Construyendo demostraciones

Construyendo demostraciones
Paula Jaramillo
22 de enero de 2014
Proposiciones
Considere la frase: “1+1=2 y sombrilla verde”.
1. No es una proposición.
2. Es una proposición falsa.
3. Es una proposición verdadera.
4. No se.
Proposiciones
Considere la frase: “Si en Bogotá neva, yo salgo a la playa”.
1. No es una proposición.
2. Es una proposición falsa.
3. Es una proposición verdadera.
4. No se.
Proposiciones
¿Pueden ser A ⇒ B y A ⇒ ¬B verdaderas al mismo tiempo?
1. Si.
2. No.
3. No se.
Proposiciones
¿Es x 2 + x + 10 = 100 una proposición?
1. Si.
2. No.
3. No se.
Proposiciones
¿Es x 2 + x + 10 = 100 verdadera?
1. Si.
2. No.
3. Depende
4. No se.
Cuantificadores
∀ x ∈ R, x = x ¿verdadera o falsa?
1. Verdadera.
2. Falsa.
3. No se.
Cuantificadores
∀ x ∈ R, x 2 + 2x + 1 = 4 ¿verdadera o falsa?
1. Verdadera.
2. Falsa.
3. No se.
Cuantificadores
∃ x ∈ R tq x 2 + 2x + 1 = 4 ¿verdadera o falsa?
1. Verdadera.
2. Falsa.
3. No se.
Cuantificadores
∃ x ∈ R tq x 2 = −1 ¿verdadera o falsa?
1. Verdadera.
2. Falsa.
3. No se.
Cuantificadores
∃ x ∈ R, x 2 = 2 ¿verdadera o falsa?
1. Verdadera.
2. Falsa.
3. No se.
Cuantificadores
∀ x ∈ R, x 2 = 2 ¿verdadera o falsa?
1. Verdadera.
2. Falsa.
3. No se.
Cuantificadores
∀ y ∈ R, ∃ x ∈ R tq y 2 = x ¿verdadera o falsa?
1. Verdadera.
2. Falsa.
3. No se.
Cuantificadores
∃ y ∈ R, ∀ x ∈ R tq y 2 = x ¿verdadera o falsa?
1. Verdadera.
2. Falsa.
3. No se.
Cuantificadores
∃ y ∈ R, ∃ x ∈ R tq y 2 = x ¿verdadera o falsa?
1. Verdadera.
2. Falsa.
3. No se.
Cuantificadores
∀ y ∈ R, ∀ x ∈ R tq y 2 = x ¿verdadera o falsa?
1. Verdadera.
2. Falsa.
3. No se.
Cuantificadores
Considere la siguiente afirmación: ∀x ∈ R, x 2 > x.
1. Verdadera.
2. Falsa.
3. No se.
Cuantificadores
Theorem
∀x ∈ R, x > 1, x 2 > x.
Cuantificadores
Theorem
∀x ∈ R, x > 1, x 2 > x.
Demostración.
Considere x = 2. Como x 2 = 22 = 4 > 2, el teorema queda
demostrado.
Cuantificadores
Theorem
∀x ∈ R, x > 1, x 2 > x.
Demostración.
Considere x = 2. Como x 2 = 22 = 4 > 2, el teorema queda
demostrado.
1. La demostración está bien.
2. La demostración está mal.
3. No se.
Cuantificadores
f : A → B es uno-a-uno si ∀x, y ∈ A con x 6= y , f (x) 6= f (y ).
f : A → B es sobre si ∀x ∈ B, ∃y ∈ A tal que f (y ) = x.
f : A → B es biyectiva si es uno-a-uno y sobre.
Cuantificadores
¿Es esta función?
1.
2.
3.
4.
5.
Biyectiva
Uno-a-uno
Sobre
Niguno de los anteriores.
No se.
Cuantificadores
¿Es esta función?
1.
2.
3.
4.
5.
Biyectiva
Uno-a-uno
Sobre
Niguno de los anteriores.
No se.
Negación de cuantificadores
¿Cuál es la negación de ∀x ∈ R, x 2 + 2x + 1 ≥ 0?
1. ∀x ∈ R tq x 2 + 2x + 1 < 0
2. ∃x ∈ R tq x 2 + 2x + 1 < 0
3. ∃x ∈ R tq x 2 + 2x + 1 ≥ 0
4. ∀x ∈ R tq x 2 + 2x + 1 ≥ 0
5. No se.
Negación de cuantificadores
¿Cuál es la negación de ∃x ∈ R tq x > 4?
1. ∃x ∈ R, x ≤ 4
2. ∃x ∈ R, x ≥ 4
3. ∀x ∈ R, x ≤ 4
4. ∀x ∈ R, x ≥ 4
5. No se.
Negación de cuantificadores
¿Cuál es la negación de ∀y , ∃x tq y 2 = x?
1. ∀x, ∃y tq y 2 6= x
2. ∀y y ∀x, y 2 6= x
3. ∃y y ∃x, y 2 6= x
4. ∃y tq ∀x, y 2 6= x
5. ∀x, ∀y tq y 2 6= x
6. No se.
Negación de cuantificadores
¿Cuál es la negación de ∃y , ∃x tq y 2 = x?
1. ∃y y ∃x tq y 2 6= x
2. ∃y tq ∀x, y 2 6= x
3. ∀y y ∀x, y 2 6= x
4. ∀y , ∃x tq y 2 6= x
5. ∃x tq ∀y , y 2 6= x
6. No se.