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EXAMEN DE CASA B1
CURSO 2007/2008
1
MODELO A
EXAMEN B1
Problema 1
Dos pequeños objetos que se encuentran en un suelo horizontal separados por una
distancia de 40 m son lanzados en el mismo instante verticalmente hacia arriba con
velocidades de 120 y 180 m/s. Calcular la distancia entre los dos objetos cuando el más
rápido se encuentra a la máxima altura que puede alcanzar (2 puntos). Si todos los
datos se conocen con una precisión del 1%, calcular el error absoluto en el resultado
obtenido (3 puntos).
Para facilitar los cálculos, tome g = 10 m/s2. Se supone ausencia de rozamiento.
Problema 2
Un carrito de masa 12 kg se deja caer por un rail en pendiente que conduce a un rizo
circular de radio 2 m.
A) Calcule la altura h mínima desde la que debe soltarse el carrito para que recorra el rizo
entero sin desplomarse, y determine qué velocidad llevará en el punto más bajo B y en el
más alto A (3 puntos).
B) Suponiendo que la velocidad del carrito cuando alcanza el punto A es la mínima necesaria
para no desplomarse, calcule la reacción normal del rail en el punto P para el ángulo θ = 30º
indicado en la figura (2 puntos).
Para facilitar los cálculos, tome g = 10 m/s2. Se supone ausencia de rozamiento.
A
A
R
h
P
θ
R
B
B
2
MODELO B
EXAMEN B1
Problema 1
Dos pequeños objetos que se encuentran en un suelo horizontal separados por una
distancia de 40 m son lanzados en el mismo instante verticalmente hacia arriba con
velocidades de 80 y 140 m/s. Calcular la distancia entre los dos objetos cuando el más
rápido se encuentra a la máxima altura que puede alcanzar (2 puntos). Si todos los
datos se conocen con una precisión del 0.5%, calcular el error absoluto en el resultado
obtenido (3 puntos).
Para facilitar los cálculos, tome g = 10 m/s2. Se supone ausencia de rozamiento.
Problema 2
Un carrito de masa 8 kg se deja caer por un rail en pendiente que conduce a un rizo circular
de radio 4 m.
A) Calcule la altura h mínima desde la que debe soltarse el carrito para que recorra el rizo
entero sin desplomarse, y determine qué velocidad llevará en el punto más bajo B y en el
más alto A (3 puntos).
B) Suponiendo que la velocidad del carrito cuando alcanza el punto A es la mínima necesaria
para no desplomarse, calcule la reacción normal del rail en el punto P para el ángulo θ = 45º
indicado en la figura (2 puntos).
Para facilitar los cálculos, tome g = 10 m/s2. Se supone ausencia de rozamiento.
A
A
R
h
P
θ
R
B
B
3
MODELO C
EXAMEN B1
Problema 1
Dos pequeños objetos que se encuentran en un suelo horizontal separados por una
distancia de 60 m son lanzados en el mismo instante verticalmente hacia arriba con
velocidades de 100 y 150 m/s. Calcular la distancia entre los dos objetos cuando el
más rápido se encuentra a la máxima altura que puede alcanzar (2 puntos). Si todos los
datos se conocen con una precisión del 1%, calcular el error absoluto en el resultado
obtenido (3 puntos).
Para facilitar los cálculos, tome g = 10 m/s2. Se supone ausencia de rozamiento.
Problema 2
Un carrito de masa 16 kg se deja caer por un rail en pendiente que conduce a un rizo
circular de radio 3 m.
A) Calcule la altura h mínima desde la que debe soltarse el carrito para que recorra el rizo
entero sin desplomarse, y determine qué velocidad llevará en el punto más bajo B y en el
más alto A (3 puntos).
B) Suponiendo que la velocidad del carrito cuando alcanza el punto A es la mínima necesaria
para no desplomarse, calcule la reacción normal del rail en el punto P para el ángulo θ = 45º
indicado en la figura (2 puntos).
Para facilitar los cálculos, tome g = 10 m/s2. Se supone ausencia de rozamiento.
A
A
R
h
P
θ
R
B
B
4
MODELO D
EXAMEN B1
Problema 1
Dos pequeños objetos que se encuentran en un suelo horizontal separados por una
distancia de 60 m son lanzados en el mismo instante verticalmente hacia arriba con
velocidades de 80 y 120 m/s. Calcular la distancia entre los dos objetos cuando el más
rápido se encuentra a la máxima altura que puede alcanzar (2 puntos). Si todos los
datos se conocen con una precisión del 0.5%, calcular el error absoluto en el resultado
obtenido (3 puntos).
Para facilitar los cálculos, tome g = 10 m/s2. Se supone ausencia de rozamiento.
Problema 2
Un carrito de masa 4 kg se deja caer por un rail en pendiente que conduce a un rizo circular
de radio 5 m.
A) Calcule la altura h mínima desde la que debe soltarse el carrito para que recorra el rizo
entero sin desplomarse, y determine qué velocidad llevará en el punto más bajo B y en el
más alto A (3 puntos).
B) Suponiendo que la velocidad del carrito cuando alcanza el punto A es la mínima necesaria
para no desplomarse, calcule la reacción normal del rail en el punto P para ángulo θ = 60º
indicado en la figura (2 puntos).
Para facilitar los cálculos, tome g = 10 m/s2. Se supone ausencia de rozamiento.
A
A
R
h
P
θ
R
B
B
5
MODEL E
EXAM B1
Problem 1
Two particles lie on a horizontal floor. The initial distance between them is 60 m. Both
particles are jumped vertically upwards at the same time, with speeds 80 and 120 m/s.
Find the distance between the two particles when the faster one reaches its maximum
height (2 points). Assuming that every data is known within a 0.5 %, find the absolute
error of the result for the distance (3 points).
Take g = 10 m/s2. We assume there are not friction forces.
Problem 2
A little cart (mass 4 kg) slides from the rest along an incline leading to a vertical loop
whose radious is 5 m (see figure).
A) Find the minimum height h required for the cart to complete the loop without falling down,
and calculate its speeds in both points A and B shown in the figure (3 points).
B) Assuming that the speed of the cart when it reaches A is the minimum one neccessary to
avoid to fall down, find the normal reaction of the loop at the point P for an angle θ = 60º,
as it is indicated in the figure (2 points).
Take g = 10 m/s2. We assume there are not friction forces.
A
A
R
h
P
θ
R
B
B
6
EXAMEN B1
SOLUCIONARIO
Problema 1
Dos pequeños objetos que se encuentran en un suelo horizontal separados por una
distancia xB (m) son lanzados en el mismo instante verticalmente hacia arriba con
velocidades v0A y v0B (m/s). Calcular la distancia entre los dos objetos cuando el
más rápido se encuentra a la máxima altura que puede alcanzar. Si todos los datos
se conocen con una precisión del 1%, calcular el error absoluto en el resultado
obtenido.
Para facilitar los cálculos, tome g = 10 m/s2. Se supone ausencia de rozamiento.
v0 A
Objeto A:
Objeto B:
Y
v0 B (> v0 A )
Tiempo invertido por B en alcanzar la altura máxima:
cuando llega a la altura máxima su velocidad es nula
v0 B -g t B = 0
xB
r
rBA (t )
tB =
v0 B
g
Tomamos la posición inicial del objeto A como origen de coordenadas.
Posición de ambos objetos en cualquier instante
r
rA (t )
r
rA (t ) = (0, y A )
r
rB (t )
r
rB (t ) = ( x B , y B )
X
A
B
y A (t ) = v0 A t −
1 2
gt
2
1
y B (t ) = v0 B t − g t 2
2
7
EXAMEN B1
SOLUCIONARIO
Problema 1 (cont)
r
r
r
Distancia AB en
rBA (t ) = rB (t ) − rA (t ) = ( x B , y B − y A )
cualquier instante
r
2
2
rBA (t ) = + xB2 + ( y B − y A ) = + x B2 + (v0 B − v0 A ) t 2
y A (t B ) = v0 A t B −
1 2
g tB
2
1
y B (t B ) = v0 B t B − g t B2
2
Cuando t = tB
Y
xB
Cálculo de errores Variable auxiliar u = xB2 + (v0 B − v0 A )2 t B2
r
rBA (t )
∆u =
r
rB (t )
r
rA (t )
A
tB =
v0 B
g
∂u
∂u
∂u
∂u
∆x B +
∆ v0 B +
∆v0 A +
∆t B
∂x B
∂v0 B
∂v0 A
∂t B
r
rBA (t B ) = u
B
∆t B =
r
2
rBA (t B ) = + x B2 + (v0 B − v0 A ) t B2
v
1
∆v0 B + 02B ∆g
g
g
X
∂u
∆x B = 2 xB ∆xB
∂xB
1
r
∂ u
∆u
∆ rBA (t B ) =
∆u =
∂u
2 u
∂u
∆v0 B = 2 (v0 B − v0 A ) t B2 ∆v0 B
∂v0 B
∂u
∆v0 A = 2 (v0 B − v0 A ) t B2 ∆v0 A
∂v0 A
∂u
2
∆t B = 2 (v0 B − v0 A ) t B ∆8t B
∂t B
EXAMEN B1
MODELO A
Porcentaje error:
SOLUCIONARIO
Resultados numéricos problema 1
MODELO B
Porcentaje error:
v 0A (m/s) =
120
1
∆
1,2
v 0A (m/s) =
80
0,5
∆
0,4
v 0B (m/s) =
180
1,8
v 0B (m/s) =
140
0,7
x B (m) =
2
g (m/s ) =
40
0,4
40
0,2
10
0,1
x B (m) =
2
g (m/s ) =
10
0,05
t B (s) =
18
0,36
t B (s) =
14
0,14
1081
∆
76
7,0%
r AB (m) =
841
∆
24
2,8%
r AB (m) =
r
rBA (t B ) = (1080 ± 80 ) m
MODELO D
MODELO C
Porcentaje error:
r
rBA (t B ) = (840 ± 20 ) m
Porcentaje error:
v 0A (m/s) =
80
0,5
∆
0,4
0,6
v 0A (m/s) =
100
1
∆
1
v 0B (m/s) =
150
1,5
v 0B (m/s) =
120
x B (m) =
2
g (m/s ) =
60
0,6
60
0,3
10
0,1
x B (m) =
2
g (m/s ) =
10
0,05
t B (s) =
15
0,3
t B (s) =
12
0,12
484
∆
17
3,5%
r AB (m) =
752
∆
52
7,0%
r
rBA (t B ) = (750 ± 50 ) m
r AB (m) =
MODEL E
r
rBA (t B ) = (484 ± 17 ) m
9
EXAMEN B1
SOLUCIONARIO
Problema 2
Un carrito de masa m se deja caer por un rail en pendiente que conduce a un rizo
circular de radio R.
A) Calcule la altura h mínima desde la que debe soltarse el carrito para que recorra el
rizo entero sin desplomarse, y determine qué velocidad llevará en el punto más
bajo B y en el más alto A.
B) Suponiendo que la velocidad del carrito cuando alcanza el punto A es la mínima
necesaria para no desplomarse, calcule la reacción normal del rail en un punto
cualquiera P en función del ángulo θ indicado en la figura.
Para facilitar los cálculos, tome g = 10 m/s2. Se supone ausencia de rozamiento.
A
A
R
h
P
θ
R
B
B
10
EXAMEN B1
SOLUCIONARIO
Problema 2
Tomamos como referencia de energías potenciales el plano donde se encuentra el punto B.
Conservación de la energía
A
R
h
Entre A y B
1 2
vB
2
En este momento no son conocidos ni h, ni vA ni vB
mg
FCA
R
mv A2
=
= mg + N A
R
FCA min
Esta ecuación indica que a menor velocidad,
menor debe ser la reacción normal del rail.
Y puesto que el valor mínimo posible de la
reacción normal es cero, hacer NA = 0 nos da
la condición de velocidad mínima necesaria.
mv A2 min
=
= mg
R
v A min = gR
v A2 min = gR
vB min = 5 gR
vB2 min = v A2 min + 4 gR
B
gh =
1 2 1 2
vB = v A + 2 gR
2
2
FCA
DSL del carrito
en el punto A
1 2
mvB
2
1 2 1 2
mvB = mv A + mg (2 R )
2
2
B
NA
A
mgh =
Entre la posición inicial y B
hmin =
1 2
vB min
2g
hmin =
5R
2
11
EXAMEN B1
SOLUCIONARIO
Problema 2 (cont)
Estudio en el punto P
Fuerza centrípeta en P
NP
A
P
mg sin θ
θ
R(1− cosθ )
mg cos θ
R cosθ
θ
mg
R
FCP
mvP2
=
= mg cos θ + N P
R
Conservación energía entre A y P
1 2 1 2
mvP = mv A + mgR (1 − cos θ )
2
2
Multiplicando ambos
miembros por 2/R
mv P2 mv A2
=
+ 2mg (1 − cos θ ) = FCP
R
R
mv A2
+ 2mg (1 − cos θ ) = mg cos θ + N P
R
B
mv A2
NP =
+ 2mg (1 − cos θ ) − mg cos θ
R
Según el enunciado, debe calcularse NP para vA = vAmin
v A min = gR
N P min
mv A2
NP =
+ mg (2 − 3 cos θ )
R
mv A2 min
=
+ mg (2 − 3 cos θ )
R
N P min = mg + mg (2 − 3 cos θ ) = 3mg (1 − cos θ )
Nótese que cuando θ = 0 estamos en el punto A (P = A) y entonces NAmin = 0.
12
EXAMEN B1
SOLUCIONARIO
Problema 2. Resultados numéricos
v A min = gR
vB min = 5 gR
hmin =
5R
2
N P min = mg + mg (2 − 3 cos θ ) = 3mg (1 − cos θ )
MODELO A
2
MODELO B
2
g (m/s ) =
10
v A min (m/s) =
4,47
g (m/s ) =
10
v A min (m/s) =
6,32
m (kg) =
12
v B min (m/s) =
10,00
m (kg) =
8
v B min (m/s) =
14,14
R (m) =
2
h min (m) =
5,00
R (m) =
4
h min (m) =
10,00
θ (º) =
30
N P min (N) =
48,23
θ (º) =
45
N P min (N) =
70,29
MODELO C
2
MODELO D
2
g (m/s ) =
10
v A min (m/s) =
5,48
g (m/s ) =
10
v A min (m/s) =
7,07
m (kg) =
16
v B min (m/s) =
12,25
m (kg) =
4
v B min (m/s) =
15,81
R (m) =
3
h min (m) =
7,50
R (m) =
5
h min (m) =
12,50
θ (º) =
45
N P min (N) =
θ (º) =
60
N P min (N) =
60,00
140,59
MODEL E
13