ECUACIONES DE 2º GRADO

Ecuaciones de 2º grado
ECUACIONES DE
2º GRADO
1.
ECUACIONES DE 2O GRADO CON UNA INCÓGNITA ............................ 2
1.1.
Incompletas ......................................................................................................... 2
1.1.1.
ax2 + c = 0 ..................................................................................................... 2
1.1.2.
ax2 + bx = 0................................................................................................... 2
1.2.
Completas ax2 + bx + c = .................................................................................... 3
2. DISCUSIÓN DE LAS SOLUCIONES DE LA ECUACIÓN DE SEGUNDO
GRADO. ............................................................................................................. 3
3. PROPIEDADES DE LAS SOLUCIONES DE LA ECUACIÓN DE 2O
GRADO. SUMA Y PRODUCTO DE SOLUCIONES. ......................................... 4
4.
FORMA CANÓNICA DE UNA ECUACIÓN DE 2O GRADO. ...................... 4
5.
ECUACIONES FRACCIONARIAS. ............................................................ 5
6.
ECUACIONES XM = A................................................................................. 7
7.
ECUACIONES BICUADRADAS. TRINÓMICAS AX2M+BXM+C=0. ............ 7
8.
ECUACIONES IRRACIONALES ................................................................ 9
9.
PROBLEMAS DE 2O GRADO. ................................................................. 11
1
Ecuaciones de 2º grado
1. Ecuaciones de 2o grado con una incógnita
1.1.
Incompletas
1.1.1. ax2 + c = 0
Las ecuaciones de este tipo se resuelven despejando directamente x2 para luego
obtener el valor de x extrayendo la raíz cuadrada.
ax2 + c = 0
ax2 = - c
x2 = -c/a
c
x=± −
a
La ecuación tendrá solución real siempre y cuando −
c
≥ 0 , es decir, que el radicando
a
sea positivo.
Ejemplos:
8
⇒ x = ± 4 ⇒ x = ±2 Dos soluciones reales
2
4
4
b) 3 x 2 + 4 = 0 ⇒ 3 x 2 = −4 ⇒ x 2 = − ⇒ x = ± − Sin solución real.
3
3
a) 2 x 2 − 8 = 0 ⇒ 2 x 2 = 8 ⇒ x 2 =
1.1.2. ax2 + bx = 0
En estas ecuaciones es nulo el término independiente. Se resuelven extrayendo x en
factor común:
ax 2 + bx = 0
x(ax + b) = 0
Como estamos ante un producto de dos factores que da cero las soluciones de la
ecuación serán los valores que anulen estos factores.
x=0

ax + b = 0 ⇒ x = − b

a
Ejemplo:
x=0

5
a) 3 x − 5 x = 0 ⇒ x(3x − 5) = 0 ⇒ 
3x − 5 = 0 ⇒ x =

3
2
2
Ecuaciones de 2º grado
1.2.
Completas ax2 + bx + c =
Vamos a desarrollar ahora la solución para la forma más general.
ax 2 + bx + c = 0
Multiplicamos por 4a a ambos lados de la ecuación
4a (ax 2 + bx + c) = 0
4a 2 x 2 + 4abx + 4ac = 0
Sumamos b 2 a ambos lados de la ecuación
4a 2 x 2 + 4abx + 4ac + b 2 = b 2
Pasamos 4ac al otro lado:
4a 2 x 2 + 4abx + b 2 = b 2 − 4ac
Ahora el miembro izquierdo de la ecuación es un producto notable:
(2ax + b) 2 = b 2 − 4ac
Ahora se trata de despejar x
2ax + b = ± b 2 − 4ac
2ax = −b ± b 2 − 4ac
x=
− b ± b 2 − 4ac
2a
2. Discusión de las soluciones de la ecuación de
segundo grado.
El número y el tipo de soluciones que tenga la ecuación de segundo grado depende
del valor, y más concretamente del signo de la expresión b 2 − 4ac . Por esta razón se le
llama discriminante y su símbolo es ∆ = b 2 − 4ac .
•
•
•

−b+ ∆
 x1 =
2a
Si ∆ >0 la ecuación tiene dos soluciones reales: 
x = − b − ∆
 2
2a
Si ∆ =0 la ecuación tiene una única solución que se denomina solución doble o de
b
multiplicidad dos x1 = x 2 = −
2a
Si ∆ <0 la ecuación no tiene soluciones reales. Estas soluciones se llaman
imaginarias o complejas.
3
Ecuaciones de 2º grado
3. Propiedades de las soluciones de la ecuación de 2o
grado. Suma y producto de soluciones.
Suma de las soluciones:
x1 + x 2 =
− b + b 2 − 4ac − b − b 2 − 4ac − 2b
b
+
=
=−
2a
2a
2a
a
Producto de las soluciones:
x1 ⋅ x 2 =
− b + b 2 − 4ac − b − b 2 − 4ac b 2 − (b 2 − 4ac) 4ac c
⋅
=
= 2 =
a
2a
2a
4a 2
4a
b
a
c
p = x1 ⋅ x 2 =
a
s = x1 + x 2 = −
4. Forma canónica de una ecuación de 2o grado.
La forma canónica de una ecuación es aquella en la que el coeficiente del término de
segundo grado es uno. Cualquier ecuación de segundo grado reducida a la forma general
ax 2 + bx + c = 0 puede expresarse en forma canónica.
Dividimos los dos término de la ecuación por a:
ax 2 + bx + c 0
=
a
a
a 2 b
c
x + x+ =0
a
a
a
c
 b
x 2 −  − x + = 0
a
 a
x 2 − sx + p = 0
La ecuación canónica es:
x 2 − sx + p = 0
Aplicaciones de la forma canónica:
•
Hallar dos números conociendo su suma y su producto
Se plantea la ecuación x 2 − sx + p = 0 y se resuelve la ecuación de 2º grado.
4
Ecuaciones de 2º grado
Ejemplo:
Halla dos números cuya suma es 2 y su producto –15.
 2 + 8 10
=
=5
2
±
4
−
4
⋅
(
−
15
)

2
±
8
2
x 2 − 2 x − 15 = 0 ⇒ x =
=
= 2
2−8 −6
2
2

=
= −3
 2
2
Escribir una ecuación de segundo grado si se conocen sus raíces.
Ejemplo:
Halla la ecuación de 2º grado cuyas raíces son 4 y –7
s = 4 + (−7) = −3 , p = 4 ⋅ (−7) = −28 ⇒ x 2 − (−3) x + (−28) = 0 ⇒ x 2 + 3x − 28 = 0
Demostración de la descomposición factorial de un trinomio de segundo grado.
Partimos de la ecuación canónica
x 2 − sx + p = 0
Multiplicamos a ambos lados por a para tener el trinomio completo de 2º grado:
a ( x 2 − sx + p ) = 0 ⋅ a
Sustituimos s y p por su valor:
a( x 2 − sx + p) = 0 ⇒ a( x 2 − x( x1 + x 2 ) + x1 ⋅ x 2 ) = 0
Aplicamos la propiedad distributiva:
a ( x 2 − xx1 − xx 2 + x1 x 2 ) = 0
Sacamos doble factor común sacando x y x2 en la 1ª extracción y x-x1 en la 2ª
a ( x( x − x1 ) − x 2 ( x − x1 )) ⇒ a ( x − x1 )( x − x 2 )
ax 2 + bx + c = a ( x − x1 )( x − x 2 )
5. Ecuaciones fraccionarias.
Las ecuaciones fraccionarias o racionales son aquellas en las que la incógnita
aparece en los denominadores o con exponentes negativos (a − n = 1 a n ) .
Resolución:
1) Se saca común denominador a todos los términos de la ecuación. Si previamente
se pueden simplificar algunos términos es conveniente hacerlo.
2) Se eliminan denominadores
3) Se resuelve la ecuación resultante que puede ser de 1er grado o de 2o grado.
5
Ecuaciones de 2º grado
Comprobar siempre que las soluciones obtenidas no anulan los denominadores de la
ecuación original. Basta con comprobar que no anulan el común denominador obtenido
en el 1er paso.
Ejemplo:
Resuelve
1)
3
x
−
=2
x +1 x −1
m.c.m( x + 1, x − 1) = x 2 − 1 los valores 1 y –1 no podrán ser las soluciones de la
ecuación porque anulan los denominadores.
3( x − 1) x( x + 1) 2( x 2 − 1)
=
− 2
x2 −1
x −1
x2 −1
2) Eliminamos denominadores
3( x − 1) − x( x + 1) = 2( x 2 − 1)
3) Resolvemos la ecuación de segundo grado resultante
3x − 3 − x 2 − x = 2 x 2 − 2
0 = 3x 2 − 2 x + 1
2 ± 4 − 4⋅3 2 ± −8
=
6
6
Sin solución real.
x=
Hay algunas ecuaciones fraccionarias que se pueden resolver aplicando el principio de
equivalencia de fracciones, conocido comúnmente como productos cruzados:
a c
= ⇔ a⋅d = b⋅c
b d
Este principio se puede aplicar siempre y cuando logremos enfrentar dos fracciones
algebraicas.
Ejemplo:
12
= x + 3:
x−3
Pasamos el dos a la derecha y conseguimos enfrentar dos fracciones:
12
= x + 1 ⇒ 12 = ( x + 1)( x − 3) ⇒ 12 = x 2 − 3 x + x − 3 ⇒ 0 = x 2 − 2 x − 15
x−3
2 ± 4 − 4 ⋅ 1 ⋅ (−15) 2 ± 8  5
=
=
x=
2
2
− 3
Resuelve 2 +
Ejemplo:
Resuelve:
4 x 12
+ =
x 2 x
6
Ecuaciones de 2º grado
x 12 4
x 8
=
− ⇒ = ⇒ x 2 = 16 ⇒ x = ± 16 = x = ±4
2 x x
2 x
6. Ecuaciones xm = a.
Las ecuaciones de la forma x m = a se llaman ecuaciones binómicas. Ya hemos
visto un Ejemplo de este tipo de ecuaciones al estudiar la incompleta de 2º grado
ax 2 + c = 0 .
La solución de las ecuaciones binómicas es la raíz m-ésima de a:
m
a.
Hay tres casos posibles:
1) Si m es par y a positivo hay dos soluciones reales y opuestas ± m a
Ejemplo: x 4 = 16 ⇒ x = ± 4 16 = ±2
2) Si m es par y a negativo, no hay soluciones reales.
Ejemplo: x 2 = −3 ⇒ x = ± − 3 ∉ R
3) Si m es impar la ecuación tiene una solución real del mismo signo que el
radicando
 x 3 = −27 ⇒ x = 3 − 27 = −3
Ejemplos: 
5
5
 x = 32 ⇒ x = 32 = 2
7. Ecuaciones bicuadradas. Trinómicas ax2m+bxm+c=0.
Ecuaciones bicuadradas son las que se pueden reducir a la forma:
ax 4 + bx 2 + c = 0
Se resuelven mediante un cambio de variable. Si hacemos x 2 = t la ecuación se
transforma en una ecuación de 2º grado:
at 2 + bt + c = 0
Resolviendo la ecuación obtendremos los valores
t1 =
− b + b 2 − 4ac
2a
− b − b 2 − 4ac
t2 =
2a
Para encontrar las soluciones de la ecuación original hay que deshacer el cambio de
variable (ecuación binómica):
7
Ecuaciones de 2º grado
 x = t1
x 2 = t1 ⇒ x = ± t1 ⇒  1
 x 2 = − t1
 x = t 2
x 2 = t2 ⇒ x = ± t2 ⇒  3
 x 4 = − t 2
Con un cambio de variable similar se resuelve cualquier tipo de ecuación trinómica
del tipo:
ax 2 m + bx m + c = 0
x m = t ⇒ at 2 + bt + c = 0
Bicúbicas: ax 6 + bx 3 + c = 0
Biquintas: ax 10 + bx 5 + c = 0
Ejemplo 1:
Resuelve la ecuación: x 4 − 5 x 2 + 4 = 0
Hacemos el cambio de variable x 2 = t ⇒ t 2 − 5t + 4 = 0
Resolvemos la ecuación resultante
5 ± 25 − 16 5 ± 3 4
t=
=
=
2
2
1
Deshacemos el cambio de variable:
x 2 = 4 ⇒ x = ± 4 = ±2
x 2 = 1 ⇒ x = ± 1 = ±1
En este caso como t1 y t2 son positivos se obtienen 4 raíces reales
Ejemplo 2:
Resuelve x 4 − 5 x 2 − 36 = 0
Hacemos el cambio de variable x 2 = t ⇒ t 2 − 5t − 36 = 0
Resolvemos la ecuación resultante:
5 ± 25 − 4 ⋅ (−36) 5 ± 13  t1 = 9
=
=
2
2
t 2 = −4
Deshacemos el cambio de variable:
t=
x 2 = 9 ⇒ x = ± 9 = ±3
x 2 = −4 ⇒ x = ± − 4 No solución real
Como uno de los valores obtenidos de t es negativo, la ecuación sólo tiene dos
soluciones reales
8
Ecuaciones de 2º grado
Ejemplo 3:
Resuelve x 4 + 5 x 2 + 4 = 0
Hacemos el cambio de variable x 2 = t ⇒ t 2 + 5t + 4 = 0
Resolvemos la ecuación resultante:
− 5 ± 25 − 16 − 5 ± 3 t1 = −4
=
=
2
2
t 2 = −1
Deshacemos el cambio de variable:
t=
x 2 = −4 ⇒ x = ± − 4 No solución real
x 2 = −1 ⇒ x = ± − 1 No solución real
En este caso los dos valores de t son negativos y la ecuación no tiene solución real.
Ejemplo 4 (bicúbicas):
Resuelve la ecuación x 6 − 7 x 3 − 8 = 0
Hacemos el cambio de variable x 3 = t ⇒ t 2 − 7t − 8 = 0
Resolvemos la ecuación resultante:
t=
7 ± 49 − 4 ⋅ (−8) 7 ± 9  t1 = 8
=
=
2
2
t 2 = −1
Deshacemos el cambio de variable:
x3 = 8 ⇒ x = 3 8 = 2
x 3 = −1 ⇒ x = 3 − 1 = −1
8. Ecuaciones irracionales
Son ecuaciones irracionales aquellas en las que la incógnita aparece bajo el signo
radical.
La resolución de estas ecuaciones se basa en el siguiente principio:
Si se elevan al cuadrado los dos miembros de una ecuación, se obtiene otra ecuación
que, además de tener las soluciones de la primera, puede contener las de una segunda,
obtenida al cambiar de signo uno de los miembros de la ecuación dada.
9
Ecuaciones de 2º grado
Sea la ecuación:
F ( x) = G ( x)
Elevamos al cuadrado ambos miembros:
F ( x) 2 = G ( x) 2
Ahora la ecuación puede escribirse como una diferencia de cuadrados:
F ( x) 2 − G ( x) 2 = 0
Descomponemos en factores la diferencia de cuadrados:
[F ( x) − G ( x)] ⋅ [F ( x) + G ( x)] = 0
La solución de esta ecuación son las soluciones de las dos ecuaciones parciales:
 F ( x) − G ( x) = 0, equivalente a F ( x) = G ( x)

 F ( x) + G ( x) = 0, equivalente a F ( x) = −G ( x)
Por esta razón hay que comprobar las soluciones obtenidas sustituyendo en la ecuación
original.
Ejemplo:
Resuelve 2 + 2 x + 2 = x − 1
1) Aislamos el radical en un miembro:
2x + 2 = x − 3
2) Elevamos al cuadrado ambos miembros y desarrollamos
( 2 x + 2 ) 2 = ( x − 3) 2
2x + 2 = x 2 − 6x + 9
0 = x 2 − 8x + 7
3) Resolvemos la ecuación resultante
8 ± 64 − 28 8 ± 6  x1 = 7
=
=
2
2
 x2 = 1
4) Comprobamos las soluciones
x=
x = 7 ⇒ 2 + 14 + 2 = 7 − 1 ⇒ 2 + 4 = 6 es solución
x = 1 ⇒ 2 + 2 + 2 ≠ 0 no es solución
10
Ecuaciones de 2º grado
Ejemplo:
Resuelve
x+9 + x−3 = 6
1) Aislamos uno de los radicales:
x+9 = 6− x−3
2) Elevamos al cuadrado ambos miembros
(
x+9
) = (6 −
2
x−3
)
2
x + 9 = 62 − 2 ⋅ 6 ⋅ x − 3 +
(
x−3
)
2
x + 9 = 36 − 12 x − 3 + x − 3
3) Aislamos el radical que queda
12 x − 3 = 24
Como podemos simplificar lo hacemos:
24
12
x−3 = 2
x−3 =
4) Volvemos a elevar al cuadrado ambos términos para eliminar el radical
(
)
2
x−3 = 4
x−3= 4
5) Resolvemos la ecuación resultante
x=7
6) Comprobamos la solución obtenida
7+9 + 7−3 = 4+2⇒ 6 = 6
Es solución
9. Problemas de 2o grado.
Problemas de números y cifras:
1)
2)
3)
4)
Halla dos números consecutivos cuyo producto sea 182.
La suma de un número y su cuadrado es 42. Hállalo.
Calcula un número que sumado con el doble de su raíz cuadrada dé 24.
Halla tres números impares consecutivos tales que sus cuadrados sumen 5051.
11
Ecuaciones de 2º grado
5)
6)
7)
8)
9)
Halla dos números pares consecutivos tales que la suma de sus cuadrados sea 452.
Halla dos números cuya suma es 78 y su producto 1296.
Halla dos números cuya suma es 14 y la de sus cuadrados 100.
Halla dos números cuya diferencia sea 7 y la suma de sus cuadrados 3809.
Las dos cifras de un número suman 12. Si se suman 48 unidades al cuadrado de
dicho número, se obtiene un tercio del cuadrado del número que resulta de invertir
el orden de las cifras del primero. ¿Cuál es ese número?
10) Las dos cifras de un número suman 11 y el producto de dicho número por el que se
obtiene de invertir sus cifras es 3154. Halla el número.
Problemas de edades:
11) La edad de un niño será dentro de 3 años un cuadrado perfecto y hace tres años su
edad era precisamente la raíz cuadrada de ese cuadrado. Halla los años que tiene.
12) Dentro de 11 años la edad de Pedro será la mitad del cuadrado de la edad que tenía
hace 13 años. Calcula la edad de Pedro.
13) Un padre tenía 25 años cuando nació su hijo. La media geométrica de las edades de
ambos supera en 10 al número de años del hijo. Halla las edades actuales de los dos.
14) Preguntada una persona por su edad, contesto: “Sumad 25 al producto del número
de años que tenía hace 5 años por el de los que tendré dentro de 5 años y os resultara
un número igual al cuadrado de la edad que tengo hoy.” Halla el número.
Problemas de fuentes:
15) Dos fuentes llenan un depósito en 6 horas. ¿En cuánto tiempo lo llenaría cada uno
por separado si la primera lo hace en 5 horas menos que la segunda?.
16) Un deposito se llena por dos fuentes, fluyendo a la vez, en 3 horas y 45 minutos.
¿cuánto tiempo emplearía cada una por separado en llenar dicho deposito si se sabe
que la primera lo haría en 4 horas menos que la segunda?.
Problemas de repartos, interés y porcentajes :
17) Se reparte un premio de 60.000 pesetas entre varias personas. Si el número de éstas
aumentase en tres, las partes disminuirían en 4500 pesetas. ¿Cuántos agraciados
hay?.
18) Se iban a repartir 480 euros entre varías personas; 5 de ellas rehúsan su parte, con lo
que cada una de las restantes recibe 8 euros más. ¿Cuántas personas entraban en el
reparto originalmente?.
19) Si se rebajara en 30 euros el precio de una docena de naranjos, con 450 euros se
podrían comprar 6 naranjos más. ¿A cuánto se vende la docena de naranjos?.
20) Una persona coloca 30.000 pesetas a interés simple. Al cabo de un años retira el
capital y el interés producido y lo presta todo a un % que excede en 1 al que antes
percibía. Su renta anual es entonces de 1560 pesetas. ¿Cuál era el primer %?.
Problemas de cinemática:
21) Un barquero sube por un río 1800 m. Para bajar, emplea 9 minutos menos que para
subir, pues la corriente aumenta en 100m por minuto respecto de la velocidad que
lleva al subir. ¿Cuál es el tiempo que emplea en subir?. ¿Y en bajar?.
12
Ecuaciones de 2º grado
22) Un ciclista, en un recorrido de 150 km, llegaría 2 horas y media antes si llevase una
media de 5 km más por hora. Averigua el tiempo que tarda en el recorrido.
23) Dos ciclistas salen juntos para recorrer un trayecto de 112 km. El primero recorre 2
km por hora más que el segundo, por lo cual llega al destino una hora antes.
Averigua la velocidad de cada uno.
Problemas de geometría:
24) Tres segmentos miden, respectivamente, 8, 22 y 24 cm. Si se añade a los tres una
misma longitud, el triángulo construido es rectángulo. Halla dicha longitud.
25) La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 13 cm. Averigua las longitudes de
los catetos, sabiendo que su diferencia es 7 cm.
26) El perímetro de triángulo rectángulo mide 90 cm y el cateto mayor mide 3 m menos
que la hipotenusa. Halla los tres lados del triángulo.
27) Los lados de un triangulo rectángulo tienen por medida tres números enteros
consecutivos. Halla dichos números.
28) Determina las dimensiones de un rectángulo sabiendo que su superficie es de 8 m2 y
su diagonal mide 2 5 m.
29) Un rectángulo tiene 50 m de diagonal. ¿Qué longitud tienen los lados si uno mide 10
m más que el otro?.
30) El área de un triángulo rectángulo es 60 m2 y la suma de sus catetos es 23. Halla sus
lados.
31) Un cuadrado tiene 33 m2 más que otro, y éste un metro menos de lado que el
primero. Hallar los lados de los dos cuadrados.
32) Aumentando un lado de un cuadrado en 4 metros y los lados contiguos en 6 metros
se obtiene un rectángulo de doble área que el cuadrado. Determinar el área del
cuadrado.
33) La razón entre los lados de dos cuadrados es 3 y la suma de los cuadrados de sus
diagonales es 100. Averigua dichos lados.
34) El área de un rectángulo es de 120 m2 y su perímetro de 46 m. Calcula las
dimensiones.
35) La base de un triángulo excede en 7 cm a la altura; el área es 99 cm2. Calcula las
dimensiones del triángulo.
36) Una pirámide rectangular de base cuadrada, tiene una altura de 30 m y un volumen
de 2000 m3 . Halla el lado de la base.
37) Se tiene un lote de baldosas cuadradas. Si se forma con ellas un cuadrado de x
baldosas de lado sobran 27, y si se toman x + 1 baldosas por lado faltan 40. Halla
las baldosas del lote.
38) Un deposito de agua tiene forma de prisma recto con base cuadrada. Si su altura es
10 m y su capacidad 4000 m3, calcula el lado de la base.
39) Un campo rectangular tiene 2400 m2 de superficie y 20 metros más de largo que de
ancho. Halla las dimensiones.
40) Calcula el radio de un círculo sabiendo que si aumentamos su radio en 3 cm se
cuadriplica su área.
41) La base mayor de un trapecio mide 10 m más que la menor y la altura resulta ser la
semisuma de las bases. Si, además, el área es 225 m2, ¿cuál será la medida de las
base y la altura?.
13
Ecuaciones de 2º grado
Problema de las fuentes (Leonardo de Pisa)
Dos torres, una de 30 pasos y otra de 40, están separadas 50 pasos. Entre las dos
torres se encuentra una fuente hacia la que descienden dos pájaros que están en las
almenas de las torres. Yendo con igual velocidad llegan al mismo tiempo. ¿A que
distancia de las torres se encuentra la fuente?.
Problema del bambú (Texto indio del siglo IX)
Un bambú que mide 30 codos y que se eleva sobre un terreno plano se rompe en un
punto por la fuerza del viento. Su extremidad toca el suelo a 16 codos de su pie. ¿A que
altura se ha roto?.
Problema del junco (Texto indio del siglo IX)
Un junco enraizado en el fondo de un estanque se encuentra a 90 cm de la orilla y su
cabeza se eleva 30 cm sobre el agua. Por la fuerza del viento se ha inclinado de modo
que su cabeza toca la orilla del agua. ¿Cuál es la profundidad del estanque y la altura del
junco?.
14