Potenciación: Es el resultado que se obtiene al multiplicar la base

Potenciación:
Es el resultado que se obtiene al multiplicar la base por si misma cuantas veces lo
indique el exponente: an = ( a )( a )( a ) . . .
53 = (5)(5)(5) = 125
BASE
POTENCIA
EXPONENTE
Base: Es el número que se multiplica por si mismo.
Exponente: Indica el número de veces que se toma como factor la base.
Potencia: Es el resultado de la operación.
Para el cálculo de potencias enteras de números racionales es necesario conocer
las propiedades o leyes de los exponentes.
am
 amn
n
a
m>n
am
an
am
 amn  a0  1
n
a
m =n
am
1
 nm
n
a
a
m <n
1.-Cuando dos potencias de la misma base se multiplican, sus exponentes se
suman.
Ejemplo:
( 32 ) ( 3 4 ) = 3 2 + 4 = 3 6
2. Cuando dos potencias de la misma base se dividen, es igual a la misma base y
se eleva a la diferencia de los exponentes, es decir, el del numerador menos
el del denominador.
Ejemplo:
36
32
=
36-2
=
34
3. Si una potencia se eleva a un exponente, se escribe la base elevada al producto
de los exponentes.
( 52 )3 = 5(2)(3) = 56
Ejemplo:
4. Si un término cualquiera formado por dos o más factores se eleva a un
exponente, éste afecta por igual a cada factor.
Ejemplos:
a)
( 3 x 8)2 = 32 x 82
2
3
b)
32
=
82
8
5. Si una cantidad está elevada a un exponente negativo, es igual a una fracción,
donde el numerador es la unidad y el denominador es la misma cantidad con
exponente positivo, como se muestra enseguida:
Ejemplos:
4-2 =
a n bm
.

b m a n
1
1

 53
3
1
5
53
1
;
42
6.-. Cualquier número elevado a la potencia cero es igual a la unidad
Ejemplo
25
 25  5  2 0  1
5
2
;
25
 1 ; 2 0 1
5
2
Radicación:
La radicación es la operación inversa a la potenciación.
82
=
64
=
64
8
Un radical, también puede expresarse en forma de una potencia de exponente
fraccionario, siendo la base de la potencia el radicando, el numerador del
exponente será el exponente del radicando, y el denominador el índice de la raíz.
Exponente del
Radicando
Radical
Índice
n
m
=
an
Exponente
fraccionario
am
Base
Radicando
7
3
Ejemplo:
5
x3  x 5
5 7  5 3
3
;
Reglas de los signos de radicación:
a) Si el índice es impar y el radicando es positivo, la raíz es única y positiva
3
64  4
7
;
128  2
b) Si el índice es impar y el radicando es negativo, la raíz es única y negativa
3
 64  4
;
9
 512  2
c) Si el índice es par y el radicando es positivo, existen dos raíces de igual valor
absoluto, pero de diferente signo
25a 4  5a 2
;
6
4096  4
d) Sí el índice es par y el radicando es negativo, no hay solución en el campo de
los números reales, ya que su resultado es visto en el campo de los números
imaginarios.
No hay solución en el campo de los números
reales, porque no existe un número que al
multiplicarse por si mismo nos de un resultado
igual a – 7.
7  i 7
Simplificación de radicales:
Simplificar un radical, significa escribirlo en su forma más simple. Ejemplo:
12
Simplificar
Solución:
Descomponer el 12 en sus factores primos:
12
6
3
1
2
2
3
Significa que 12 se puede escribir de la forma :
12 = 2 x 2 x 3 , esto es; 12 = 22 x 3
Cambiando la expresión de
=
=12
22 x 3
12
=
12
=
22
2
x
3
Ejemplo:
3
Simplificar
432
Solución: Se descompone en factores primos el número 432
432
216
108
54
27
9
3
1
2
2
2
2
3
3
3
3
Significa que 432 se puede escribir como: 432 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3, por la ley
de los exponentes podemos escribir esta expresión como: 432 = 2 4 x 33, como el
índice de la raíz es 3, entonces, escribimos esta expresión en función del índice de
la raíz: 432 = 23 x 2 x 33, esto es, que:
3
432  3 (23 )(2)(33 ) Efectuando las operaciones, se tiene:
3
(23 )(2)(33 )  (2)(3)3 2  63 2
Ejemplo:
Simplificar:
32
Expresamos la raíz de la raíz, en función de un solo radicando, es decir:
32 
4
32
=
Descomponiendo el 32 en 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 24 2
Se multiplican
los índices de
los radicales.
Por lo tanto:
4
32  4 24 (2)  24 2
OPERACIONES CON RADICALES.
SUMA Y RESTA DE RADICALES.
Para sumar o restar dos o más radicales, se suman o restan los radicales que
sean semejantes, es decir, aquellos que tengan el mismo radicando e índice.
Ejemplo 1.
Realizar la suma de los siguientes radicales
3  5 3  2 3  (1  5  2) 3  4 3
Ejemplo 2.
Realizar la suma de los siguientes radicales
a  4 a  2 b  5 b  (1  4) a  (2  5) b  5 a  7 b
Ejemplo 3.
Realizar la suma de los siguientes radicales
12  128  50  200
Para resolver este tipo de ejercicios primero se debe simplificar cada uno de los
radicales que intervienen en la suma.
12  4 * 3 = 2 3
128  64 * 2 = 8 2
50  25 * 2 = 5 2
200  100 * 2 = 10 2
Quedando la expresión de la siguiente manera.
2 3 + 8 2 + 5 2 + 10 2 = 2 3 + (8+5+10) 2 = 2 3 + 23 2
Observa que los radicales que no son semejantes se dejan indicados en la
operación.
Ejemplo 4.
Realizar la suma y la resta de los siguientes radicales.
3
24  3 192  3 81
Simplificando la expresión se obtiene:
3
24  3 23 (3) = 2 3 3
3
192  3 43 (3) = 4 3 3
3
81  3 33 (3) = 3 3 3
quedando la expresión de la siguiente manera:
2 3 3 - 4 3 3 + 3 3 3 = (2-4+3)
3
3 =
3
3
Ejemplo No. 5.
Realiza la siguiente suma y resta de radicales.
3 6 -5
2 + 4 24 + 2 3 128
3
=3 6 -5
3
= 3 6 -5
= 3
6 -5
2 +4
3
(4)(6) + 2
2 + 4(2)
3
2 +8
3
(64)(2)
6 + 2 (8)
6 + 16
3
3
2
2
= ( 3 + 8 ) 6 + ( - 5 + 16 ) 3 2
= 11
6 + 11
3
2
MULTIPLICACIÓN DE RADICALES.
En expresiones del mismo índice se multiplican los coeficientes del radical y los
radicandos conservando el misma índice del radical.
Ejemplo 1.
Realizar la siguiente multiplicación de radicales.
(4
5 )( 8
5 ) = ( 4)(8)
(5)(5) = 32
25 = (32)(5) = 160
Ejemplo 2.
Realizar la siguiente multiplicación de radicales.
(5
3 )( 6
2 ) = (5)(6)
(3)(2) = 30
6
En las expresiones de diferente índice o radicando: se aplica la siguiente ley de los
radicales.
(
n
a x )(
m
by ) =
nm
(a mx b ny )
Ejemplo 3.
Realizar la siguiente multiplicación de radicales.
( 1 2 )( 2
3
2 ) = ( 1)( 2)
( 2 )( 3)
2 =2
6
2
Ejemplo 4.
Realizar la siguiente multiplicación de radicales
( 2 3 24 )( 6
15
5
32 ) = ( 2)( 6)
( 3)( 5)
(2( 4)( 5) )(3(3)( 2) ) = 12
15
(220 )(36 ) = 12
(215 )(25 )(36 )
= ( 12)( 2) 15 (25 )(36 ) = 24
15
(32)(729) = 24
15
23328
Explica con tus propias palabras el principio o ley para multiplicar radicales con
diferente índice.
DIVISION DE RADICALES.
En las expresiones del mismo índice, se dividen los coeficientes de los radicales y
de los radicandos, conservando el mismo radical.
Ejemplo 1.
Realizar la siguiente división de radicales
6 14 6 14

2 2
3 7
3 7
Ejemplo 2.
Realizar la siguiente división de radicales
3

15
El resultado
3
1
1


5*3
5
5
1
se debe racionalizar, para ello, se multiplica el numerador y el
5
denominador por el radical del denominador.
Tomemos la expresión como ejemplo para racionalizar
(
1
5
)( ) 
5
5
5
5

5
25
El objetivo de racionalizar es que ningún radical debe quedar en el
denominador
Ejemplo 3.
3
7
Racionalizar la expresión
(3)(7)

(7)(7)
3
7
)( ) 
7
7
(
21
21

7
49
División de radicales con diferente índice o radicando.
Se transforman los radicales hasta obtener índices o radicandos comunes, se
dividen los coeficientes y los radicándoos, conservando el radical común y se
simplifica la expresión.
Ejemplo 4.
3
5
1/ 3
5
15
6 6
6
= 1/ 5 = 3 
2 2
2 15
15
6 5 15 7776 15

 972
8
23
65 / 15
Observa que las expresiones que tienen el mismo índice son, 3 / 15 , ahora
2
transformándola nuevamente a radical tendremos:
15
15
65
2
3
=
15
65
=
23
15
(2 5 )(35 )
=
23
15
(22 )(35 )  15 972
Otra forma de resolver radicales con diferente índice es aplicando la fórmula
siguiente:
n ax
m y
b
Ejemplo 5.
Resuelva la expresión:
 mn
a mx
bny
5
52
4
73
5( 4)( 2) 20 58 20
390625


 20 8.227908144 x108  0.442348411
( 5)( 3)
15
7
7
4.747561509 x1012
 (5)( 4)
Resuelve los siguientes ejercicios:
1.
2592
2.
3.
68
4.
5.
27
4
6.
1250
8.
4
1280
10.
3
7.
4
9.
3888
3
250
3
48
216
32
81
4158
EJERCICIOS. 6
1.-
3  2 3  7 3  10 3 
2.-
3.-
12  2 108  7 3  10 5  2 20 
4.
8
5.-
50

125
6.-
 3
7.-

9.-

3
5
2
3

4

6
5
5
4
8


5  2 3  7 5  10 3 
12
3

7

3
8.-
10.-

3  2 3 12 
3


3  2 3  7 3  10 3 