Matemáticas Avanzadas para Ingeniería: Números Complejos

Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Números
Complejos
Departamento
de
Matemáticas
Introducción
Igualdad
Matemáticas Avanzadas para Ingenierı́a:
Números Complejos
Suma y resta
Multiplicación
Representación
alternativa
Departamento de Matemáticas
Inversos
Propiedades 1
Costo
Conceptos
Propiedades 2
El plano C
Representacion
2
Potencias y
raı́ces
MA3002
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Números
Complejos
Departamento
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Introducción
Igualdad
Suma y resta
Multiplicación
Representación
alternativa
Inversos
Propiedades 1
Costo
Conceptos
Propiedades 2
El plano C
Representacion
2
Potencias y
raı́ces
Números Complejos
Los números complejos simbolizados por C son una
generalización de los números reales. Una generalización
algebraica muy interesante: Toda ecuación polinomial
cn z n + cn−1 z n−1 + · · · + c1 z + c0 = 0
con coeficientes complejos (aquı́ z representa la incógnita a
despejar (zahl significa número en alemán), los coficientes ci
representan números, posiblemente complejos, n es el grado de
la ecuación y cn 6= 0) tiene todas sus raı́ces en los números
complejos. Apesar de que los números complejos se les llama
imaginarios (término acuñado por Descartes en el siglo XVII) se
pueden utilizar con conveniencia para representar situaciones
muy reales en el área de la Ingenierı́a; inclusive en el diseño y
en la generación de imágenes fractales.
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Números
Complejos
Visiones alternativas
Departamento
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Introducción
Igualdad
Suma y resta
Veremos a los números complejos desde dos puntos de vista:
Multiplicación
• Desde el punto de vista algebraico
Representación
alternativa
• Desde el punto de vista geométrico
Inversos
Propiedades 1
Costo
Conceptos
Propiedades 2
El plano C
Representacion
2
Potencias y
raı́ces
Se suponen conocidas las propiedades de los números reales
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Números
Complejos
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Introducción
Igualdad
Suma y resta
Multiplicación
Representación
alternativa
Inversos
Propiedades 1
Visión algebraica
Los números complejos se pueden definir como pares ordenados
de números reales z = (a, b)
• Los números (a, 0) se suelen identificar como los números
reales.
• Los números (0, b) se suelen llamar como imaginarios
puros.
• Se dice que a es la parte real de z, y b es la parte
imaginaria de z.
Costo
Conceptos
Propiedades 2
El plano C
Representacion
2
Potencias y
raı́ces
a = Re(z)
b = Im(z)
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Números
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Igualdad entre números
complejos
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Introducción
Igualdad
Suma y resta
Multiplicación
Representación
alternativa
Inversos
Propiedades 1
Costo
Conceptos
Propiedades 2
El plano C
Representacion
2
Potencias y
raı́ces
Sean z1 = (a1 , b1 ) y z2 = (a2 , b2 ) dos números complejos.
Diremos que z1 es igual a z2 , representado como z1 = z2 , si y
sólo si a1 = a2 y b1 = b2 .
Ejemplo Determine los valores de a y de b para que
z1 = (2 a + b, b − 1) = z2 = (a + 3 b + 1, a + 3 b).
De la definición se requiere que
2a + b = a + 3b + 1
a
=0
de allı́ que
b − 1 = a + 3b
b = −1/2
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Introducción
Igualdad
Suma y resta
Multiplicación
Representación
alternativa
Sean z1 = (a1 , b1 ) y z2 = (a2 , b2 ) dos números complejos.
• La suma de z1 y z2 , z1 + z2 , es el número complejo
z1 + z2 = (a1 + a2 , b2 + b2 )
Ejemplo: Si z1 = (3, 4) y z2 = (−2, 5), entonces
z1 + z2 = (3 − 2, 4 + 5) = (1, 9)
• La resta de z2 a z1 , z1 − z2 es el número complejo
Inversos
Propiedades 1
z1 − z2 = (a1 − a2 , b2 − b2 )
Costo
Conceptos
Propiedades 2
El plano C
Representacion
2
Potencias y
raı́ces
Ejemplo: Si z1 = (3, 4) y z2 = (−2, 5), entonces
z1 − z2 = (3 − (−2), 4 − (5)) = (5, −1)
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Introducción
Igualdad
Suma y resta
Multiplicación
Representación
alternativa
Inversos
Propiedades 1
Costo
Conceptos
Propiedades 2
El plano C
Representacion
2
Potencias y
raı́ces
Sean z1 = (a1 , b1 ) y z2 = (a2 , b2 ) dos números complejos. La
mutiplicación de z1 con z2 es el número complejo
z1 · z2 = (a1 · a2 − b1 · b2 , a1 · b2 + b1 · a2 )
Ejemplo: Si z1 = (3, 4) y z2 = (−2, 5), entonces
z1 · z2 = ((3)(−2) − (4)(5), (3)(5) + (4)(−2)) = (−26, 7)
En particular:
• (x, 0) + (y , 0) = (x + y , 0)
• (x, 0) · (y , 0) = (x y , 0)
• (1, 0) · (x, y ) = (x, y )
Ası́ el sistema de los números complejos es una extensión
natural de los números reales si pensamos que el número (x, 0)
es el número real x. Donde el número (1, 0) se comporta como
la identidad multiplicativa.
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Introducción
Igualdad
Suma y resta
Multiplicación
Representación
alternativa
Inversos
Como (y , 0) · (0, 1) = (0, y ), entonces:
(x, y ) = (x, 0) + (y , 0) · (0, 1)
Si denotamos a (0, 1) como el sı́mbolo i y a los números de la
forma (a, 0) como simplemente a, entonces podemos reescribir
al número complejo z = (x, y ) en la forma
z = (x, y ) = x + y i
Y también tendremos:
Propiedades 1
Costo
i ·i = (0, 1)·(0, 1) = (0−(1)(1), (0)(1)+(0)(1)) = (−1, 0) = −1
Conceptos
Propiedades 2
El plano C
Representacion
2
Potencias y
raı́ces
De manera que el álgebra de números complejos se reduce al
algebra simple usando que i 2 = −1.
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Matemáticas
Ejemplo
Clasifique los siguiente números:
(a)
(c)
(e)
(g )
Introducción
Igualdad
Suma y resta
Multiplicación
Representación
alternativa
1
Número real
Costo
2
Imaginario puro
Conceptos
3
Número complejo
Propiedades 2
El plano C
Representacion
2
Potencias y
raı́ces
(b) 2 − 72 i
(d) 8
(f ) π
(h) 21 − 8 i
de acuerdo a la mejor categorı́a donde se pueden colocar:
Inversos
Propiedades 1
2 + 3i
5i
−4
√ + 8i
−4
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Departamento
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Matemáticas
Ejemplo
Clasifique los siguiente números:
(a)
(c)
(e)
(g )
Introducción
Igualdad
Suma y resta
Multiplicación
Representación
alternativa
2 + 3i
5i
−4
√ + 8i
−4
(b) 2 − 72 i
(d) 8
(f ) π
(h) 21 − 8 i
de acuerdo a la mejor categorı́a donde se pueden colocar:
Inversos
1
Número real (d),(f )
Costo
2
Imaginario puro (c),(g )
Conceptos
3
Número complejo (a),(b),(e),(h)
Propiedades 1
Propiedades 2
El plano C
Representacion
2
Potencias y
raı́ces
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Números
Complejos
Ejemplo
Departamento
de
Matemáticas
Introducción
Igualdad
Suma y resta
Multiplicación
Representación
alternativa
Inversos
Propiedades 1
Costo
Conceptos
Propiedades 2
El plano C
Representacion
2
Potencias y
raı́ces
Realice el producto de z1 = 2 − 4 i con z2 = −2 + 2 i usando la
nueva notación:
z1 · z2 =
=
=
=
=
(2 − 4 i) · (−2 + 2 i)
(2)(−2) + (2)(2 i) + (−4 i)(−2) + (−4 i)(2 i)
−4 + 4 i + 8 i − 8 i 2
−4 + 12 i − 8(−1)
4 + 12 i
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Inversos multiplicativos
Considere el número complejo z = a + b i y supongamos que se
cumple que a2 + b 2 6= 0. Definamos el número complejo
Introducción
Igualdad
z2 =
Suma y resta
a2
b
a
− 2
i
2
+b
a + b2
Multiplicación
Representación
alternativa
Inversos
Ası́
2
Propiedades 1
Costo
Conceptos
Propiedades 2
El plano C
Representacion
2
Potencias y
raı́ces
= a2a+a2 −
= 1
a
b
− a2 +b
2
a2 +b 2
b2
a2 +b 2
2
i = a2 +a2
a2 +a2
z1 · z2 = (a + b i) ·
i
Es decir, que todo número complejo z = a + b i, diferente de 0
= (0,0), posee un inverso multiplicativo.
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Matemáticas
Introducción
Ejemplo
Igualdad
Realice las siguientes operaciones con números complejos
Suma y resta
Multiplicación
Representación
alternativa
Inversos
Propiedades 1
Costo
Conceptos
Propiedades 2
El plano C
Representacion
2
Potencias y
raı́ces
• (4 + 3 i) + 3(2 − 7 i)
• (2 − 7 i) · (−2 + 3 i)
• (5 − 3 i)2
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Matemáticas
Introducción
Igualdad
Suma y resta
Multiplicación
Representación
alternativa
Inversos
Ejemplo
Realice las siguientes operaciones con números complejos
• (4 + 3 i) + 3(2 − 7 i) = 4 + 6 + (3 − 21) i
• (2 − 7 i) · (−2 + 3 i)
=
=
=
=
(2)(−2) + (2)(3)i + (−7)(−2)i + (−7)(3)i2
−4 − 21i2 + ((−7)(−2) + (2)(3))i
−4 + 21 + (14 + 6)i
17 + 20 i
• (5 − 3 i)2
Propiedades 1
Costo
Conceptos
Propiedades 2
El plano C
Representacion
2
Potencias y
raı́ces
=
=
=
=
(5)2 + 2 (5) (−3 i) + (−3)2 (i)2
25 − 30 i + (9)(−1)
25 − 9 − 30 i
16 − 30 i
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Introducción
Igualdad
Propiedades del álgebra de los números complejos:
• La suma es asociativa:
z1 + (z2 + z3 ) = (z1 + z2 ) + z3
• La suma es conmutativa:
z1 + z2 = z2 + z1
• El elemento 0 = (0, 0) = 0 + 0 i es el neutro de la suma:
0 + z1 = z1 + 0 = z1
Suma y resta
• Cada complejo tiene su inverso aditivo: Si z1 = a + b i
Multiplicación
entonces z1 + (−a − b i) = (a + b i) + (−a − b i) =
(a − a) + (b − b) i = 0 + 0 i = 0
Representación
alternativa
Inversos
Propiedades 1
Costo
Conceptos
Propiedades 2
El plano C
Representacion
2
Potencias y
raı́ces
• La multiplicación es asociativa:
z1 · (z2 · z3 ) = (z1 · z2 ) · z3
• La multiplicación es conmutativa:
z1 · z2 = z2 · z1
• La multiplicación se distribuye sobre la suma:
z1 · (z2 + z3 ) = z1 · z2 + z1 · z3
• Existencia de identidades: (0, 0) + z1 = z1 y (1, 0) · z1 = z1
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Introducción
Igualdad
Suma y resta
La existencia del inversos multiplicativos nos capacita para
decir que
z1 · z2 = 0 → z1 = 0 ó z2 = 0
La división por un numero complejo diferente de cero puede ser
calculada como:
Multiplicación
Representación
alternativa
Inversos
Propiedades 1
Costo
Conceptos
Propiedades 2
El plano C
Representacion
2
Potencias y
raı́ces
z1 /z2 = z1 · z2
−b2
2
= (a1 , b1 ) · a2a+b
,
2
2
2
2
2 a2 +b2
a1 a2 +b1 b2 b1 a2 −a1 b2
=
, a2 +b2
a2 +b 2
2
2
2
2
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Departamento
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Introducción
Igualdad
Note que
• para hacer
(x + y i) · (a + b i) = (x · a − y · b) + (x · b + y · a) i
se requieren 4 multiplicaciones y 2 sumas/restas: es decir,
6 operaciones para un producto.
• para obtener
Suma y resta
Multiplicación
Representación
alternativa
Inversos
Propiedades 1
Costo
(x + y i)−1 =
x2
x
y
− 2
i
2
+y
x + y2
se requieren 2 multiplicaciones, 1 suma y 2 divisiones: es
decir, 5 operaciones para un inverso multiplicativo.
• para calcular
Conceptos
Propiedades 2
El plano C
Representacion
2
Potencias y
raı́ces
a+bi
b·x −a·y
a·x +b·y
=
+
i
x +yi
x2 + y2
x2 + y2
se requieren 6 productos, 3 sumas/restas y 2 divisiones; es
decir, 11 operaciones aritméticas para una división.
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Departamento
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Matemáticas
Introducción
Igualdad
Suma y resta
Multiplicación
Representación
alternativa
Inversos
Propiedades 1
Costo
Conceptos
Propiedades 2
El plano C
Representacion
2
Potencias y
raı́ces
Considere el número complejo z = x + y i. Se define el módulo
de z como:
p
|z| = x 2 + y 2
En términos geométricos, el módulo de z es la distancia desde
el punto z = (x, y ) al origen. El conjugado de z es el número
complejo:
z =x −yi
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Números
Complejos
Propiedades del módulo y del conjugado:
Departamento
de
Matemáticas
• z1 ± z2 = z1 ± z2
• z1 · z2 = z1 · z2
Introducción
Igualdad
• zz1 = zz1
2
2
Suma y resta
• |z1 · z2 | = |z1 | · |z2 |
Multiplicación
Representación
alternativa
Inversos
1|
• zz1 = |z
|z2 |
2
• z · z = |z|2
Propiedades 1
• |z1 ± z2 | ≤ |z1 | + |z2 |
Costo
• |z1 ± z2 | ≥ ||z1 | − |z2 ||
Conceptos
Propiedades 2
El plano C
Representacion
2
Potencias y
raı́ces
z−z
• Re z = z+z
2 y Im z = 2 i
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Departamento
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Matemáticas
Introducción
Igualdad
El plano complejo
Es común representar a los números complejos gráficamente en
un plano llamado el plano complejo. Esto es idéntico a una
representación cartesiana tradicional cuya diferencia es que al
eje y se le llama el eje imaginario y al eje x se le llama el eje
real:
Suma y resta
Eje imaginario
Multiplicación
Representación
alternativa
Inversos
y
Propiedades 1
z =x +yi
|z|
Costo
Conceptos
Propiedades 2
El plano C
Representacion
2
Potencias y
raı́ces
Eje real
x
z̄ = x − y i
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Números
Complejos
Departamento
de
Matemáticas
Introducción
Igualdad
Suma y resta
Ejemplo
Relacione los siguientes números complejos con sus
correspondientes representaciones el el plano complejo:
(a) 2 + 1 i (b) −2 − i
(c) −2 + i (d) 2 i
(e) −2
Multiplicación
Representación
alternativa
D
Inversos
Propiedades 1
N
I
C
H
Costo
Conceptos
Propiedades 2
El plano C
Representacion
2
Potencias y
raı́ces
o
K
L
A
F
B
M
E
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Complejos
Departamento
de
Matemáticas
Introducción
Igualdad
Suma y resta
Ejemplo
Relacione los siguientes números complejos con sus
correspondientes representaciones el el plano complejo:
(b) −2 − i→ A
(d) 2 i→ N
(a) 2 + 1 i→ H
(c) −2 + i→ C
(e) −2→ K
Multiplicación
Representación
alternativa
D
Inversos
Propiedades 1
N
I
C
H
Costo
Conceptos
Propiedades 2
El plano C
Representacion
2
Potencias y
raı́ces
o
K
L
A
F
B
M
E
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Números
Complejos
Notación Alternativa de x + y i
• Notación de par ordenado:
Departamento
de
Matemáticas
Introducción
(x, y )
• Notación CIS
Igualdad
Suma y resta
r cis(θ) = r (cos(θ) + i sen(θ))
Multiplicación
Representación
alternativa
Inversos
• Representación trigonométrica o polar
z = r · eθ i
Propiedades 1
Costo
• Representación Matricial
Conceptos
Propiedades 2
El plano C
Representacion
2
Potencias y
raı́ces
x +yi=
x
y
−y
x
r es el módulo de z y θ es el argumento.
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Complejos
Departamento
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Matemáticas
Introducción
Igualdad
Suma y resta
Multiplicación
Representación
alternativa
Inversos
Propiedades 1
Costo
Conceptos
Propiedades 2
El plano C
Representacion
2
Potencias y
raı́ces
Potencias y Raı́ces
Las potencias y las raı́ces de un número complejo son fáciles de
calcular cuando el complejo está en su notación polar:
n
r · e θ i = r n · e n·θ i
√
n
r · eθ i =
√
n
θ
r ·en i
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Departamento
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Matemáticas
Introducción
Potencias y Raı́ces
Las potencias y las raı́ces de un número complejo son fáciles de
calcular cuando el complejo está en su notación polar:
n
r · e θ i = r n · e n·θ i
Igualdad
Suma y resta
Multiplicación
Representación
alternativa
Inversos
Propiedades 1
Costo
Conceptos
√
n
r · eθ i =
Representacion
2
Potencias y
raı́ces
θ
r ·en i
Todas las raı́ces de una número complejo z = r CIS(θ) pueden
ser calculadas por la fórmula:
√
θ + 2k π
n
zk = r CIS
para k = 0, 1, . . . , n − 1
n
Propiedades 2
El plano C
√
n
A zk=0 se le llama raı́z principal.
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Introducción
Igualdad
Suma y resta
Multiplicación
Representación
alternativa
Ejemplo
√
Si z = (1 + 2 i)4 calcule z 4 y la raı́z√principal de 5 z.
Usamos que el módulo de z es r = 5 ≈ 2.2360 y que el
argumento es θ = tan−1 ( 21 ) ≈ 1.10714 radianes y aplicamos la
fórmula anterior:
4
(1 + 2 i)4 ≈ 2.2360e 1.10714 i
≈ 2.23604 e 4×1.10714 i
≈ 25 e 4.4285 i
≈ 25 cos(4.4285) + 25 sen(4.4285) i
≈ −6.99999 − 24 i
Inversos
Propiedades 1
Costo
Conceptos
Propiedades 2
El plano C
Representacion
2
Potencias y
raı́ces
√
5
1 + 2i ≈
≈
≈
≈
≈
√
5
2.2360e 1.10714 i
√
1.10714
5
2.2360 e 5 i
1.1746 e 0.22142 i
1.1746 cos(0.22142) + 1.1746 sen(0.22142) i
1.14593 + 0.25797 i
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Números
Complejos
Departamento
de
Matemáticas
Ejercicios
Introducción
• Si |z| < 1, entonces Im 1 − z + z 2 < 3
Igualdad
• Si |z| = 2, entonces:
Suma y resta
1
1
z4 − 4 z2 + 3 ≤ 3
Multiplicación
Representación
alternativa
Inversos
Propiedades 1
Costo
Conceptos
Propiedades 2
El plano C
Representacion
2
Potencias y
raı́ces
• Pruebe que la hipérbola x 2 − y 2 = 1 puede escribirse
como z 2 + z 2 = 2.
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Números
Complejos
Departamento
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Matemáticas
Introducción
Igualdad
Suma y resta
Multiplicación
Representación
alternativa
Inversos
Propiedades 1
Costo
Conceptos
Propiedades 2
El plano C
Representacion
2
Potencias y
raı́ces
Ejercicio
Encuentre todas las raı́ces de z 3 = 1.
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Complejos
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Introducción
Igualdad
Suma y resta
Multiplicación
Representación
alternativa
Inversos
Propiedades 1
Costo
Conceptos
Propiedades 2
El plano C
Representacion
2
Potencias y
raı́ces
Ejercicio
Encuentre todas las raı́ces de z 3 = 1. Directamente de la
fórmula:
• Para k = 0: z0 = 1
√
• Para k = 1: z1 = 1 · CIS 23π = − 12 + 23 i
√
• Para k = 2: z2 = 1 · CIS 43π = − 12 − 23 i