremento si el lado aumenta 5 metros.
Metros cuadrados que crece:
(40 x)2 402 1600 80x x2 1600 80x x2
Incremento para x 5: 80x x2 80 5 25 400 25 425 m2
76
División de un polinomio por x a. Regla de Ruffini
PA R A
P R A C T I C A R
4.33 Realiza las siguientes divisiones de polinomios entre monomios.
21x5 12x4 3x3
3x2 6x
a) d) 3x3
3x
12x4 16x3 8x2
100x8 20x6
b) e)
2
4x
5x4
18x6 36x5 72x4
12x3 9x2 6x
c) f) 9x3
3x
a) x 6
b) 3x2 4x 8
c) 4x2 3x 2
d) 7x2 4x 2
e) 50x4 4x2
f) 2x3 4x2 8x
4.34 Efectúa las siguientes divisiones de polinomios.
12x2 6x 8
a) 2x 1
20x2 10x 50
b) 10x 3
4x2 7x 3
c) x2 2x
4x3 10x 2
f) x2 4
x4 5x 3
g) x3 5x 3
x4 x3 x2
h) x3 x2 x
2x4 3x3 5x2 4x 1
i) x2 6x 3
6x2 1
d) 3x 4
3x3 7x2 4x 5
e) x2 x 6
3x4 5x3 2
j) x2 x 4
a) 12x2 6x 8
 2x 1
2
6x 12
12x 6x 8
12x 8
12x 12
30 Resto
f) 4x2 10x 2
 x2 4
4x2 8
4x2 8x2 8
2
8x 10x 2
8x2 10x 32
10x 34 Resto
Cociente
b) 20x2 10x 50  10x 3
2x 8/5
20x2 6x 8
16x 50
16x 18/5
268/5 Resto
c) 4x2 7x 3
4x2 8x 8
15x 3
 x2 2x
4
Resto
Cociente
Cociente
d) 6x2 6x 1
 3x 4
2x 8/3
6x2 8x 8
8x 1
8x 35/3
35/3 Resto
Cociente
e) 3x3 7x2 4x 5
 x2 x 6
3x 11 Cociente
3x3 3x2 18x 8
11x2 14x 5
11x2 11x 66
3x 71 Resto
Cociente
g) x4 5x2 5x 3  x3 5x 3
x
Cociente
x4 5x2 3x 8
2
5x 8x 3 Resto
h) x4 x3 x2
 x3 x2 x
x4 x3 x2 8
x2
Cociente
2x3
2x3 2x2 2x
2x2 2x Resto
i) 2x4 3x3 5x2 4x 1
 x2 6x 4
4
3
2
6x2 8
Cociente
2x 12x 6x 8
3
2
9x x 4x 1
9x3 54x2 27x
53x2 31x 1
53x2 318x 159
287x 158 Resto
i) 3x4 5x3 5x2 4x 2  x2 x 4
3x2 2x 14 Cociente
3x4 3x3 12x2 8
3
2
2x 12x 4x 2
2x3 2x2 4x
14x2 4x 2
14x2 14x 28
18x 26 Resto
77
x3 5x2 3
4.35 Comprueba, sin efectuar la división, que el cociente y el resto de la división son, respectix2 2
vamente: C(x) x 5 y R 2x 7.
Para que sea cierto se tiene que cumplir la regla de la división:
D(x) d(x) C(x) R(x) (x2 2)(x 5) 2x 7 x3 5x2 2x 10 2x 7 x3 5x2 3
4.36 Escribe el dividendo, el divisor, el cociente y el resto de cada división.
a)
3
1
4
5
b)
3
6
8
0
1
2
a) Regla de Ruffini:
3
2
3
1
4
5
6
14
36
7
18
41
b) Regla de Ruffini:
3
1
4
5
1 ↓
3
6
14
3
6
14
14
Divisor: x 2
Divisor: x 1
Cociente: 3x 7x 18
Cociente: 3x2 6x 14
Resto: 41
Resto: 14
2
4.37 Divide el polinomio 3x3 x2 2x 360 entre x 5. ¿Es exacta la división?
Regla de Ruffini:
5
3
1
2
360

↓
15
70
360
3
14
72
0
← Resto
Resto: 0 → División exacta
Cociente: 3x 14x 72
2
4.38 Realiza las siguientes divisiones utilizando la regla de Ruffini. Indica cuáles son el cociente y el resto de
cada división.
3x3 5x2 4x 1
4x5 3x3 x 10
a) c)
x2
x1
3x3 5x2 4x 1
b) x2
a) Regla de Ruffini:
2
4x5 3x3 x 10
d) x1
3
5
4
1

↓
6
2
12
3
1
6
11
c) Regla de Ruffini:
1
4
0
3
1
10

↓
4
4
1
1
4
4
1
1
9
0
3
1
10
Cociente: 3x 1x 6
Cociente: 4x 4x 1x 1
Resto: 11
Resto: 9
2
b) Regla de Ruffini:
3
2
3
5
4
1

↓
6
2
12
3
1
6
13
2
d) Regla de Ruffini:
4

1 ↓
4
4
1
0
4
4
1
0
10
Cociente: 3x 1x 6
Cociente: 4x 4x 1x
Resto: 13
Resto: 10
2
3
2
4.39 Realiza las siguientes divisiones utilizando dos métodos distintos. Comprueba que en ambos casos se
obtiene el mismo resultado.
x3 4x2 6
a) x4
4x3 8x2 9x 7
c) x3
x4 1
b) x1
3x3 3x2 12x 12
d) x2
a) Cociente: 3x2 4x 2
b) Cociente: x x x 1
3
78
2
Resto: 134
c) Cociente: 4x2 4x 3
Resto: 16
Resto: 0
d) Cociente: 3x 3x 6
Resto: 0
2
PA R A
A P L I C A R
Ejercicio resuelto
3x2 kx 5
4.40 Halla el valor de k para que el resto de la división sea 1.
x2
Se resuelve la división mediante la regla de Ruffini.
3
2
3
6k
k
5
6
12 2k
7 2k
Como 7 2k 1, el valor de k debe ser 3.
4.41 Halla en cada caso el valor de k para que la división sea exacta.
3x3 5x2 kx 6
a) x1
kx3 x2 3x 4
b) x2
Para que la división sea exacta, el resto debe ser cero. Se resuelve cada división mediante la regla de Ruffini.
a)
3
1
3
5
k
6
3
2
k2
2
k2
k6
b)
k
2
k
Como k 6 0, el valor de k debe ser 6.
1
3
6
2k
4k 2
8k 10
2k 1 4k 5
8k 16
Como 8k 16 0, el valor de k debe ser 2.
4.42 Utiliza la regla de Ruffini para hallar el valor de la constante k, tal que el resto de la división del polinomio P(x) x3 2x 6k entre el binomio x 2 sea 0.
Regla de Ruffini:
1
2
1
0
2
6k
2
4
12
2
6
6k 12
Como el resto ha de ser 0, se obtiene la ecuación: 6k 12 0.
Por tanto, k 2
4.43 ¿Qué valor debe tener m para que al dividir el polinomio 2(m 1)x2 3x (m 2) entre x 2 su
resto sea 0?
2m 2
Regla de Ruffini:
2
2m 2
3
m2
4m 4
8m 14
4m 7
9m 12
Ecuación: 9m 12 0
12
4
Solución: m 9
3
4.44 Averigua el número m que se ha de añadir al polinomio x3 2x2 para que sea divisible por x 4.
Sea el polinomio: x3 2x2 m
Valor numérico para x 4 → 64 32 m 0 → m 32
4.45 Realiza las siguientes divisiones.
x2 1
a) x1
x3 1
b) x1
x4 1
c) x1
x10 1
Observando los cocientes obtenidos, ¿podrías indicar el cociente de sin hacer la división?
x1
x2 1
a) x 1
x1
x3 1
b) x2 x 1
x1
x4 1
c) x3 x2 x 1
x1
x10 1
x9 x8 x7 x6 x5 x4 x3 x2 x 1
x1
79
4.46 Halla un polinomio de segundo grado sabiendo que cumple estas tres condiciones.
• El coeficiente principal es 1.
• El polinomio es múltiplo de x 2.
• Al dividir el polinomio entre x 1 el resto de la división es 5.
Sea el polinomio x2 ax b
Para calcular el polinomio utilizamos la regla de Ruffini para cada una de las divisiones:
a
b
2
4 2a
2a
4 2a b
1
2
1
Para que se cumpla que el polinomio sea múltiplo de x 2, el resto debe ser 0: 4 2a b 0.
1
a
1
1a
1
1a
1ab
1
b
Resto 5 → 1 a b 5 → 6 a b 0
Resolviendo el sistema de ecuaciones:
Valor de a: a 2; Valor de b: b 8
Por tanto, el polinomio será: x2 2x 8.
Descomposición factorial de un polinomio
PA R A
P R A C T I C A R
1
4.47 Dados los polinomios P(x) 3x2 5x 6, Q(x) 2x3 5x 7 y R(x) x2 3x 6, halla los valores
3
numéricos indicados de dos formas, sustituyendo y usando el teorema del resto.
a) P(1)
b) Q(1)
c) R(3)
a) P(1) 3 5 6 4
b) Q(1) 2 5 7 4
c) R(3) 3 9 6 0
4.48 Halla el resto sin hacer la división.
a) (3x2 5x 9) : (x 2)
c) (3x3 5x2 2x 50) : (x 2)
b) (x12 3x 5) : (x 1)
d) (x5 10x4 3x 1) : (x 10)
a) P(2) 12 10 9 11
c) P(2) 24 20 4 50 98
b) P(1) 1 3 5 3
d) P(10) 100 000 100 000 30 1 29
Ejercicio resuelto
4.49 Calcula las raíces del siguiente polinomio: P(x) 8x3 14x2 7x 6.
Si el polinomio tiene raíces enteras, estas serán divisores de 6, es decir: 1, 2, 3 o 6.
Comprobamos que x 2 es raíz, porque la división por (x 2) es exacta.
2
8
14
7
16
4
6
8
2
3
6
0
Continuamos dividiendo y comprobamos que ninguno de los otros divisores es raíz; por tanto, el polinomio no tiene más raíces
enteras. Buscamos las raíces fraccionarias resolviendo la ecuación:
3
1
3x2 2x 3 → x , x 4
2
3
1
Por tanto, las raíces de P(x) son , 2 y .
4
2
80
4.50 Calcula las raíces de estos polinomios.
a) x3 3x2 4x 12
b) 3x3 9x2 6x 18
c) 2x3 3x2 23x 12
d) 6x3 23x2 38x 15
e) 12x3 20x2 x 3
a) Si el polinomio tiene raíces enteras, estas serán divisores de 12, es decir: 1, 2, 3, 4, 6 o 12.
Se van probando valores y se comprueba que x 2 es raíz, porque la división por (x 2) es exacta.
1
2
1
3
2
5
4
10
6
12
12
0
Se divide de nuevo, esta vez por divisores de 3, y se comprueba que x 3 es raíz:
1
3
1
5
3
2
6
6
0
Por último, también es raíz x 2. Por tanto, las raíces son 2, 2 y 3.
b) Si el polinomio tiene raíces enteras, estas serán divisores de 18, es decir: 1, 2, 3, 9 o 18.
Se van probando valores y se comprueba que x 3 es raíz, porque la división por (x 3) es exacta.
3
3
3
9
9
0
6
0
6
18
18
0
Se continúa dividiendo y se comprueba que ninguno de los otros divisores es raíz; por tanto, el polinomio no tiene más raíces enteras. Se buscan las raíces resolviendo la ecuación:
3x2 6 0
→
x 2, x 2.
Por tanto, las raíces son x 3, x 2, x 2.
c) Si el polinomio tiene raíces enteras, estas serán divisores de 12, es decir: 1, 2, 3, 4, 6 o 12.
Se van probando valores y se comprueba que x 3 es raíz, porque la división por (x 3) es exacta.
2
3
2
3
6
9
23
27
4
12
12
0
Se divide de nuevo, esta vez por divisores de 4, y se comprueba que x 4 es raíz:
2
4
2
9
8
1
4
4
0
1
1
Por último, 2x 1 0, por lo que x es raíz. Por tanto, las raíces son 3, 4 y .
2
2
d) Si el polinomio tiene raíces enteras, estas serán divisores de 15, es decir: 1, 3, 5 o 15.
Se van probando valores y se comprueba que x 5 es raíz, porque la división por (x 5) es exacta.
6
5
6
23
30
7
38
35
3
15
15
0
Se continúa dividiendo y se comprueba que ninguno de los otros divisores es raíz; por tanto, el polinomio no tiene más raíces
enteras. Se buscan las raíces resolviendo la ecuación:
1
3
1
3
6x2 7x 3 0 → x , x . Por tanto, las raíces son x 5, x , x .
3
2
3
2
e) Si el polinomio tiene raíces enteras, estas serán divisores de 3, es decir: 1 o 3.
Se van probando valores y se comprueba que ninguno de los divisores es raíz; por tanto, el polinomio no tiene raíces enteras
1
3
1
y no puede factorizarse por este método. Las raíces son x , x , x 3
2
2
Ejercicio resuelto
4.51 Factoriza los siguientes polinomios, utilizando las identidades notables:
P(x) x2 4
Q(x) 3x2 6x 3
El polinomio P(x) es una diferencia de cuadrados, que se puede escribir como una suma por una diferencia:
P(x) x2 4 (x 2)(x 2)
Si en el polinomio Q(x) se extrae factor común al 3, se obtiene el cuadrado de una suma:
Q(x) 3x2 6x 3 3(x2 2x 1) 3(x 1)2 3(x 1)(x 1)
81
4.52 Factoriza los siguientes polinomios de segundo grado.
c) R(x) 3x2 6x 9
a) P(x) x2 7x 10
2
d) X(x) 3x2 5x 2
b) Q(x) x 7x 18
c) R(x) 3x2 6x 9 (x 3)(x 1)
a) P(x) x2 7x 10 (x 5)(x 2)
1
d) S(x) 3x2 5x 2 (x )(x 2)
b) Q(x) x2 7x 18 (x 9)(x 2)
3
4.53 Factoriza los siguientes polinomios.
a) P(x) x3 3x2 6x 8
b) Q(x) x3 6x2 5x 12
Se buscan las raíces utilizando el método de Ruffini.
a) P(x) (x 1)(x 2)(x 4)
b) Q(x) (x 1)(x 3)(x 4)
c) R(x) x4 x3 5x2 x 6
d) S(x) x4 x3 9x2 11x 4
c) R(x) (x 3)(x 2)(x2 1)
d) S(x) (x 4)(x 1) 3
PA R A
A P L I C A R
4.54 Si se divide el polinomio 3x3 2x2 kx 1 por x 1 el resto es 2. ¿Cuánto vale k?
El resto de la división de (3x3 2x2 kx 1) : (x 1) es igual al valor numérico del polinomio para x 1.
Valor numérico para x 1 ⇒ 3 2 k 1 2
Resolviendo la ecuación: k 0.
4.55 Calcula el valor de a para que el resto de la división (2x3 ax2 5x 10) : (x 4) sea 6.
El resto de la división de (2x3 ax2 5x 10) : (x 4) es igual al valor numérico del polinomio para x 4.
Valor numérico para x 4 ⇒ 128 a 16 20 10 6; 164 16a
41
Resolviendo la ecuación: a .
4
4.56 Halla los valores de a y b para que el polinomio P(x) x3 ax2 ax b tenga raíces 2 y 1.
P(1) 1 a b 0
P(2) 8 2a b 0
Resolviendo el sistema se obtiene: a 3, b 2.
4.57 ¿Son ciertas las siguientes afirmaciones?
a) Un factor de x2 1 es x 1.
b) Un factor de x2 1 es x 1.
a) Para x 1, el valor numérico de x2 1 es 0.
Luego x 1 es un factor.
b) Para x 1, el valor numérico de x2 1 es 2.
Luego x 1 no es factor.
4.58 Escribe un polinomio de grado 3 que cumpla las siguientes condiciones.
• Es divisible entre (x 3).
• Una de sus raíces es x 2.
• El término independiente es 24.
Sea el polinomio ax3 bx2 cx d.
Al ser el término independiente 24: d 24.
Para calcular el polinomio utilizamos la regla de Ruffini para cada una de las divisiones:
a
3
a
b
c
24
3a
9a 3b
18a 9b 3c
3a b
9a 3b c
18a 9b 3c 24
Para que se cumpla que el polinomio sea múltiplo de x 3, el resto 0: 18a 9b 3c 24 0.
a
2
a
b
c
24
2a
4a 2b
8a 4b 2c
2a b
4a 2b c
8a 4b 2c 24
Resto 0 ⇒ 8a 4b 2c 24 0
Si a 1, se resuelve el sistema de ecuaciones:
18a 9b 3c 24 0
8a 4b 2c 24 0
}
3b c 17 0
2b c 8 0
El polinomio buscado es: x3 5x2 2x 24.
82
}
b 5, c 2
4.59 Dos números a y b cumplen la siguiente relación.
a) Si a es par, ¿b es par o impar?
b) ¿Qué relación hay entre ambos números? Pon un ejemplo.
Diferencia de cuadrados: a2 b2 (a b)(a b) 2(a b); (a b) 2
a) Si A es par, B es par.
b) La relación es que si b es par, a es el siguiente par consecutivo, y si b es impar, a es el impar consecutivo.
Por ejemplo: 52 32 25 9 2(5 3) 16 ó 42 22 16 4 2(4 2) 12
4.60 Resuelve la ecuación x4 19x2 30x 0 factorizando el polinomio.
Se saca factor común a la x (una raíz será, por tanto, x 0), quedando por factorizar una ecuación de grado 3, que se resuelve por Ruffini, obteniéndose las raíces x 0, x 5, x 3, x 2.
La ecuación factorizada es: x(x 5)(x 3)(x 2).
Matemáticas aplicadas
PA R A
A P L I C A R
4.61 Estima mediante la regla del cuadrado la distancia de seguridad que debería guardar el vehículo del
ejemplo en un día de lluvia y utiliza el dato para calcular el valor de la aceleración de frenado en ese
caso.
Como la velocidad es de 72 km/h, la distancia de seguridad en seco es de 49 metros, y en mojado, de 98, despejamos la aceleración de la siguiente fórmula:
202
200
78
98 20 1 98 20 ⇒ 78a 200 ⇒ a 2,56
2a
a
200
Luego la aceleración es de 2,56 m/s2.
4.62 Calcula la distancia de seguridad en las siguientes condiciones.
a) El vehículo circula a una velocidad de 90 kilómetros por hora, y debido al cansancio, el tiempo de reacción es de 3 segundos.
b) El vehículo circula a 120 kilómetros por hora, y debido al mal estado de los frenos, la aceleración de
frenado es de 7 metros por segundo cuadrado.
a) Pasamos la velocidad a m/s.
90 1000
v 90 km/h m/s 25 m/s
3600
Calculamos la distancia de seguridad:
252
dseguridad 25 3 110 m
2 (9)
b) Pasamos la velocidad a m/s.
120 1000
v 120 km/h m/s 33,33 m/s
3600
Calculamos la distancia de seguridad:
(33,33)2
dseguridad 33,33 1 113 m
2 (7)
Actividades finales
PA R A
P R A C T I C A R
Y
A P L I C A R
1
4.63 Dados los monomios A 6x2, B 3x4, C x4 y y D 2x, realiza las siguientes operaciones.
2
a) A D
e) B : C
b) B C
f) D B
c) A B C
g) A B C
d) A D
h) A : D B
6
e) B : C y
f) D B 6x5
a) A D 6x2 2x
1
b) B C 3x4 x4y
2
1
c) A B C 6x2 3x4 x4y
2
d) A D 123
g) A B C 9x10 y
h) A : D B 9x5
83
4.64 Realiza las siguientes operaciones.
2
a) 3x2 5x x2
3
6abc 12abc 4abc
b) 2
2
4
a) 3x2 5x2 x2 x2
3
3
c) 5x2y 6x2y 3x2y
d) 4z3p4 7p4z3
c) 5x2y 6x2y 3x2y 2x2y
6abc 12abc 4abc
b) abc
2
d) 4z3p4 7p4 z 3 3p4 z 3
4.65 Dados los polinomios:
P(x) 2x4 x3 x2 3x 1
Q(x) 3x3 x2 x 2
R(x) 4x4 x2 4
Realiza las siguientes operaciones.
a) P(x) Q(x)
c) R(x) Q(x)
b) Q(x) R(x)
d) P(x) Q(x) R(x)
a) P(x) Q(x) 2x4 2x3 2x2 4x 3
c) R(x) Q(x) P(x) 2x4 4x3 x2 2x 5
b) Q(x) R(x) 4x4 3x3 x 6
d) P(x) Q(x) R(x) 2x4 2x3 3x2 4x 1
4.66 Realiza las siguientes operaciones con los polinomios:
1
P(x) x4 2x3 1
2
Q(x) 3x3 4x 2
R(x) 4x2 5x 3
a) P(x) [Q(x) R(x)]
b) 2x Q(x) 3P(x) x2 R(x)
c) x [Q(x) x2 P(x)]
1
3
7
35
a) P(x) [Q(x) R(x)] ( x4 2x3 1)(3x3 4x2 9x 1) x7 8x6 x5 x4 5x3 4x2 9x 1
2
2
2
2
2
3
b) 2x Q(x) 3P(x) x2 R(x) x4 x3 5x2 4x 3
20
1 7
2
c) x [Q(x) x P(x)] x 2x6 x3 3x4 4x2 2x
2
4.67 Utiliza las identidades notables para desarrollar estos productos.
d) (2x4 x2)2
a) (x 3y)2
b) (3x 2y)2
c) (3x 3
e) (5a 3b) (5a 3b)
x)
f) (2
x 2
3) (2x
3)
a) (x 3y) x 3y xy
d) (2x x ) 4x x 4x6
b) (3x 2y)2 9x2 4y2 12xy
e) (5a 3b) (5a 3b) 25a2 9b2
2
c) (3x3 2
2
4
x)2 9x6 x 3x
f) (2x 2 2
8
4
3) (2x 3) 2x2 3
4.68 Efectúa estas divisiones y comprueba que se cumple la regla de la división.
D(x) d(x) C(x) R(x)
3x 3x 1
a) x2 2x 1
4x2 1
b) x2 3
2
a) 3x2 3x 1
3x2 6x 3
9x 4
 x2 2x 1
3
Cociente
Resto
D(x) (x2 2x 1) 3 (9x 4) 3x2 3x 1
84
b) 4x2 3x 1
4x2 8x 4
8x 3
 x2 2x 1
4
Cociente
Resto
D(x) (x2 2x 1) 4 8x 3 4x2 1
4.69 Efectúa la siguiente división por dos métodos distintos, y comprueba que se obtiene el mismo resultado.
(3x6 5x4 3x3 x 7) (x 1)
División por Ruffini:
3
5
3
0
1
7
3
3
2
1
1
0
3
2
1
1
0
7
0
1
3
Cociente: 3x5 3x4 2x3 x2 x
Resto de la división: 7
3x6 5x5
3x6 3x5
3x5
3x5
3x5
3x5
3x5
3x5
3x5
3x5
3x5
5x4 3x3 x2 x 7  x 1
3x5 3x4 2x3 x2 x
4
3
2
5x 3x x x 7
Cociente
4
3x
2x4 3x3 x2 x 7
2x4 2x3
2x4 3x3 x2 x 7
2x4 x3 x2
2x4 x3 x2 x 7
2x4 x3 x2 x
2x4 x3 x2 x 7
Resto
4.70 Realiza las siguientes divisiones aplicando la regla de Ruffini, e indica el cociente y el resto.
a) (3x4 2x2 x 3) : (x 1)
b) (x5 2x3 x 1) : (x 1)
c) (2x3 x2 3x 1) : (x 2)
a)
2
1
3
Cociente: 3x2 5x 6
3
5
6
Resto de la división: 9
3
5
6
9
3
0
2
0
1
1
Cociente: 3x4 3x3 x2 x
3
3
1
1
0
Resto de la división: 1
3
3
1
1
0
1
2
1
3
1
Cociente: 2x2 5x 13
4
10
26
Resto de la división: 27
5
13
27
3
1
b)
1
c)
2
2
4.71 Calcula el resto de las siguientes divisiones sin necesidad de realizarlas. ¿Qué teorema has utilizado?
a) (x7 3x2 1) : (x 1)
d) (x5 x4 x3 x2) : (x 1)
b) (x101 2) : (x 1)
e) (3x10 4x5 7) : (x 1)
c) (x5 2x3 3) : (x 3)
Según el teorema del resto, el resto de la división de un polinomio es igual al valor numérico del polinomio: R P(a).
a) (x7 3x2 1) : (x 1) ⇒ 17 3 12 1 1 ⇒ Resto 1
b) (x101 2) : (x 1) ⇒ (1)101 2 3 ⇒ Resto 3
c) (x5 2x3 3) : (x 3) ⇒ 35 2 33 3 192 ⇒ Resto 192
d) (x5 x4 x3 x2) : (x 1) ⇒ (1)5 (1)4 (1)3 (1)2 0 ⇒ Resto 0
e) (3x10 4x5 7) : (x 1) ⇒ 3 110 4 15 7 6 ⇒ Resto 6
4.72 Calcula los valores numéricos del polinomio P(x) x2 6x 5, en cada uno de los valores de x que se
indican.
x1
x2
x3
x4
x5
x6
¿Cuáles de estos valores son raíces del polinomio? ¿Puede haber más? ¿Por qué?
P(1) 1 6 5 0
P(4) 16 24 5 3
P(2) 4 12 5 13
P(5) 25 30 5 0
P(3) 9 18 5 4
P(6) 36 36 5 5
Son raíces x 1 y x 5. No puede haber más raíces, ya que es un polinomio de segundo grado y únicamente tiene dos soluciones.
85
4.73 Halla el valor de k para que el polinomio P(x) kx2 5x 3 sea divisible entre x 2.
k
5
3
Regla de Ruffini:
2
k
2k
4k 10
2k 5
4k 13
13
Si el resto ha de ser 0, se obtiene la ecuación: 4k 13 0. Por tanto, k .
4
4.74 Halla el valor de k para que el polinomio P(x) x2 4kx 3k2 sea divisible entre x 3.
3k2
Regla de Ruffini:
1
4k
3
1
3
12k 9
4k 3
3k 12k 9
2
Si el resto ha de ser 0, se obtiene la ecuación: 3k 12k 9 0. Por tanto, k 27 y k 9.
2
4.75 El polinomio de segundo grado 2(m 1)x2 3x (m 2) es divisible por el binomio x 2. ¿Qué valor debe tener m?
m1
3
m2
Regla de Ruffini:
2
m1
2m 2
4m 10
2m 5
5m 8
8
Si el resto ha de ser 0, se obtiene la ecuación: 5m 8 0. Por tanto, k .
5
4.76 Calcula las raíces de estos polinomios.
b) Q(x) x3 x2 4x 4c)
a) P(x) x3 x2 x 1
c) R(x) x3 6x2 11x 6
a) Si el polinomio tiene raíces enteras, estas serán divisores de 1, es decir: 1.
Se comprueba que x 1 es raíz, porque la división por (x 1) es exacta.
1
1
1
1
1
1
1
2
1
2
1
0
Se divide de nuevo, esta vez por 1, y se comprueba que es raíz:
1
1
1
2
1
1
1
1
0
Por último, x 1 0, por lo que x 1 es raíz doble. Por tanto, las raíces son 1 (doble) y 1.
b) Si el polinomio tiene raíces enteras, estas serán divisores de 4, es decir: 1, 2 o 4.
Se van probando divisores y se comprueba que x 1 es raíz:
1
4
4
1
0
4
0
4
0
1
1
1
Se divide de nuevo, esta vez por 2, y se comprueba que es raíz:
1
2
1
0
4
2
4
2
0
Por último, x 2 0, por lo que x 2 es raíz. Por tanto, las raíces son 1, 2 y 2.
c) Si el polinomio tiene raíces enteras, estas serán divisores de 6, es decir: 1, 2, 3 o 6.
Se van probando divisores y se comprueba que x 1 es raíz:
1
1
1
6
11
6
1
5
6
5
6
0
Se divide de nuevo, esta vez por 2, y se comprueba que es raíz:
1
Se divide de nuevo, esta vez por 2, y se comprueba que es raíz: 2
Se divide de nuevo, esta vez por 2, y se comprueba que es raíz:
1
5
6
2
6
3
0
Por último, x 3 0, por lo que x 3 es raíz. Por tanto, las raíces son 1, 2 y 3.
86
4.77 Factoriza los siguientes polinomios e indica sus raíces.
d) S(x) x3 9x
a) P(x) x3 x2 6x
b) Q(x) x3 3x2 4x 12
e) T(x) x3 x2 4x 4
c) R(x) x3 6x2 12x 8
a) P(x) x3 x2 6x x (x 2) (x 3). Las raíces son: x 0, x 2 y x 3.
b) Q(x) x3 3x2 4x 12 (x 2) (x 2) (x 3). Las raíces son: x 2, x 2 y x 3.
c) R(x) x3 6x2 12x 8 (x 2)3. La raíz es: x 2 (triple).
d) S(x) x3 9x x (x 3) (x 3). Las raíces son: x 0, x 3 y x 3.
e) T(x) x3 x2 4x 4 (x 2) (x 1) (x 2). Las raíces son: x 1, x 2 y x 2.
PA R A
R E F O R Z A R
4.78 Rellena en tu cuaderno cada recuadro con el coeficiente adecuado.
x 1) (3x 5x ) x
x 2) (x x ) 4x
x ) (x x 2) 2x
a) (2x2 b) (3x4
3
c) (5x
2
2
4
2
4
3
2
3
2x 4
3x 3
3x2 3
a) (2x2 3x 1) (3x2 5x 3) x2 2x 4
b) (3x4 x 2) (7x4 4x 1) 4x4 3x 3
c) (5x3 4x2 1) (3x3 x2 2) 2x3 3x2 3
4.79 Dados los polinomios:
P(x) 3x2 x 1
Q(x) 2x2 5x 6
realiza las operaciones indicadas.
a) P(x) Q(x)
c) 2x P(x)
b) P(x) Q(x)
d) 5 P(x) 3 Q(x)
a) P(x) Q(x) x2 4x 5
b) P(x) Q(x) 5x2 6x 7
c) 2x P(x) 6x3 2x2 2x
d) 5 P(x) 3 Q(x) 15x2 5x 5 6x2 15x 18 21x2 20x 22
4.80 Saca factor común en estas expresiones.
a) 28a3 42a2 36a
a) 28a3 41a2 36a 2a (18a2 21a 14)
b) 3xy5 12xy4 3xy
b) 3xy5 12xy4 3xy 3xy (y4 4y3 1)
4.81 Desarrolla estas identidades notables.
b) (2a 5b3)2
a) (6x3 7x2)2
a) 36x6 49x4 84x5
b) 4a2 25b10 20ab5
c) (2xz2 t) (2xz2 t)
c) 4x2z4 t
4.82 Realiza la siguiente división.
(3x4 5x2 7x 6) : (x2 2x 8)
3x4 5x5 5x2 7x 6
3x4 6x3 24x2
6x3 29x2 7x
6x3 12x2 48x
3x5 17x2 41x 6
3x5 17x2 34x 136
3x5 2x4 75x 130
 x2 2x 8
3x2 6x 17
Cociente: 3x2 6x 17
Resto: 75x 130
87
4.83 Efectúa la siguiente división por Ruffini.
(2x6 5x4 3x2 x 21) : (x 1)
2
1
2
21
Cociente: 2x5 2x4 3x3 3x2 1
0
1
Resto de la división: 16
1
22
5
0
3
1
2
2
3
3
2
3
3
0
0
4.84 Escribe el dividendo, el divisor, el cociente y el resto de esta división.
3
0
4
5
2
0
1
3
1
3
Dividendo: 3x5 4x3 5x2 2x
0
4
5
2
0
3
3
7
12
14
Divisor: x 1
3
7
12
14
14
Cociente: 3x4 3x3 7x2 12x 14
Resto: 14
4.85 Utilizando la regla de Ruffini, averigua si x 3 es factor del polinomio P(x) x3 4x2 8x 15.
¿Tiene más factores dicho polinomio? ¿Por qué?
División por Ruffini:
1
3
1
4
8
15
3
3
15
1
5
0
Sí es factor del polinomio, ya que la división es exacta.
Para ver si tiene más factores, se prueba con el resto de divisores de 15, no quedando ninguna división entera, por lo que no
tiene más raíces enteras. Al resolver la ecuación de segundo grado, para comprobar si tiene raíces racionales o fraccionarias, esta
no tiene solución, por lo que el polinomio P(x) no tiene más raíces.
4.86 Halla el resto de las siguientes divisiones sin hacerlas.
b) (x33 1) : (x 1)
a) (x25 3x2 4) : (x 1)
a) P(x) x25 3x2 4
b) P(x) x33 1
Valor numérico: P(1) 1 3 4 6
Valor numérico: P(1) 1 1 2
Resto de la división: 6
Resto de la división: 2
4.87 Utiliza las identidades notables para desarrollar o para factorizar en cada caso las siguientes expresiones algebraicas.
c) (2x 3y)2
a) 16x2 4y2 16xy
b) 25z4y2 16x2b6
d) (5xy 2zt) (5xy 2zt)
a) 16x 4y 16xy (4x 2y)
c) (2x 3y)2 4x2 9y2 12xy
b) 25z4y2 16x2b6 (5z2y 4xb3) (5z2y 4xb3)
d) (5xy 2zt) (5xy 2zt) 25x2y2 4z2t2
2
2
2
4.88 Indica si los valores x1 2 y x2 1 son raíces del polinomio P(x) x5 x4 7x3 7x 6.
Para que sean raíces P(x) 0.
P(2) 32 16 56 14 6 10. Luego x1 2 no es raíz del polinomio.
P(1) = 1 1 7 7 6 4. Luego x2 1 no es raíz del polinomio.
4.89 Factoriza estos polinomios e indica sus raíces.
a) (x2 1) (x2 4x 4)
b) (x 7) (x2 11x 24)
d) x3 10x2 31x 30
e) x6 2x5 13x4 14x3 24x2
c) 3x3 9x2 6x
a) (x2 1) (x2 4x 4) (x 1) (x 1) (x 2)2. Raíces: 1, 1, 2 doble
b) (x 7) (x2 11x 24) (x 7) (x 8) (x 3). Raíces: 7, 8, 3
c) 3x3 9x2 6x x(x 1) (x 2). Raíces: 0, 1, 2
d) x3 10x2 31x 30 (x 5) (x 3) (x 2). Raíces: 5, 3, 2
e) x6 2x5 13x4 14x3 24x2 x2 (x 1) (x 3) (x 2) (x 4). Raíces: 0 doble, 1, 3, 2, 4
88
PA R A
A M P L I A R
4.90 Averigua el valor que debe tomar m para que el polinomio x3 (m 4)x2 2x (2m 1) sea divisible por x 1.
Para que sea divisible, el resto de la división debe ser 0:
1
m4
2
2m 1
1
m 5
m3
m5
m 3
m 4
1
1
Para que el resto sea 0: m 4.
4.91 ¿Por qué polinomio hemos dividido 6x3 4x2 3 para que el cociente de la división sea 6x2 28x 112,
y el resto, 445?
D(x) R(x)
Se utiliza la prueba de la división, despejando el divisor: D(x) d(x) C(x) R(x) ⇒ d(x) C(x)
3
2
2
3
2
(6x 4x 3) 445
(x 4) (3x 14x 56)
(3x 2x 224)
d(x) x 4
6x2 28x 112
3x2 14x 56
3x2 14x 56
4.92 Halla el polinomio de cuarto grado cuyo coeficiente principal es 3 y que tiene por raíces x1 1 (raíz doble), x2 2 y x3 4. Desarróllalo.
Si el polinomio tiene por raíces las dadas, se verifica la relación:
3(x 1)2 (x 2)(x 3) 3(x4 3x3 3x2 11x 6) 3x4 9x3 9x2 33x 18
4.93 Halla el polinomio de segundo grado que cumple estas tres condiciones.
— Su coeficiente principal es 5.
— Tiene como factor (x 3).
— El resto de su división entre (x 2) es 25.
Para calcular el polinomio utilizamos la regla de Ruffini para cada una de las divisiones:
5
a
–10
20 2a
5
10 a
20 2a b
2
b
Resto 25: 20 2a b 25
5
a
15
45 3a
5
15 a
45 3a b
3
b
Al ser divisible por 3: 45 3a b 0
Resolviendo el sistema de ecuaciones: a 10 y b 15.
Por tanto, el polinomio será: 5x2 10x 15.
4.94 Un polinomio de grado 3 es divisible por x 1, x 2 y x 3. Calcula ese polinomio sabiendo que el
coeficiente del término de grado 3 es 1.
Si el polinomio es divisible por los binomios dados, se verifica la relación:
(x 1)(x 2)(x 3) x3 6x2 11x 6 x3 6x2 11x 6
4.95 Una raíz r es múltiple cuando el factor (x r) aparece elevado a una potencia mayor que 1 en la
factorización del polinomio. Por ejemplo, en el polinomio (x 3)2 (x 1), x 3 es una raíz doble.
Halla las raíces de estos polinomios teniendo en cuenta que en alguno de ellos puede haber raíces múltiples.
a) P(x) x5 6x4 8x3
c) R(x) x5 9x3 4x2 12x
b) Q(x) x4 3x3 3x2 11x 6
d) S(x) x4 6x2 8x 3
a) P(x) x3 (x2 6x 8) x3 (x 4) (x 2)
c) R(x) x (x 2)2 (x 3) (x 1)
b) Q(x) (x 1)2 (x 3) (x 2)
d) S(x) (x 1)3 (x 3)
89
4.96 El largo de una caja mide 6 centímetros menos que el ancho, y la altura es 5 centímetros mayor que el largo.
El volumen de la caja es 0,36 dm3. ¿Cuáles son sus medidas? ¿Cuántas soluciones
posibles hay?
Sea x el ancho de la caja:
Largo: x 6
Altura: x 6 5 x 1
Por tanto: 0,36 103 280 x(x 6)(x 1) x3 7x2 6x
Se resuelve la ecuación de tercer grado para hallar las soluciones:
1
10
1
7
6
360
10
30
360
3
36
0
No tiene más raíces reales, por lo que x 10 y la caja mide 10 4 9 cm.
PA R A
I N T E R P R E TA R
Y
R E S O LV E R
4.97 Decorando la pared
Para decorar la pared del instituto, los alumnos deben realizar un graffiti.
La dirección del centro les indica las siguientes instrucciones:
El dibujo debe ubicarse en una pared cuadrada que hay a la entrada del instituto.
El dibujo debe estar centrado en la mencionada pared y dejando unos márgenes inferior y superior de 50 centímetros y
laterales de 20 centímetros.
a) Escribe la expresión algebraica que determina el área de
la zona pintada en función de la medida del lado de la
pared.
b) Determina entre qué valores, en metros cuadrados, varía la
mencionada área si la longitud del lado de la pared es mayor de 3 metros y menor de 4.
a) A (x 40) (x 100) x2 140x 4000 cm2
b) 300 x 400
3002 140 . 300 4000 A 4002 140 . 400 4000 ⇒ 52000 A 108000 en cm2
En m2 : 5,2 A 10,8
4.98 Buscando un polinomio
Juan, Alberto, Juanjo y Rocío proponen un juego a Diana: debe encontrar un polinomio de tercer grado, y para ello, cada uno le dará una pista. Sin embargo, una de las pistas y solo una será falsa.
“El término independiente del polinomio es 5, y el polinomio es divisible por x 3.”
“El coeficiente de mayor grado es 1, y si al polinomio se le suma una cantidad, el resultado es divisible
por x 1.”
“No solo eso. Si al polinomio se le suma esa misma cantidad, el resultado también es divisible por x 1.”
“¡Qué curioso, si al polinomio se le suma también esa cantidad, el resultado también es divisible por x 2!”
Diana responde que le falta una pista. “¡De acuerdo, te daré un dato más!”, le indica Rocío, “el principio de la pista falsa es verdad”.
Di cuál es la pista falsa y encuentra la expresión del polinomio. Comprueba que verifica las pistas verdaderas.
La pista de Juan es falsa, ya que si el término independiente vale 5, el polinomio no puede ser divisible por x 3 (3 no es divisor de 5).
Gracias a las otras tres pistas, se puede escribir:
P(x) k (x 1) (x 1) (x 2) x3 2x2 x 2 ⇒ P(x) x3 2x2 x (k 2)
Como el término independiente es 5, P(x) x3 2x2 x 5.
La cantidad que se suma es k 7, y efectivamente:
x3 2x2 x 5 7 x3 2x2 x 2 (x 1) (x 1) (x 2)
90
A U T O E VA L U A C I Ó N
4.A1 Los lados de una piscina rectangular miden a y b metros. ¿Qué expresiones algebraicas determinan su
perímetro y su área?
Las letras representan, de manera general, valores numéricos, por ejemplo, en el área de un rectángulo:
— Sus lados se expresan por a, b.
— Su perímetro será entonces: 2a 2b.
— Su área es a b ab.
4.A2 Simplifica las siguientes expresiones.
a) (7x2 5x 6) (2x2 8x 9)
b) (3x3 5x2 6x 4) (2x2 1)
a) 5x2 13x 15
b) 6x5 10x4 15x3 13x2 6x 4
4.A3 Calcula el valor numérico del siguiente polinomio para x1 2 y x2 1.
x3
P(x) 2(x2 1)
2
P(2) 4 2(4 1) 2
1
1
P(1) 2(1 1) 2
2
4.A4 Divide (3x3 2x2 7) : (x2 x 5).
3x3 2x2 5x 7  x2 x 5
3x3 3x2 15x 8 3x2 1
x2 15x 7
x2 x 5
14x 12
Resto
Cociente
4.A5 Divide usando la regla de Ruffini.
a) (3x3 6x2 2x 6) : (x 2)
b) (3x3 6x2 2x 6) : (x 2)
a)
b)
3
2
3
6
2
6
6
24
44
12
22
38
3
2
3
6
2
6
6
0
4
0
2
2
Cociente: 3x2 12x 22
Cociente: 3x2 2
Resto: 38
Resto: 2
4.A6 Sin hacer la división, indica el resto de la siguiente operación (x4 x2 7x 9) : (x 1):
Se aplica el teorema del resto: (1)4 (1)2 7(1) 9 14. El resto es 14.
4.A7 Desarrolla las siguientes identidades notables.
a) (10x 1)2
b) (5x2 4y)2
c) (3 2x) (3 2x)
a) (10x 1)2 100x2 20x 1
b) (5x2 4y)2 25x2 8xy 16y2
c) (3 2x) (3 2x) 9 4x2
91
4.A8 Calcula el valor que debe tener k para que el polinomio P(x) x5 kx x3 4x2 x 4 tenga como
factor (x 4).
Para que el polinomio sea divisible por 4 se tiene que cumplir:
1024
P(4) 0 1024 4k 64 64 4 4 ⇒ k 256
4
4.A9 ¿Es (x 1) un factor del polinomio x71 1? Razona tu respuesta.
Para que (x 1) sea factor del polinomio, este debe ser divisible entre 1, es decir, se tiene que cumplir que al sustituir la x
por 1 en el polinomio, este valga cero. Al sustituir, el polinomio vale 2, por lo que (x 1) no es factor.
4.A10 Factoriza los siguientes polinomios.
a) 2x3 14x 12
b) x4 x3 11x2 9x 18
Se buscan las raíces aplicando Ruffini, para poder escribir los polinomios como producto de factores.
a) Las raíces enteras son divisores de 12, es decir: 1, 2, 3, 4 o 12.
Se van probando divisores y se comprueba que x 1 es raíz:
2
1
2
0
14
12
2
2
12
2
12
0
Se divide de nuevo, esta vez por 2, y se comprueba que es raíz:
2
2
2
2
12
4
12
6
0
Por último, 2x 6 0, por lo que x 3 es raíz. Por tanto, las raíces son 1, 2 y 3.
2x3 14x 12 2(x 1)(x 2)(x 3)
b) Las raíces enteras son divisores de 18, es decir: 1, 2, 3, 6, 9 o 18.
Se van probando divisores y se comprueba que x 1 es raíz:
1
1
1
1
11
9
18
1
2
9
18
2
9
18
0
Se divide de nuevo, esta vez por 2, y se comprueba que es raíz:
1
2
1
2
9
18
2
0
18
0
9
0
Por último, x2 9 0, por lo que x 3 y x 3 son raíces. Por tanto, las raíces son 1, 2, 3 y 3.
x4 x3 11x2 9x 18 = (x 3) (x 3) (x 2) (x 1)
92
E N T R E T E N I D O
¡El área no se conserva!
Observa el cuadrado y el rectángulo.
Ambos están formados por las mismas piezas y, sin embargo, el cuadrado tiene 8 8 64 unidades de superficie, mientras que el rectángulo tiene 5 13 65 u2.
Parece que por arte de magia se ha creado de la nada un área de 1 u2. ¿Cómo es posible?
Construye materialmente este juego y trata de explicar qué ocurre.
Existen juegos matemáticos que solo pueden resolverse mediante una prueba u operando concretamente sobre ellos. Este es uno.
En realidad, también en este juego hay un truco: bastará con construir materialmente el juego para comprender que el asunto no cuadra.
El truco está en lo siguiente: los lados de los triángulos y de los dos trapecios no forman realmente una diagonal en el nuevo rectángulo;
en otras palabras, la que figura como diagonal del rectángulo no es una recta, sino una ilusión óptica creada por el gráfico. En realidad se
forma una figura especial, similar a la final, pero en la que el área del paralelogramo interno es exactamente de un cuadradito.
8
5
3
5
5
3
8
5
93